精品解析：安徽省安庆市外国语学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学 一、选择题（本大题共10小题．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解析式形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、，等号右边不是整式，不是二次函数，不符合题意， 故选：C． 2. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为． 故选：C． 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像性质判断即可； 【详解】解：∵ ， ∴当 时， 随 的增大而增大，故A不符合题意； ∵ ， ∴图象位于第二、四象限，故B不符合题意； 当 时， ，故C不符合题意； 当 时， ，故D错误，符合题意； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法把函数化为顶点式即可求解. 【详解】∵= 故顶点坐标是 故选B. 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知配方法的应用. 5. 在函数(k＜0)的图象上有三点A1(x1, y1 )、A2(x2, y2)、A3(x3, y3 )，已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中,正确的是 ( ) A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜ y1＜y3 D. y3＜y1＜y2 【答案】D 【解析】 【分析】对于反比例函数：当时，图象位于一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，图象位于二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大. 【详解】∵(k＜0)，x1＜x2＜0＜x3 ∴y3＜0＜y1＜y2 故选D. 考点：反比例函数的性质 【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成. 6. 二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解． 【详解】解：根据题意，，且， 解得，且， 故选：B ． 7. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 8. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ） A. 6 B. 2 C. ﹣2 D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据该函数图象开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，可知该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，c=－2，再由，，即可求得b的值． 【详解】解：二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2， 该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧， ，，且时，y=c=－2， ，，解得 ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 9. 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限，则二次函数的大致图象是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象的交点问题，二次函数的图象和性质．根据一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限，可得，再结合二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限， ∴反比例函数图象位于第二、四象限，一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，且与y轴交于负半轴， 故选A． 10. 中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy=−x+18y=2a+1xy=−x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．∵， ∴不是“乾坤点”，故选项A错误； B．∵函数的图象上存在“乾坤点”， ∴， 解得， ∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误； C．若函数是“乾坤函数”， 则，即， ∴， ∴方程无解， ∴函数的图象上不存在“乾坤点”， ∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误； D．∵是“乾坤函数”， ∴， 化简，得， ∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， ∴， ∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题） 11. 已知抛物线的对称轴是轴，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点坐标公式．利用抛物线的顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是轴， ∴， ∴． 故答案为：0． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可得点在抛物线上，再由抛物线开口向下，得到离对称轴越近函数值越大，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，且与y轴交于点， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，矩形的顶点，，分别落在反比例函数，图象上，轴，矩形的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与矩形的性质，解一元二次方程，根据题意设，则，根据矩形的面积为，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设，则， ， ∵矩形的面积为， ， 即， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 14. 若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标，根据对称点求出抛物线的对称轴为，然后得到抛物线的解析式为，然后把点的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 故答案为：． 三．解答题（本大题共6题） 15. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设顶点式，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把（﹣2，﹣5）代入得， 解得：a＝﹣1， 所以抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出解析式，从而代入数值求解． 16. 已知抛物线（为常数）．该抛物线的顶点位于直线上，抛物线的对称轴距轴的距离小于3． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）m的值为1 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质（顶点式、对称轴、函数值取值范围），解题的关键是将抛物线化为顶点式，结合直线方程和对称轴条件求解参数，再根据二次函数单调性求区间内的最值． （1）通过配方法将抛物线化为顶点式，得到顶点坐标后代入直线方程，结合对称轴距y轴的距离条件，求解m的值． （2）由（1）得抛物线顶点式，根据开口方向和对称轴，结合给定区间，确定区间内函数的最大、最小值，进而得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点为， 把代入，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线的对称轴为直线，，符合题意， 当时，抛物线的对称轴为直线，，不符合题意， 综上，m的值为1； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为； 当时，y有最小值，最小值为； 即当时，y的取值范围是． 17. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 18. 某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法，最大值的求法，读懂题意列出函数关系式是解答关键. （1）设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为，求出它的解析式，再利用销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售来求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式来求解. 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的函数关系式为， 又图象过点、， ∴ ∴函数关系式为． ∵销售单价不低于成本价元/，且不高于元/销售， ∴． ∴每天的销售利润为， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得： ， ∵，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元． 19. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）S的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， ， ； 【小问2详解】 解：过点P作轴于点N，如图所示， 令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． 【小问3详解】 解：如图， ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 20. 如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． （2）若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． （3）若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据在抛物线上建立方程组求解并将解析式整理成的形式即可得解； （2）先求出直线的解析式，进而设，根据题意得到点在中垂线上，进而由中垂线性质（若为中垂线，则且与交点为中点）解得，得到，根据点在抛物线上即可建立方程求解； （3）取，表示任意位置的小树高，设，根据题意得到直线与抛物线在区间上有两交点，为靠左一点的横坐标，注意到，即可结合一元二次方程求根公式通过计算求解； 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ， 解得： ， ∴拋物线方程为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，点在轴上， ， ， ∴设直线的解析式为，即，解得：， 故直线的解析式为， ∵点在直线上， 设， ∵轴， ∴点在中垂线上，故， 解得：， ， ∵点在抛物线上， ∴，整理得：， 解得：（舍）或，此时， ． 【小问3详解】 解：令， 则表示小树高， 设，则在上有两解，且为其中较小解， 即直线与抛物线在上有两交点， 当时，， 令，得或（舍去）， ， 又， 对称轴为， 为直线与抛物线两交点中靠左一点的横坐标，故， 综上，； 【点睛】该题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，解一元二次方程，中垂线的性质，等知识点，解题的关键是理解题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在函数(k＜0)的图象上有三点A1(x1, y1 )、A2(x2, y2)、A3(x3, y3 )，已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中,正确的是 ( ) A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y2＜ y1＜y3 D. y3＜y1＜y2 6. 二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ） A. 6 B. 2 C. ﹣2 D. ﹣3 9. 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，且交点在第二象限，则二次函数的大致图象是图中的（ ） A. B. C. D. 10. 中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 二、填空题（本大题共4小题） 11. 已知抛物线的对称轴是轴，则的值是______． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______． 13. 如图，矩形的顶点，，分别落在反比例函数，图象上，轴，矩形的面积为，则的值为______． 14. 若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则__________． 三．解答题（本大题共6题） 15. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(﹣2，﹣5)，求此二次函数的解析式． 16. 已知抛物线（为常数）．该抛物线的顶点位于直线上，抛物线的对称轴距轴的距离小于3． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围． 17. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 18. 某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元/）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． （1）请分别求出与，与的函数解析式； （2）销售单价定为多少元/时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 19. 如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 20. 如图，斜坡上种有若干树木，底部有一喷水管，某时刻从B处喷出的水流恰好落在A处，水流呈抛物线状．建立恰当平面直角坐标系，得到点，点．已知喷水管及所有树木都与垂直，抛物线的解析式为． （1）求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标． （2）若抛物线恰好过小树的树顶N，点M在斜坡上，且点A到M，N两点距离相等，求M点坐标． （3）若，为两棵等高小树（在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点C不重合），抛物线恰好经过E，N两点．请直接写出M横坐标m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $