精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县克音河乡学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

初四数学第一次月考试题 （2025—2026学年度第一学期） 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数条 4. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 5. 如图，为的直径，弦于，，，那么直径的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A. 30 B. 40° C. 50° D. 60° 7. 关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 8. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 10. 已知点、、都在函数的图象上，则的大小关系为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_________． 12. 把一元二次方程化成一般形式是_________． 13. 已知方程的根是，，则的值是__________． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 15. 若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则2a2－2a＋5＝________． 16. 抛物线与y轴的交点坐标为_________ 17. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 18. 二次函数的图象如图，则正确的结论是：________． （1）abc＞0；（2）＜0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＝0；（5）若方程的两个根为，，则；（6）当x＞0时，y随x的增大而减小． 19. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 20. 已知二次函数与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点坐标为________． 三．解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 设抛物线与x轴交于点和．若，求m，b的值． 23. 如图在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形． 24. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 25. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 26. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿边以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． （1）_________cm， _________cm（用含x的式子表示）； （2）若时，求x的值． 27. 专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？ （3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由． 28. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． （3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学第一次月考试题 （2025—2026学年度第一学期） 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分． 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行作答即可． 【详解】解：A、不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B、，含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，而且是整式方程，因此是一元二次方程，符合题意； C、，未知数的最高次数不是二次，因此不是一元二次方程，不符合题意； D、，含有两个未知数，因此不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数条 【答案】A 【解析】 【详解】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条． 4. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 根据题意得到，，即可求得m的范围．要特别注意二次项系数这一条件，当时，方程就是一元一次方程了． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 解得：． 故选：C． 5. 如图，为的直径，弦于，，，那么直径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理；勾股定理．连接，设，再根据，得出，在中根据勾股定理可得出的值，进而得出的长． 【详解】解：连接，设， 弦于，， ， 在中， ，，， ，解得（负值舍去）， ． 故选：D． 6. 如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A. 30 B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝70°，根据旋转变换的性质求出AD＝AC，根据等边对等角可得∠ADC＝∠ACD＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝40°，然后计算即可． 【详解】解：∵DC∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB＝70°， 由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°， ∴∠ADC＝∠ACD＝70°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝40°， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角求角度，旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程x2-2x-（m-1）=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣1）=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣1）]=4m＞0，∴m＞0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 9. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数图象经过的定点，当时，，即可求解；会求二次函数经过的点的坐标是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ， ， 过顶点， 故选：D． 10. 已知点、、都在函数的图象上，则的大小关系为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可； 【详解】解：∵， ∴函数图像的对称轴是直线，图象的开口向下， ∴当时，随的增大而增大， 点关于对称轴的对称点是， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】移项，合并同类项，整理为一般形式即可． 【详解】解：移项，得4x2-4x+1-x2-6x-9=0， 合并同类项，得3x2-10x-8=0 故答案为：3x2-10x-8=0． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）． 13. 已知方程的根是，，则的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵方程的根是，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，，掌握此关系是解题关键． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】且##k≠0且k≥ 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可知，由题意令，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， 令，则， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴交点问题，转为一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉． 15. 若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则2a2－2a＋5＝________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入方程x2-x-1=0，列出关于a的一元二次方程，通过解方程求得a2-a的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可． 【详解】根据题意，得a2-a-1=0，即a2-a=1； ∴2a2-2a+5=2（a2-a）+5=2×1+5=7，即2a2-2a+5=7． 故答案是：7． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 16. 抛物线与y轴的交点坐标为_________ 【答案】(0，3) 【解析】 【分析】令，即可求出抛物线的与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴交点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握求与y轴的交点坐标，令，求出即可，比较容易解答． 17. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 18. 二次函数的图象如图，则正确的结论是：________． （1）abc＞0；（2）＜0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＝0；（5）若方程的两个根为，，则；（6）当x＞0时，y随x的增大而减小． 【答案】（3）（4）（5） 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定的取值范围，根据x=-1时的函数值确定a-b+c的符号，根据=1确定的值，根据函数图像确定增减性． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故（1）错误； 根据图象知道抛物线与x轴有两个交点， ∴＞0，故（2）错误； 根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c＞0，故（3）正确； ∵对称轴为直线x==1， ∴b=-2a，即2a+b=0，故（4）正确； ∵对称轴为直线x==1， ∴，即=2，故（5）正确； 由图像可知：当x＜1时，y随x的增大而减小，故（6）错误； ∴正确的结论是：（3）（4）（5）， 故答案为：（3）（4）（5）． 【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换． 19. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 20. 已知二次函数与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点坐标为________． 【答案】（4，5）或（-2，5）##（-2，5）或（4，5） 【解析】 【分析】首先令y=0时，求出A,B两点的坐标，再根据面积求出C点的纵坐标，并令函数值等于C点的纵坐标，解对应的一元二次方程即可求解． 【详解】解：由得，， 所以AB距离为4， 要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5， 把y=5时代入函数得， 解得，． 所以C点坐标为（4，5）或（-2，5）． 故答案为：（4，5）或（-2，5）． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 三．解答题（共60分） 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无实数根 （2）， 【解析】 【分析】（1）将方程化为一般形式，求判别式，得到方程无实数根； （2）将方程化为一般形式，利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： ∵， ∴此方程无实数根； 【小问2详解】 ∴，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． 22. 设抛物线与x轴交于点和．若，求m，b的值． 【答案】， 【解析】 【分析】把点A的坐标代入二次函数解析式进行求解m，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为，可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， 当时，，即， 解得：， ∴点B的坐标为，即． 【点睛】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 23. 如图在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作. （2） 解：如图，即为所求作. 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质，分别作出的对应点即可． （2）利用旋转变换的性质，分别作出的对应点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形是解题的关键. 24. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：． 【答案】 证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P， 由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD， AC＝BD． 【解析】 【分析】过点O作OP⊥AB，由等腰三角形的性质可知AP=BP，再由垂径定理可知CP=DP，故可得出结论． 【详解】略 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键． 25. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解． 【详解】设这个增长率为x． 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8， 解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）． 0. 2=20%． 答：这个增长率是20%． 26. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿边以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． （1）_________cm， _________cm（用含x的式子表示）； （2）若时，求x的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）点P从点A出发沿边以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以2cm/s的速度向点C移动，表示出和的长度，进一步根据矩形的性质可得和的长； （2）根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵动时间为x（s），点P从点A出发沿边以1cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发沿边以2cm/s的速度向点C移动， ∴cm，cm， ∵，， ∴cm，cm； 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，cm，cm， 由勾股定理得，， 即， 解得：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质与动点问题的综合，勾股定理等，根据点的运动表示出和的长度是解题的关键． 27. 专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？ （3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由． 【答案】（1）y=－10x2＋1400x－40000；（2）销售价应定为60元/盒． （3）不可能达到10000元．理由如下： 当y=10000时，得－10x2＋1400x－40000=10000． 化简，得x2－140x＋5000=0． △＝（-140）2-4×1×5000＜0，原方程无实数解． ∴该专卖店每月销售此种礼盒的利润不可能达到10000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意用x表示销售商品的件数，则利润等于单价利润乘以件数． （2）根据此种礼盒获得8000元的利润列出一元二次方程求解，再进行取舍即可； （3）得出相应的一元二次方程，判断出所列方程是否有解即可． 【详解】解：（1）y=(x－40)[500－10(x－50)]， 整理，得y=－10x2＋1400x－40000； （2）由题意得y=8000，即－10x2＋1400x－40000=8000， 化简，得x2－140x＋4800=0． 解得，x1＝60，x2＝80（不符合题意，舍去）． ∴x＝60． 答：销售价应定为60元/盒． （3）略 【点睛】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意售价、进价、利润、销售量之间的数量关系． 28. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线对称轴上，是否存在一点，使的周长最小？若存在求出周长的最小值；若不存在说明理由． （3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）存在，的周长最小值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，周长与线段的最值问题； （1）把点、的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）根据轴对称的性质，，则当在上时，的周长最小，求得直线的解析式，代入，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 把，代入，得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 存在，理由如下， ∵，对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，关于对称， ∴， ∴ 当在直线上时，的周长最小 ∵设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． ∴当时， ∴ 当时， 解得： ∴ ∴的周长最小值为： 【小问3详解】 ∵直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ， ∴当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $