精品解析：江苏省宿迁市湖滨高级中学2025-2026学年高三上学期考前模拟测试（三）数学试题

湖滨高级中学2025届高三考前模拟测试（三） 高三数学试题 2025.05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合 ，根据集合的并集运算即可求解. 【详解】由题意有，， 所以， 故选：C. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，结合共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，故. 故选：B. 3. 已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 4. 已知等比数列的前 项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解. 【详解】由等比数列性质可知，， 又，解得或， 当时，， 所以 ，故， 当时，， 所以，故， 综上，， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式进行弦化切即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 6. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点坐标为，则利用结合导数的几何意义求得，再将点 坐标代入直线和曲线方程，即可求解. 【详解】，则， 设切点坐标为，则，解得， 又点 在直线上，又在曲线上， 即，又，解得. 故选：B 7. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 8. 已知定义在 上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案. 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 可得是以4为周期的周期函数， 则. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但选不全的部分得分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为120 B. 各二项式系数的和为64 C. 各项系数的和为1 D. 各二项式系数的最大值为240 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式、二项式系数的性质以及各项系数和的求法来逐一分析选项. 【详解】对于二项式，根据二项式展开式的通项公式可得： ，.  令，则，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以选项A错误.  根据二项式系数和的性质，所以的各二项式系数的和为，选项B正确.  要求各项系数的和，可令，则，所以各项系数的和为，选项C正确.  因为，所以二项式系数最大的是中间项，即第项，其二项式系数为，选项D错误.  故选：BC. 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】令 ，计算可判断A，当 ，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当 时，可得，故A正确； 对于B， 当 时，， 两式相减可得，所以， 当 ，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 11. 在四棱锥中，底面ABCD，，P为平面SAB内一动点，且直线CP，DP分别与平面SAB所成的角相等，则（ ） A. B. 平面SAB与平面SCD夹角的正切值为 C. 点P到平面SCD距离的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明、二面角的向量求法判断AB；求出点 的轨迹方程并用三角代换表示点 的坐标，再求出点到平面距离最大值判断C；确定点 的坐标，结合球的截面性质求出球半径判断D. 【详解】在四棱锥中，底面ABCD， ，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，， 则，而平面，因此平面， 又 平面，则，A正确； 对于B，平面的法向量，， 设平面的法向量，则，取 ，得， 设平面SAB与平面SCD的夹角为，则，，B正确； 对于C，平面，与平面所成角分别为， 由，得，则，设点， 则，整理得，令， ，则点 到平面的距离 ，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当点 到直线 距离最大，即点时， 三棱锥的体积最大，此时， 外接圆半径，而 外接圆圆心为 中点， 令过此中点与平面 垂直的直线为，则三棱锥外接球球心， 可得平面，因此点 到平面的距离， 球半径，所以外接球的表面积为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】计算即可求解. 【详解】由题意有， 又，所以， 故答案为：3. 13. 三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意该三棱锥为正三棱锥，作出球心，构建勾股定理可得半径. 【详解】 该三棱锥正三棱锥， 为底面的中心， 底面，球心在直线上， 底面是边长为的等边三角形， 为底面的中心， ，， ， 设外接球半径为R，在中， ，， 所以体积， 故答案为：. 14. 已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】对于①：当时，分、讨论可得答案；对于②：当时，根据容斥原理可得答案. 【详解】对于①：当时，数列共有种可能.需满足， 分情况讨论： ：可取0，1，2，对应，共3种； ：可取0，1，共2种； ：可取0，共1种； 总数为. 对于②：当时，数列共有种可能. 需满足存在至少一个三元组满足条件： 计算满足前三个条件的数列数目：前三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算满足后三个条件的数列数目：后三个元素满足，有6种可能，任意，共有种. 计算同时满足两个条件的数列数目：需满足，，有4种可能. 根据容斥原理，总数为，所以概率为. 故答案为：6；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在 中，内角 的对边分别为，且. （1）求 ； （2）若 在边 上，且，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边整理可得，结合三角形性质得，即可求解； （2）根据得，结合向量模的运算求得，利用余弦定理求得，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，因为，所以， 所以， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即， 即，解得，或（舍）， 由余弦定理，得，所以， 所以 的周长为. 16. 为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件 “甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量 ，求 的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 【答案】（1） （2） 4000 3000 2000 1000 0 （3）元 【解析】 【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解； （2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为 元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解； （3）先求出甲参赛队可获得奖金 的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可. 【小问1详解】 每个项目挑战成功的概率 ， 则 . 【小问2详解】 甲参赛队获得奖金数为随机变量 的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0. ；； ； ；. ∴甲获得奖金数 的分布列为： 4000 3000 2000 1000 0 【小问3详解】 由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望 元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元 17. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点． （1）求双曲线 的方程； （2）设过原点的直线与 交于、 两点且点在第一象限， （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标． （ⅱ）连接与双曲线 交于点 ，若面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线 的方程； （2）（i）设点，点在以原点为圆心，以 为半径的圆上，可得出，再由点在双曲线 上，结合点在第一象限可求得点的坐标； （ii）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线 的方程联立，列出韦达定理，根据结合三角形面积公式、韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由双曲线 的两条渐近线方程为，得，即， 又因为双曲线 经过点，得，解得，， 所以双曲线 的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知，点在以原点为圆心，以 为半径的圆上， 设点，则， 又因为点在双曲线 上，联立，可得， 又因为点在第一象限，所以； （ii）设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由双曲线的对称性可知， ，解得或（舍去）， 因为，所以，满足题意， 由图可知，所以，直线的方程为. 18. 如图，梯形中，，， 为 的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接 交于点 ，连接 ， 由题可得，且，所以 为的中点， 在中，，所以，同理， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 交于点 ，连接 ，由题设求证和即可由线面垂直判定定理求证平面，进而得证； （2）由题设结合（1）建立适当的空间直角坐标系，接着由题设和二面角定义依次求出所需点和向量坐标，进而求出平面的一个法向量，再由线面角的向量法公式计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可以点 为坐标原点，以 ， 方向和垂直于平面向上的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为，所以点 到平面的距离为， 则有，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则有，令，则， 设直线与平面所成角为 ， 则有， 故直线与平面 所成角的正弦值为. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）当时， 在单调递减， 在和单调递增； 当时， 在 单调递增. （2）（i）； （ii）证明：由（i）可知， 的三个零点：， 因为，且，所以， 又因为，所以， 因为，所以函数单调递减，， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可； （2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可； （ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明. 【小问1详解】 的定义域为 ， . 当时，，所以恒成立， 所以 在 单调递增； 当时，， 所以的两根为， 且，所以， 所以，时，或时，． 所以 在上单调递减，在和单调递增． 综上：当时， 在单调递减， 在和单调递增； 当时， 在 单调递增. 【小问2详解】 （i）由（1）可知当时， 在 单调， 不可能有三个零点； 当时，的两根为， 且，所以，且， 因为 在上单调递减，所以， 因为，所以， 设， 在上单调递减，， 即，所以使. 因为， 又因为，所以， 所以使， 所以，当时， 有三个零点， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖滨高级中学2025届高三考前模拟测试（三） 高三数学试题 2025.05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前 项和为，则（ ） A. B. C. 5 D. 15 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但选不全的部分得分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为120 B. 各二项式系数的和为64 C. 各项系数的和为1 D. 各二项式系数的最大值为240 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和为 11. 在四棱锥中，底面ABCD，，P为平面SAB内一动点，且直线CP，DP分别与平面SAB所成的角相等，则（ ） A. B. 平面SAB与平面SCD夹角的正切值为 C. 点P到平面SCD距离的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_________． 13. 三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为__________. 14. 已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在 中，内角 的对边分别为，且. （1）求 ； （2）若 在边 上，且，求 的周长. 16. 为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件 “甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量 ，求 的分布列； （3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 17. 已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线为，且经过点． （1）求双曲线 的方程； （2）设过原点的直线与 交于 、 两点且点 在第一象限， （i）若以 为直径的圆恰好过右焦点，求点 的坐标． （ⅱ）连接与双曲线 交于点 ，若面积为，求直线的方程． 18. 如图，梯形中，，， 为 的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $