江苏省宿迁市湖滨高级中学2025-2026学年高三上学期考前模拟测试（三）数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.C2.B3.A4D5.B6.B7B8.D 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9.BC 10.AD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.1 6 14.6,32 81 15.(I)因为bsinBtanA=V3 asinBcosC+√3 bsinCcosA, sin2 Btan4=3 sin AsinBcosC+3 sin BsinCcosA, 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， sinBtanA=3 sin AcosC+3sinCcos4 =3 sin(A+C), 因为sin(A+C)=sinB,所以tanA=√3， 因为A∈(0，)，所以A=匹 3 ②烟为80：2nC,所以D=孤+号8c=+引ac-8-写4+号C, 所以4D2=AB+4AB.4C+4AC,即12=c2+ 14 -×3×c× x9, 29 即c2+6c-72=0,解得c=6,或c=-12（舍)， 由余弦定理，得a2=36+9-2×6x3×=27,所以a=35, 所以△ABC的周长为3V3+3+6=3V3+9. 16解：设A表示“第i次挑战第一个项目且挑战成功”，设B,表示“第i次挑战第二个项目 且桃故成，=12，则P4)=PB)-子P4风)=Pa,团)- (1)由题意A=A,B,UA,B,B2UAA,B,UA,A2B,B2, 22_4 P(AB)=×行g y P(4BB,)=P(4)P(B,8)=P(4)P(8)P(B,1B)=2xx3- 3346 P(44B)=P(44)P(B)=P(A)P(A.A)P(B)=3= PA4,BB,)=P(44,)P(BB,)=3×4X3X416 13131 ..4分 4,1,1,1121 所以P(4)=g+6+616144 5分 (2)随机变量X的所有可能取值为0,1000,2000,3000,4000， …6分 PX=0)=P(4A)=P(41-P(4,4》=3×4i2 111 .7分 PX=100)=P(44,BB)=P(44,)P(BB,)=3××3×448 13111 …8分 211,131317 P(X=2000)=P(4B,B2)+P(A,A,B,B2)=二×× +一X一X一X ..9分 3343434144 PX=300)=P4BB,)+P44,B)号x,×+3××=” .10分 224 P(X=4000)=P(AB,)=3×39 11分 所以X的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 1 1 17 1 4 12 48 144 3 9 .12分 (3)由(2)知 17 1 4、437000 E(X)=1000×(0× +1× -+2× +3×二+4×-) ×12481443 ..14分 9 144 因为本届挑战赛共有36支参赛队，36E(X)=36× 437000 144 =109250, 所以，估计该赞助商提供奖金总额为109250元。.15分 17(1)由双曲线C的两条渐近线方程为y=士V5x,得2=V5,即h=V5a, 义同为风自版C12).名子京-1，骑-1,6=5， 所以双曲线C的方程为r-上=1 3 (2)()由题意知，点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 设点M(x,y),则x6+y=4, [x+=4 xo= 7 4 又因为点M在双曲线C上，联立 - =1 ,可得 3 6=4 √73 又因为点M在第一象限，所以M 2’2 (ii)设直线NE的方程为x=my+2,设点E(x,)、N(x2,y2), 3x2--3可得3m2-1)2+12my+9=0, x=y+2 联立 3m2-1≠0 △=144m2-363m2-1=36m2+1>0 由题意可得 12m y+y2= 3m2-1 9 y= 3m2-1 由双曲线的对称性可知M四WF, S.MEN =S.NEF Fy-y=2%+°-4% 2 12m 4×912Wm2+ 3m2-1 3m2-13m2-1 =6√2，解得m2=1或m2=- (舍去) 3 9 因为为=3m->0.所以3m2-1>0,满足题意， 由图可知m>0,所以，直线NF的方程为x-y-2=0 18(1)连接AC交DE于点0，连接OP, 由题可得AD=CE=2=CD,且AD//CE,所以O为DE的中点， 在△DEP中，PE=PD=CD=2,所以DE⊥PO,同理DE⊥AO, 又PO∩AO=O,PO、AOc平面AOP,所以DE⊥平面AOP, 又因为APc平面AOP,所以DE⊥AP: (2)由(1)可以点O为坐标原点，以OE,OC方向和垂直于平面ABED向上的方向分 别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 由题可知ABCD为等腰梯形，且BC=2AB=2CD=2AD=4,可得∠ABC=60°， 由(1)可知，∠AOP为二面角A-DE-P二面角的平面角， 所以∠A0P=120°，从而∠COP=60°， 因为0P=0C=V5,所以点P到平面4BED的距离为V5sin60°=3 B(2,-V5,0,E(1,0,0), 所以DP 〔即29引原-( 设m=（x,y,2)为平面BEP的一个法向量， -2x+ 3V3.3 2y+22=0,令y=5,则m=(3,5,, z=0 则有 -x+V3y=0 设直线DP与平面BEP所成角为O, 3.3 则有sin0=lcos(DP,》= DP.m B+2+2 3√13 DP 2×V13 13 故直线DP与平面A8P所成角的正弦值为3 13 19(1)f(x)的定义域为(0，+oo), =+) 当m≥)时，4=1-4m2≤0，所以mx2-x+m≥0恒成立， 所以f(x)在(0，+o0)单调递增： 当0<m<时，A=1-4m2>0, 所以代)=0的两限为x=1仁m与=1+看m 2m 2m 且x+5=1>0,4,=1>0,所以0<x<5, 0 所以，x∈(x,x2)时，f'(x)<0,x∈(0，x)或(x2,+∞)时，f'(x)>0. 所以f(x)在x,x2)上单调递减，在(0，x)和x2,+o)单调递增. 综上：当0cm时，)车 1-V1-4m21+V1-4m2 单调递减， 2m 2m 1+V1-4m2 在 0,1-V1-4m 和 ,+00 单调递增； 2m 2m 当m≥2时，f)在(0，+0)单调递增 (2)由1)可知当m≥时，f)在0，+0)单调， 不可能有三个零点； 当0<m<)时，f)=0的两根为5=1-1-4m 1+V1-4m2 ,X2三 2m 2m 1 且x+x2=二>0，xx2=1>0，所以0<x<1<x2,且f(I)=0, m 因为f(x)在(x,2)上单调递减，所以(x)>f(I)=0>f(x2), 5 1 因为0<m< m 2m 设gm)m+3hmg-2 (3m2-2-4m6 <0 m m g侧在上单g侧>8[付4 3ln2>3-3ln2>0, 即f小0，所ce)使f@=0 因胸r-是÷小nf-m 又因为>品→0<m<名=，所以fm)=-f0. m X2 所以3a∈m,x)使f(a)=0, 所以，当0<m<分时，f(有三个零点a,b=lc, (ii)由(i)可知，f(x)的三个零点：a∈(0,1)，b=1,c∈(1，+0)， 因为f日=-.且fo)=f@=0,所以c=1. 11 2 又因为0<m<→>2，所以a+C>a+2c=a+2, 2 m m a 2 因为ae(0,),所以函数h(a)=a+二单调递减，h(a)>h(I)=3, a 2 所以a+C>a+2c=a+二>3=3b,得证. m a 6 湖滨高级中学2025届高三考前模拟测试（三） 高三数学试题　　　　　　　2025.05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，，，则 （ ） A． B． C． D． 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．若直线是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C． D． 7. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且 ，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对但选不全的部分得分，有选错的得0分。 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为120 B. 各二项式系数的和为64 C. 各项系数和为1 D. 各二项式系数的最大值为240 10. 已知数列满足，的前n项和为，则（ ） A. B. 数列等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前100项和 11. 在四棱锥中，底面ABCD，， ，P为平面SAB内一动点，且直线CP，DP分别与平面SAB所成的角相等，则（ ） A. B. 平面SAB与平面SCD夹角的正切值为 C. 点P到平面SCD距离的最大值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数，则_________． 13. 三棱锥的侧棱长都为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 . 14. 已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为_______；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题13分) 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若在边上，且，求的周长. 16.(本小题15分) 为加强中小学科学教育，某市科协、市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市 中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金元，该项目不再挑战；若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金元，否则，不获得奖金. 假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. （1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； （2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； （3）假设本届比赛共有支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 17. (本小题15分) 已知双曲线，左、右焦点分别为、，两条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）设过原点的直线与交于、两点且点在第一象限， （i）若以为直径的圆恰好过右焦点，求点的坐标． （ⅱ）连接与双曲线交于点，若面积为，求直线的方程． 18.(本小题17分) 如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. （1）证明：； （2）若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 19. (本小题17分) 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $