精品解析：重庆市求精中学校2025-2026学年高一上学期第一阶段考试（月考）数学试题

重庆市求精中学校2025－2026学年度高一（上）一阶段考试 数学试题 考试说明：1.考试时间120分钟 2.试题总分150分 3.试卷页数4页 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 不存在， 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 是单调函数 D. 11. 设，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的范围为 D. 若，则的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 13. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 14. 对于一个由整数组成的集合中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“大和数”为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）当时，，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知二次函数满足，． （1）求的解析式； （2），恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集， （2）设的解集为，若，求实数的值. 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 19. 已知函数. （1）证明：，并求函数的值域； （2）已知为非零实数，记函数的最大值为. ①求；②求满足的所有实数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市求精中学校2025－2026学年度高一（上）一阶段考试 数学试题 考试说明：1.考试时间120分钟 2.试题总分150分 3.试卷页数4页 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集运算的定义求解. 【详解】由条件得，所以. 故选：C． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 不存在， 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用存在性命题的否定解答即可. 【详解】根据存在性命题的否定知， 命题的否定是. 故选：B 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，解集为. 故选：B. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合A、B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 6. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义结合分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】不妨设，由任意实数，都有，可知， 即在上单调递减， 根据一次函数与二次函数的性质，要满足题意需， 所以. 故选：B 7. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断函数的单调性和最值，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如图所示： 由的对称轴是，且， 当时，是增函数， 且，所以， 所以，又，故． 故选：A． 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值. 【详解】由题意，当， 有， ， 是方程的两个不等实数根， ，， 而， ，即， ， 令，则， 则当时，有最小值且为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，例如：集合，满足，但，即充分性不成立； 反之：若，此时满足，但，即必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以A错误； 对于B，由，则成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确； 对于C，当时，若，则，所以充分性不成立； 反之：当时，可得，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以C错误； 对于D，由， 可得， 所以，即，所以充分性成立， 反之：若，则， 即，所以必要性成立， 所以“”是“”成立的充要条件，所以D正确. 故选：AC. 10. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 是单调函数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；由且，可判定C错误；令，结合，可判定D正确. 【详解】因为函数的定义域为，， 对于A，令，可得，解得，所以A正确； 对于B，令，可得，解得，所以B错误； 对于C，因为且，所以函数不是单调函数，所以C错误； 对于D，令，可得， 因为，所以，所以D正确. 故选：AD. 11. 设，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的范围为 D. 若，则的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】因为， 对于A，由， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为，即，所以，即上式等号不成立， 设，可得函数在为单调递减函数， 所以，所以的最小值为，所以B不正确； 对于C，由， 当且仅当且时，即时，等号成立， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D，由， 当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域求解即可. 【详解】由题意：，解得：， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 14. 对于一个由整数组成的集合中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“大和数”为______． 【答案】 【解析】 【分析】集合中一共有6个元素，则一共有个子集，对于集合的任意一个子集，总能找到一个子集，使得，再结合“大和数”的定义可得答案. 【详解】一共有6个元素，全体元素之和为：. 对于集合的任意一个子集，总能找到一个子集，使得， 又当时，，结合集合有个子集，则形如与这样的非空集合对有对，而相互对应的两个集合的元素和为，则的“大和数”为： . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，． （1）当时，，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）由交集，并集，补集定义可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 或，. 【小问2详解】 因，则，则. 16. 已知二次函数满足，． （1）求的解析式； （2），恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由待定系数法设，然后由题意可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【小问1详解】 设，因，， 则，则. ，则； 【小问2详解】 ，恒成立. ， 当时取等号，故. 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集， （2）设的解集为，若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）本题可根据题意分为、、三种情况进行讨论，然后通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据得出当时不等式恒成立，然后将其转化为在上恒成立，最后通过计算即可得出结果. 【详解】（1）当时，，即解不等式， 当时，，解得，此时； 当时，，不等式恒成立； 当时，，解得，此时， 综上所述，不等式的解集. （2）因为，所以当时，不等式恒成立， 即，， 故，即在上恒成立， 则，解得，故. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及含绝对值、参数的不等式有解问题，考查通过去绝对值的方式求解绝对值不等式，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想与分类讨论思想，属于中档题. 18. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则； （3）求证：，且． 【答案】（1），证明如下： . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （2）证明： 由（1）及是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. （3）证明：由（1）可知. 取，则 ，故有 ， 则有， 因为， 所以 ， 故，且. 【解析】 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. （3）先由结论得到，再利用乘法法则证明结论. 【小问1详解】 ，证明略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 19. 已知函数. （1）证明：，并求函数的值域； （2）已知为非零实数，记函数的最大值为. ①求；②求满足的所有实数. 【答案】（1） 由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 由函数， 得，解得，所以函数的定义域为， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以， 又，所以函数的值域为； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）分别求出两函数的定义域，计算即可得证，再求出函数的值域，从而可得出答案； （2）①由（1）得，令，分，，和四种情况讨论，结合二次函数的最值即可得出答案； （2）求出，再分，，，，和六种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得， 则， 令， 则， 对称轴为， 当时，则， 所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，； ②因为， 所以， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 当时，， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得（舍去）， 综上，或. 【点睛】本题考查了求含根号函数的值域问题及二次函数的最值问题，考查了分类讨论思想及数据分析能力，解决第二问的关键在于找到讨论的临界点，可以借助数轴的手段来进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $