精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年高三上学期第一次形成性检测数学试卷

2025~2026学年度高三年级第一学期第一次形成性检测 数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合选项，逐一验证选项即可得出结果. 【详解】已知，， 对于A选项，，则，符合题意； 对于B选项，，则，不合题意； 对于C选项，，则，不合题意； 对于D选项，，则，不合题意. 故选：A 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得，，又，从而可得. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以，即， 而，所以. 故选：B. 4. 如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由选项中的函数解析式，利用函数的奇偶性的定义和判定方法，可排除选项A，B，结合和时，的正负，排除C项，得到D符合题意. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，即， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以A不符合题意； 对于B，函数的定义域为， 且，即， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，，可得，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，可得；当时，可得， 满足要求，所以D符合题意. 故选：D. 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 6. 在等差数列中，，，若此数列的前项和，前项和，则数列的前项和的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列的前18项和． 【详解】解：，， ，，， ． 故选：． 【点睛】求数列的前项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和，属于中档题． 7. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先运用对数的运算性质化简已知式为，结合所求式的结构，将其化成，利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得. 【详解】由可得: , 即,则 则 , 当且仅当时,等号成立. 由解得：， 即当时，的最小值是. 故选：B. 8. 设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立． 令，用导数法求最小值，即有. 【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数． 因为，所以在R上单调递增． 不等式可转化为， 所以，即对恒成立． 令，则， 令，则． 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减． 所以，即， 所以，且当时，取最小值0， 故，即实数a的最大值为0． 故选：D. 【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决. 一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论. 当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式. 9. 已知定义在上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：①；②函数在上有且仅有3个最值点；③函数在上单调递增；④函数的最小正周期是2；⑤函数右移个单位是奇函数，则.其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定性质求出函数的解析式，再结合正弦函数的图象性质逐一判断得解. 【详解】由函数的图象关于点对称，得， 由函数的图象关于直线对称，得， 则，即， 由函数在上有且仅有3个零点，得，即， 于是，，由，得， 而，因此，， 对于①，，①错误； 对于②，令，得，令，得， 因此函数在上有且仅有3个最值点，②正确； 对于③，由，得， 因此在上单调递增，③正确； 对于④，函数的最小正周期，④错误； 对于⑤，函数右移个单位，得， 由是奇函数，得，解得，⑤错误， 所以所有正确的结论个数为2. 故选：B 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算结合复数的概念求解即可. 【详解】，所以它的虚部为. 故答案为： 11. 若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知表示出，再利用换底公式化简可求出. 【详解】因为，所以， 所以，则2. 故答案为：2. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角余弦公式及辅助角公式求得，再利用诱导公式及二倍角余弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以. 故答案为： 13. 设为数列的前项和，若，则______ 【答案】513 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，所以. 故答案为：513 14. 在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】由题意，求得，结合，根据向量的线性运算法则，求得；再由，得到为直角三角形，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，得到，结合向量的数量积的坐标运算，得到，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 又由，且， 因为，所以， 即，所以； 因为，所以为直角三角形， 以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 因为为线段的中点，可得， 又因为点满足，即为（靠近的三等分点），可得， 由为线段上的动点，可得设，其中， 则， 所以， 根据二次函数的性质得，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：；. 15. 已知，定义：，设．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令函数，通过分析的正负确定函数及的解析式，把零点问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得结果. 【详解】令函数，由解析式可得函数在上单调递增， ∵，∴当时，，当时，， ∴，. 令，由，得， ∴函数的零点为函数的图象与直线交点的横坐标， 其中直线恒过点，当时，， 在坐标系内作出直线与函数的图象， 先考虑与图象的交点个数， 因为直线过点，而， 故直线与图象有两个交点，分别为， 故当即时，直线与有且只有一个交点， 如图1，当，即时， 直线与函数的图象只有一个交点， 如图2，当，即时，直线过点， 故直线与函数的图象只有一个交点， 如图3，当，即时， 直线与函数的图象只有一个交点， 如图4，当，即时， 直线与函数的图象只有一个交点， 如图5，当，即时， 直线与函数的图象有两个交点， 综上得，若函数有两个零点，实数的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定函数的解析式，根据得，其中，问题转化为函数的图象与直线有两个交点，数形结合求出的取值范围. 三、解答题 16. 在中，内角所对的边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合已知即可求出B的大小； （2）利用余弦定理即可求出b的值； （3）根据求出sinA，cosA，从而可求sin2A、cos2A，再根据正弦的差角公式即可计算． 【小问1详解】 在中，由正弦定理，可得， 又由，得 即， ∴，∴，∴． 又因为，可得； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，， 有，故； 【小问3详解】 由，可得， 因为，所以，故为锐角，故， 因此，． 所以，． 17. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合诱导公式及差角的正弦求出，再利用正弦函数周期公式求解. （2）利用正弦函数的性质求出指定区间上的最值. （3）由给定条件求得，进而求出，再利用差角的正弦公式求解. 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 则，， 所以函数在上的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 由，得，则， 由，得，而，则， 即，，由， 得，则，， 所以. 18. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前项和为，记数列的前项和为，求； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出. （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. （3）利用（1）的结果求出，进而求出，再利用分组求和法及裂项相法求和即得. 【小问1详解】 在等差数列中，，而， 则是方程的两个实根，由，得， 解得，，，， 在等比数列中，由，，得，而，则， 所以数列，的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，， ， ， 两式相减得 ， 所以. 【小问3详解】 由（2）得，， 所以 . 19. 已知函数，，. （1）求的单调区间； （2）若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围； （3）若当时，有最小值，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）； （3） 由（2）知，，， 令，，求导得， 则函数在上单调递增，而又，， 于是存在唯一的，使得，即，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则在上恒成立， 函数在上单调递减，，即， 因此，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，进而求出其单调性. （2）由（1）可知将单调性相同转化为在时恒成立，求出，可得实数的取值范围. （3）对求导后构造函数再求导，利用零点存在性定理可判断导函数的符号，求出其单调性可得最小值的表达式，再构造函数求出其值域即可. 【小问1详解】 函数的定义域，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意及（1）得在上单调递增，则在时恒成立， 令，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 且对，恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在处导数相等，证明：； （3）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点. 【答案】（1）； （2） 由在处导数相等，得， 即，则，解得， 于是，设， 函数，求导得，函数在上单调递增， 因此，所以. （3） 记，求导得， 令，函数，则， ①当时，，有，函数在上单调递减， 当，即时，取，有， 又，因此函数有唯一零点； ②当时，，由，解得， 则当或时，；当时，， 函数在上单调递减，函数在单调递增， 记，，则有， 则函数在处取得极小值， 令，而，即， 又，则在上单调递减， 因此，则， 又，则函数有唯一零点， 所以当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由已知结合基本不等式可得 ，再令，将表示为的函数，利用导数推理得证. （3）设，求导后分类讨论的取值范围，得出函数单调性，再结合零点存在性定理证明直线与曲线有唯一零点. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高三年级第一学期第一次形成性检测 数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 6. 在等差数列中，，，若此数列的前项和，前项和，则数列的前项和的值是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 9 8. 设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 9. 已知定义在上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：①；②函数在上有且仅有3个最值点；③函数在上单调递增；④函数的最小正周期是2；⑤函数右移个单位是奇函数，则.其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 复数的虚部为______. 11. 若，则___________. 12. 已知，则______. 13. 设为数列的前项和，若，则______ 14. 在中，已知，且，则_______________；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为______________. 15. 已知，定义：，设．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_______． 三、解答题 16. 在中，内角所对的边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最值； （3）若，且，求的值. 18. 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. （1）求数列，的通项公式； （2）数列的前项和为，记数列的前项和为，求； （3）若，求数列的前项和. 19. 已知函数，，. （1）求的单调区间； （2）若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围； （3）若当时，有最小值，证明：. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若在处导数相等，证明：； （3）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $