精品解析：重庆市珊瑚初级中学校2025-2026学年九年级上学期开学测试数学试卷

2025年重庆市珊瑚中学初三开学考试数学试题 一、选择题 在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班观看电影《731》的情况 B. 调查某市垃圾分类的情况 C. 调查某种西瓜的甜度情况 D. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 4. 如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 6. 正比例函数的图像经过了点（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 某班甲、乙两名同学相约利用课余时间进行跳绳锻炼．在一次锻炼中，甲同学完成跳绳180个，乙同学完成跳绳200个，但乙同学所用时间比甲同学少10秒，两人计算后得知：甲同学每秒比乙同学少跳绳1个，则本次锻炼中甲同学每秒跳绳多少个？设甲同学每秒跳绳x个，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，过点作于点，于点，动点从点出发，沿着以每秒1个单位长度的速度匀速向终点运动，设运动时间为秒．下列说法正确的有（ ） ①线段的长度先减小后增大； ②当时，的值最小； ③当时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题 请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=__________． 12. 如图，一架梯子斜靠在一个垂直于地面的墙面上，M是的中点，若米，米，则为________ 13. 设n为正整数，且，则n的值为______． 14. 若实数x，y同时满足，则的值为________ 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走__________的路程． 16. 已知点到直线的距离公式为，例如：点到直线的距离为，请根据该公式解决以下问题： ①求点到直线的距离____________； ②在直线上，则的最小值是____________ 三、解答题 解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，中，平分，交于点D，用尺规作的垂直平分线与，分别交于点E，点F，与交于点O，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①_____． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②______． ∵平分， ∴． ∴四边形是③______． ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④______． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 22. 如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， （1）根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 23. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为6． （1）求点C的坐标及直线的表达式： （2）若M为线段BC上一点，且的面积等于的面积，若D、E为y轴上的两个动点（点D在点E的上方），且，求点M的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，点G为直线上一动点，在x轴上是否存在点H，使以点H、G、B、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系． 【发现证明】 小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】 当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________． 【探究应用】 如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆市珊瑚中学初三开学考试数学试题 一、选择题 在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全班观看电影《731》的情况 B. 调查某市垃圾分类的情况 C. 调查某种西瓜的甜度情况 D. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A． 调查全班观看电影《731》的情况，采用全面调查． B． 调查某市垃圾分类的情况，采用抽样调查． C． 调查某种西瓜的甜度情况，采用抽样调查． D． 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，采用抽样调查． 故选：A． 4. 如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠1+∠C=180°， ∵， ∴∠1=130°． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 5. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律的探究，找出图形的规律是解题的关键． 根据图形的规律，得出图形中小正方形的个数代数式为，然后代数求值即可． 【详解】解：根据图中图形的个数得，后一个图形比前一个多4个正方形， ∴第个图形中小正方形的个数为：， ∴第⑩个图案中正方形的个数为， 故选：D． 6. 正比例函数的图像经过了点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据题意可得在正比例函数图象上的点的横坐标是其纵坐标的倍，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴在正比例函数图象上的点的横坐标是其纵坐标的倍， ∴四个点中，只有点符合题意， 故选：D． 7. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：△=， 则方程有两个不相等的实数根． 故选：B 8. 某班甲、乙两名同学相约利用课余时间进行跳绳锻炼．在一次锻炼中，甲同学完成跳绳180个，乙同学完成跳绳200个，但乙同学所用时间比甲同学少10秒，两人计算后得知：甲同学每秒比乙同学少跳绳1个，则本次锻炼中甲同学每秒跳绳多少个？设甲同学每秒跳绳x个，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，在解题的时候，根据题意正确的找到并书写等量关系，是解题的关键．设甲同学每秒跳绳x个，则乙同学每秒跳绳个，等量关系：甲同学跳180个所用的时间乙同学跳200个所用的时间秒，据此列方程即可． 【详解】解：设甲同学每秒跳绳x个，则乙同学每秒跳绳个， 依题意有：． 故选：C． 9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，过点作于点，于点，动点从点出发，沿着以每秒1个单位长度的速度匀速向终点运动，设运动时间为秒．下列说法正确的有（ ） ①线段的长度先减小后增大； ②当时，的值最小； ③当时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要先根据矩形的性质得出，再结合直角三角形的性质确定的变化情况，进而分析的相关结论． 【详解】解：连接 ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，，，， ∴． ∴当时，最短，此时最短． 根据勾股定理， ∴， 解得． 在中，，，， ∴，即时，最短，故②正确． ∵从运动到，先变小后变大（时最小 ）， ∴的长度先减小后增大，故①正确． 当时，，则． 在中，， ∴；，， ∴． ∴，故③错误． 综上，①②正确，共个， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、直角三角形的性质（含角的直角三角形性质、勾股定理），熟练掌握矩形的对角线相等以及直角三角形的相关性质是解题的关键． 二、填空题 请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=__________． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的方程的一个根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=2，故答案为2． 考点：一元二次方程的解． 12. 如图，一架梯子斜靠在一个垂直于地面的墙面上，M是的中点，若米，米，则为________ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，由题意可得，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：依题意，， ∵是的中点， ∴， 在中， 故答案为：米． 13. 设n为正整数，且，则n的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由，结合二次根式即可确定n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为3． 【点睛】本题考查了无理数的估算，准确确定n的值是解题的关键． 14. 若实数x，y同时满足，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据绝对值的非负性可得，据此分和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴， 解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 15. 如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走__________的路程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径的计算，理解最短路径，正确运用勾股定理是关键． 根据题意得到半圆的周长为，得到展开后图形的长，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点M， ∴， ∵长方形地毯，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为， ∴，，， ∴半圆的弧长为， 将中间半圆展开，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程， 故答案为： ． 16. 已知点到直线的距离公式为，例如：点到直线的距离为，请根据该公式解决以下问题： ①求点到直线的距离____________； ②在直线上，则的最小值是____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，垂线段最短，正确理解题意是解题的关键． （1）根据点到直线的距离计算公式求解即可； （2）可求出；根据两点距离计算公式可得表示的是点到点的距离的平方，那么当点与点的连线垂直于直线时，点到点的距离有最小值时，即此时有最小值，据此根据点到直线的距离计算公式求出点到直线的距离即可得到答案． 【详解】解：①由题意得，点到直线的距离； 故答案为：； ② ， 由坐标系中两点距离计算公式可得表示的是点到点的距离的平方， ∴当点到点的距离有最小值时，即此时有最小值， ∵在直线上，且垂线段最短， ∴当点与点的连线垂直于直线时，点到点的距离有最小值时，即此时有最小值， ∴点与点的距离最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再求出整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，，，， ∴它的所有整数解的和为． 18. 在学习了菱形的判定后，数学兴趣小组研究发现：作三角形的一条角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到此结论． 请根据以上信息完成以下作图与填空： （1）如图，中，平分，交于点D，用尺规作的垂直平分线与，分别交于点E，点F，与交于点O，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 证明：∵平分， ∴①_____． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②______． ∵平分， ∴． ∴四边形是③______． ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④______． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③平行四边形；④正方形 【解析】 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接分别交、于点E、F，交于点O，再连接、； （2）由角平分线的定义得，再由全等三角形的性质得，再根据菱形的判定得证，最后由正方形的判定得出结论． 【小问1详解】 解：如图，、即为所求； 分别以点B、D为圆心，大于的长度为半径画弧交于点M、N，连接分别交、于点E、F，交于点O，再连接、； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴①． ∵，且与交于点O， ∴． ∵， ∴． ∴②． ∵平分， ∴． ∴四边形是③平行四边形， ∴四边形是菱形． 进一步研究发现，直角三角形中作直角平分线的垂直平分线与角的两边相交的两点和这条角平分线的两个端点构成的四边形是④正方形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④正方形． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂直平分线、菱形的判定、正方形的判定、角平分线的定理、全等三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活运用直接开平方法和配方法解方程是解题的关键． （1）先移项，然后运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 所以． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以． 20. 先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解： ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）矩形，理由见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． 【小问2详解】 菱形， ， ， ， ， 的面积， 菱形的面积的面积． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 22. 如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， （1）根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） （2）t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ （3）点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）； （2）1 （3） 解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 略 23. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）20万元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为6． （1）求点C的坐标及直线的表达式： （2）若M为线段BC上一点，且的面积等于的面积，若D、E为y轴上的两个动点（点D在点E的上方），且，求点M的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，点G为直线上一动点，在x轴上是否存在点H，使以点H、G、B、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的判定和性质，轴对称求最短距离，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线解析式求出点的坐标，利用面积求出线段的长度，确定点的坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可； （2）假设，根据面积求出点的坐标，构造平行四边形，利用轴对称求出最短距离和即可； （3）求出直线的解析式，分三种情况进行讨论，根据平行四边形的判定定理求点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵点在x轴正半轴， ∴， 假设直线的表达式为， 将和代入解析式得， 解得 ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：假设， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，作轴，且， 此时， ∴四边形为平行四边形， ∴， 当点共线时，值最小， 由勾股定理得， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 设直线的解析式为， 将和代入解析式得， 解得 ∴直线的解析式为， 则点， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴， 即； ②当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， 结合①得， 即； 综上，点的坐标为或或． 25. 问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系． 【发现证明】 小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】 当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________． 【探究应用】 如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度． 【答案】[发现证明]见解析；[类比引申] ，理由见解析；[探究应用] 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． [发现证明]根据正方形和旋转的性质证明即可； [类比引申] 证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； [探究应用] 延长至点，，再连接，先证明，再证明，即可求解． 【详解】[发现证明] 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； [类比引申] 解：，理由如下： 如图，在上截取，连接 ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， 即， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； [探究应用] 解：延长至点，，再连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $