九年级上学期期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：第1-4章）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

九年级上学期数学期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版第1—4章：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．8，12，6，9 B．3，4，20，2 C．0.5，9，0.6，6 D．1，2，3，4 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）某口袋里放有编号为1—4的4个球，先从中摸出一球，记下号码，将它放回口袋搅匀后，再摸一次，两次摸到的球号码相同的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或7 7．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，点是的边的中点，连接与交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为10，面积为12．则的值为（   ） A． B． C．3 D． 9．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．4 10．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）直角三角形斜边上的高和中线分别为2和4，则该直角三角形的面积为 ． 12．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 13．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）若关于x的方程的解是，则关于y的方程的解是 14．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则的值为 ． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为 ． 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形中，、分别在、上，，连接、，分别交于点，若，，则 ．      三、解答题（9小题，共72分） 17．解一元二次方程： (1)； (2)． 18．（2024·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 19．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中， (1)在上求作一点D，连接，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 (2)若，求的值． 20．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 21．（2024·新疆·二模）如图，已知平行四边形． (1)若E，F是上两点，且，求证； (2)若，求证：四边形是矩形． 22．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某民族服饰工厂每月生产某种民族服装件，每件产品的成本为元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的服装售价（元）与月销售量（件）满足关系：．线下直营店的服装按照每件元的定价出售，并进行促销活动：若月销售量不超过件，每件民族服装赠送成本为元的礼品，可全部售完；当月销售量超过件时，超过的部分因礼品已送完，则需要一次性投入成本为元的广告进行宣传． (1)①线上销售的件服装的总利润为_____元（用含的代数式表示）； ②设线下直营店的月销售量为件，求线下销售件服装的总利润（用含的代数式表示）． (2)假设工厂每月生产的件服装通过两种销售渠道全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为元．（注：要有解答过程）． 23．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示线段长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择） 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 24．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 25．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点为边上一动点，作垂直交边或于点，以为边构造正方形，使点和点在的同侧． (1)线段的长为__________． (2)当点落在边上时，求的长． (3)当正方形的面积是的面积一半时，求的长． (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版第1—4章：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，原选项中没有给出二次项系数不为0，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．8，12，6，9 B．3，4，20，2 C．0.5，9，0.6，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题考查成比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果两条线段之比与另两条线段之比相等，我们就说这四条线段成比例，本题解题关键是熟练掌握成比例线段的定义，正确找出对应比值． 由成比例线段知，证明线段a、b、c、d成比例，则需，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选A． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为， ∴，即． 故选：D ． 4．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）某口袋里放有编号为1—4的4个球，先从中摸出一球，记下号码，将它放回口袋搅匀后，再摸一次，两次摸到的球号码相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率，通过画树状图或列表的方式找出所有情况，以及两次摸到的球号码相同的情况数，根据概率公式即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 由图可得，共有16种等可能情况，其中两次摸到的球号码相同的情况共4种，故概率为． 故选：C 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握“菱形的对角线平分一组对角”这一核心性质，利用该性质将已知角转化为所求角． 先明确菱形中，对角线是的角平分线；再根据已知，可得为的一半；计算得出的度数后，匹配选项即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，   ∴菱形的对角线平分一组对角，即平分；   又∵，   ∴；   该结果与选项B一致，   故选：B． 6．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得． 【详解】解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根， ， 解得， 此时方程为，解得， 此时三边长为3，2，2，因为，所以能构成三角形； 当腰为3时，把代入关于的方程得， 解得， 此时方程为，解得，， 三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，的值为4或3． 故选：C． 7．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，点是的边的中点，连接与交于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握知识点的运用是解题的关键．由平行四边形性质可得，，，所以，，则有，，又点是边的中点，则，从而求得，所以，然后得出，最后由线段和差代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为10，面积为12．则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形，菱形的周长为10， ， ， ， ， 故选：B． 9．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质． 连接，由正方形的性质得出，继而证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，由勾股定理求出，由全等三角形的判定与性质得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，如图，延长交于，过作于，设，，证明，，进一步利用相似三角形的性质与勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：如图，延长交于，过作于，设，，    ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）直角三角形斜边上的高和中线分别为2和4，则该直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形面积，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上中线为， ∴该直角三角形的斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的高为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有200次摸到红球，由此估计盒子中的红球有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，概率公式的应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 利用频率估计概率可得到摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算这个盒子中红球的数量． 【详解】解：∵共试验1000次，其中有200次摸到红球， ∴摸到红球的概率为， 设盒子中有x个红球，则， 解得， 经检验，是该方程的解． ∴估计盒子中的红球有2个． 故答案为：2． 13．（25-26九年级上·湖北恩施·阶段练习）若关于x的方程的解是，则关于y的方程的解是 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程为或，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，．． 14．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，中，点D、E分别是、的中点，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心，解题关键是掌握三角形的三条中线交于一点，即为重心．根据重心的性质求解即可． 【详解】解：点D、E分别是、的中点， 、是的中线， 为的重心， 是的中线， ，即， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、两点之间线段最短等知识点，分别取的中点，连接，，作，可推出，且四边形为平行四边形，；进而得点在线段上运动；最后推出的最小值为线段的长度；即可求解； 【详解】解：分别取的中点，连接，，作，如图所示： 则，且四边形为平行四边形， ∴； ∵P是菱形内部一点，且满足， ∴点在线段上运动； 由菱形的对称性可知：点关于的对称点为点， ∴， 故：的最小值为线段的长度； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形中，、分别在、上，，连接、，分别交于点，若，，则 ．      【答案】/ 【分析】如图，过点作，根据，求出，根据四边形是正方形，得出，从而得 ，勾股定理求出，结合，求出，证明，得出，求出，，证明，得出，得出，即可求出，解答即可． 【详解】解：如图，过点作，      ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，二次根式的混合运算等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 三、解答题（9小题，共72分） 17．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 或； （2）解：∵， ∴， ∴ 则或， 解得或． 18．（2024·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得：， ∴， 解得． 19．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中， (1)在上求作一点D，连接，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用尺规作图作即可； （2）利用相似三角形的性质求出可得结论． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：∵， ， ， ， 20．（2025·江苏常州·模拟预测）《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； (2)将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 21．（2024·新疆·二模）如图，已知平行四边形． (1)若E，F是上两点，且，求证； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，再根据证明三角形全等即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴ ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某民族服饰工厂每月生产某种民族服装件，每件产品的成本为元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的服装售价（元）与月销售量（件）满足关系：．线下直营店的服装按照每件元的定价出售，并进行促销活动：若月销售量不超过件，每件民族服装赠送成本为元的礼品，可全部售完；当月销售量超过件时，超过的部分因礼品已送完，则需要一次性投入成本为元的广告进行宣传． (1)①线上销售的件服装的总利润为_____元（用含的代数式表示）； ②设线下直营店的月销售量为件，求线下销售件服装的总利润（用含的代数式表示）． (2)假设工厂每月生产的件服装通过两种销售渠道全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为元．（注：要有解答过程）． 【答案】(1)①；②当时，线下销售的件产品的总利润为元；当时，线下销售的件产品的总利润为元 (2)线上旗舰店销售件，线下直营店销售件 【分析】（）①根据题意列出代数式即可；②分和两种情况，根据题意列出代数式即可； （）设线上旗舰店的月销售量为件，则线下直营店的月销售量为件，分和两种情况，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①， ∴线上销售的件服装的总利润为元， 故答案为：； ②当时，线下销售的件产品的总利润为：元； 当时，线下销售的件产品的总利润为：元； 综上，当时，线下销售的件产品的总利润为元；当时，线下销售的件产品的总利润为元； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时， ， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根； 当，即时， ， 整理得，， 解得， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售件，线下直营店销售件，可使得销售总利润为元． 23．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示线段长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择） 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 【答案】[理解应用]：②；[拓展应用]：，，或 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案； [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [拓展应用] ∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：，，或． 24．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质证明即可； （2）先求出， 判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得， ， 从而得到，再求出是等腰直角三角形，求出， 然后利用“边角边”证明即可； （3）过点作于点，设， 则，根据等腰直角三角形的性质得到，然后表示和，再求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）证明∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示. ， ∴设， 则， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 25．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点为边上一动点，作垂直交边或于点，以为边构造正方形，使点和点在的同侧． (1)线段的长为__________． (2)当点落在边上时，求的长． (3)当正方形的面积是的面积一半时，求的长． (4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例； （1）根据勾股定理直接求得的长； （2）点落在边上时，证明，设，可得，，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解； （3）同（2）可得是等腰直角三角形，则，根据正方形的面积是的面积的一半，建立方程，解方程，即可求解； （4）分两种情况讨论，点在的内侧与的外侧两种情况，分别画出图形，求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，点落在边上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设 ∴，，则， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得： 即 （3）解：同（2）可得是等腰直角三角形， ∴ 设， 当正方形的面积是的面积的一半时， ∴， 解得：（负值舍去） 即； （4）解：①过点分别作的垂线，垂足为，连接，当在上时，如图， 又∵，则 ∵， ∴是的中位线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图，当在的外侧时，设交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 即 解得： ∴, 综上所述，当点到的距离是点到距离的2倍时， 的长为或 学科网（北京）股份有限公司 $