九年级上学期期中押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：第1-4章）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

九年级上学期数学期中押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版第1—4章：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．四条边都相等 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 2．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，练习本中的横格线都互相平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在横格线上．若线段，则线段长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）若、是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的三等分点，连接相交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建南平·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 10．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（   ） A． B．3 C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如果，那么的值为 ． 12．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知菱形的对角线的长分别为6和8，则这个菱形的面积是 ． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 14．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走线，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为 ． 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程： (1) (2) 18．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求． 19．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 21．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 22．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 23．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； (2)求当t为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题解决】小明想通过利用平行四边形解决问题，将双动点问题转化为单动点问题． 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．根据平行四边形的性质可推出，再得出的度数不变，即可发现点的运动轨迹，进而解决上述几何问题． 在【问题解决】的分析下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为__________度，线段长度的最小值为__________． 【方法运用】如图③，在等边中，，点、分别在边、上，且，则周长的最小值为__________． 25．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，的直角边在x轴上，顶点B的坐标为，直线交于点，交x轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点B的动直线l与x轴交于点P，与直线交于点H． ①若点P在线段上，且时，求此时直线l的解析式． ②已知点Q为直线上动点，在直线l上是否存在点M，使得以O，B，M，Q为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学期中押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版第1—4章：特殊平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．四条边都相等 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．首先方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，练习本中的横格线都互相平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在横格线上．若线段，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．过点C作于点E，交于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点C作于点E，交于点D， ∵练习本中的横格线都互相平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）若、是方程的两根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出，，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴ 故选：C． 8．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的三等分点，连接相交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 9．（2025·福建南平·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点E是上的一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 先由正方形的性质得到，，即可证明，得到，再证明得到，设，求出，，在中根据勾股定理建立方程，求解即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， 即， 解得， ∴． 故选：D． 10．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】过点 作 于点 ，如图，根据 是三个全等的等腰三角形，得出，，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，则，，证明，得出，根据，得出，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：过点 作 于点 ，如图， ∵ 是三个全等的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】该题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是利用平行线分线段成比例解答． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，关键是由比例的基本性质得到． 由比例的基本性质得到，然后代入，即可求值． 【详解】解：， ，即， 将代入． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知菱形的对角线的长分别为6和8，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线的长分别为6和8， ∴这个菱形的面积是， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数关系的公式． 利用一元二次方程根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·四川成都·期中）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走线，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：解题关答： 故答案为：． 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接，D为的中点，点P在y轴上，若以P，C，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】利用相似三角形的性质，再根据直角的不同分情况讨论，分别求得点P的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，如图， 此时， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以点； 当时，点不可能在轴上，如图， 所以这种情况不符合， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用勾股定理解三角形，矩形的性质，图形与坐标，解题关键是掌握上述知识点并能综合运用求解． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）方程两边除以，再利用直接开平方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 18．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等实数根时来确定参数的取值范围； （2）运用一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根，，满足，，结合分式的运算来求解的值． 【详解】（1）解：对于， ， 解得． （2）解：当时，方程为， 根据一元二次方程根与系数的关系，，， ． 19．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答． （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（2025·四川成都·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去白球个数即求得黑球个数； （2）根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公式计算即可解题． 【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，而小球总数为4， ∴口袋中白球的个数：个， 所以口袋中黑球的个数：个． 故答案为：1，3； （2）解：画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 22．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 【答案】(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 23．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； (2)求当t为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)； (2) (3)当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 24．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题解决】小明想通过利用平行四边形解决问题，将双动点问题转化为单动点问题． 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．根据平行四边形的性质可推出，再得出的度数不变，即可发现点的运动轨迹，进而解决上述几何问题． 在【问题解决】的分析下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为__________度，线段长度的最小值为__________． 【方法运用】如图③，在等边中，，点、分别在边、上，且，则周长的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）45；；方法运用：6 【分析】（1）过点D、N分别作、的平行线，并交于点P，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论；再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； 方法运用：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用等边三角形的性质和平行线的性质得到，再利用外角的性质和等腰三角形的性质得到，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点D、N分别作、的平行线，并交于点P，作射线，如图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 由题意：点P为上一动点， ∴当时，取得最小值为， ∵， ∴线段长度的最小值为． 故答案为：45；； 方法运用：解：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线，如图， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由题意：点P为上一动点， ∴当时，取得最小值为， ∵， ∴的最小值为2， ∵周长， ∴周长的最小值为． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 25．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，的直角边在x轴上，顶点B的坐标为，直线交于点，交x轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)过点B的动直线l与x轴交于点P，与直线交于点H． ①若点P在线段上，且时，求此时直线l的解析式． ②已知点Q为直线上动点，在直线l上是否存在点M，使得以O，B，M，Q为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②存在，点的横坐标为或或6或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①作轴，交直线于点，求出点的坐标，进而求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出直线l的解析式即可； ②设，分，为对角线以及，为对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把，代入，得，解得， ∴； （2）①作轴，交直线于点， ∵， ∴， 由（1）知，直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 同（1）法可得直线的解析式为； ②存在； 设， ∵， ∴， 当以O，B，M，Q为顶点的四边形是以为边的菱形时，分两种情况 ①当，为对角线时，则：，解得或， ∴或， 当时，由中点坐标公式可知：，即：； 当时，由中点坐标公式可知：，即：， ②当，为对角线时，则：，解得或， ∴或， 当时，由中点坐标公式可知：，即：； 当时，由中点坐标公式可知：，即：； 综上：点的横坐标为或或6或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $