精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2025—2026学年度（上学期） 八年级数学学科9月学科活动 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 4. 点P（－2，1）关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. （2，1） B. （－2，－1） C. （2，－1） D. （1，－2） 5. 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，若使，则需使的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 7. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或10 C. 10 D. 6或10 9. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( ) A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40° 10. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图，与关于直线对称，则的度数为___________． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是________． 13. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹所提供的信息，若的周长为23，则的长为_____． 14. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 15. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 16. 在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则___________ 17. 如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为_____． 18. 中，，，直线经过点，，，垂足分别为，，，，则线段的长为_____． 19. 八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（当时，），小华设计了一个进制数2004，换算成十进制数是690，则的值为_____． 20. 如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是：_____． 三．解答题 21. 解方程组和不等式组 （1） （2） 22. 如图，在的正方形网格中，点，B，均在正方形网格的格点上． （1）在图1中作出，使与全等，且点在正方形网格的格点上（画出一个即可）； （2）请在图2中用无刻度直尺作出的重心（保留作图痕迹）． 23. 尺规作图：如图，中，点在边的延长线上．求作一点，使点在的角平分线上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 24. 已知于点于点交于点E． （1）如图1，求证： （2）如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 25. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图中的两点即为“等和点”． （1）已知点的坐标为，在点中，与点为“等和点”的是_____（只填字母）； （2）若点满足方程，且，两点为“等和点”，求B点的坐标． 26. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 27. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，麦斯同学用一副直角三角板拼成了如图所示的图形． 【活动猜想】（1）麦斯同学发现，在图1中通过测量得到，就可以求出直线与直线的夹角，则直线与直线所夹锐角的度数为_____； 【探索发现】（2）如果把图1中的直角三角板绕着点顺时针旋转，当点落在线段上时，连接，如图2，求的度数； 【实践应用】（3）如图3，中，，点是垂直平分线上一点，点是线段垂直平分线上一点，连接并延长，交射线于点，连接，过点作于点，交于点，若，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2025—2026学年度（上学期） 八年级数学学科9月学科活动 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故选C． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 3. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(　 　) A. 2cm，3cm，5cm B. 7cm，4cm，2cm C. 3cm，4cm，8cm D. 3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型． 4. 点P（－2，1）关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. （2，1） B. （－2，－1） C. （2，－1） D. （1，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点P（m，n）关于y轴的对称点P′（-m，n） ∴点P（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标为（2，1）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 5. 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽人，列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺帽的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺帽数量． 等量关系为：生产螺栓的工人数+生产螺帽的工人数=90；螺栓总数×2=螺帽总数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设生产螺栓x人，生产螺帽人， 根据总人数可得方程； 根据生产的零件个数可得方程， 可得方程组：． 故选A． 6. 如图，已知，若使，则需使的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．先求得，再由全等三角形的性质推出． 【详解】解：∵， ∴， 要使， 则， 故选：C． 7. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 8. 如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或10 C. 10 D. 6或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 9. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( ) A. AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B. AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C. AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D. AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40° 【答案】B 【解析】 【详解】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90° A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3， 符合直角三角形全等的判定条件HL， ∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°， 不符合符合直角三角形全等的判定条件， ∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS； ∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA， ∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′； 故选：B． 点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案． 10. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图、角平分线的定义，由作图过程可知，，由角平分线的定义可得．根据，，可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，． ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， 故D选项一定正确． 故选：D． 二、填空题 11. 如图，与关于直线对称，则的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵与关于直线对称，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 12. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据不等式的性质得到，进而求解，即可解题． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹所提供的信息，若的周长为23，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查作图—基本作图，垂直平分线的性质．由作图知垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：由作图知垂直平分， ∴， ∵的周长为23，即，且， ∴． 故答案为：． 14. 按如图所示的规律图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____． 【答案】24 【解析】 【分析】分别求出前几个图中圆点的个数，并得出规律，即可解答． 【详解】解：第①个图中有个圆点； 第②个图中有个圆点； 第③个图中有个圆点； 第④个图中有个圆点； 第⑤个图中有个圆点； 第⑥个图中有个圆点． 15. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 16. 在的正方形方格中，和的位置和大小分别如图所示，则___________ 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形，通过构建全等三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图所示： 由作图可知，，，，， ． 故答案为：． 17. 如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两重心坐标的平均值，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B是两个图形的重心，且、， ∴平面组合图形的重心的坐标为，即． 故答案为：． 18. 中，，，直线经过点，，，垂足分别为，，，，则线段的长为_____． 【答案】2或7##7或2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定．分在直线的两侧和在直线的同侧两种情况讨论，证明即可求解． 【详解】解：当在直线的两侧时，如图， ∵、， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 当在直线的同侧时，如图， ∵、， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，线段的长为2或7， 故答案为：2或7． 19. 八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是（当时，），小华设计了一个进制数2004，换算成十进制数是690，则的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了利用立方根的性质解方程，解题的关键是正确理解进制之间的换算方法． 参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得，， ， 解得， 故答案为：7． 20. 如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是：_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质等知识． 延长、交于点，可证明，得，推导出，则，；根据垂线段最短结合角平分线的性质求得的最小值为3；作于点，于点，利用全等三角形的性质求得，推出平分，即可判断②说法正确． 【小问1详解】 解：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，①说法正确； ，④说法正确； 当时，有最小值， ∵，平分，， ∴， ∴的最小值为3，③说法正确； 作于点，于点， ∵， ∴， ∴平分， ∴，②说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 三．解答题 21. 解方程组和不等式组 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程组的解法，不等式组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． （1）利用加减消元法解答即可； （2）利用解不等式组的基本步骤解答即可． 【小问1详解】 解：， 用得，， 解得． 把代入②得，， 解得， 这个方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 故这个不等式组的解集为：． 22. 如图，在的正方形网格中，点，B，均在正方形网格的格点上． （1）在图1中作出，使与全等，且点在正方形网格的格点上（画出一个即可）； （2）请在图2中用无刻度直尺作出的重心（保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图，即为所作； ； （2） 如图，的重心即为所作； ． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用全等三角形的性质即可作出； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 尺规作图：如图，中，点在边的延长线上．求作一点，使点在的角平分线上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 点即为所求： ． 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线与线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质；作的垂直平分线和的角平分线，两线相交于点，点为满足条件的点． 【详解】略 24. 已知于点于点交于点E． （1）如图1，求证： （2）如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【答案】（1） 证明: 于点, 于点, ， 在与中， ， ， ； （2），，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知, ∴, ∴, ∵, ∴, 在与中, ， ∴, 在与中， ， ∴, 故图中的所有全等三角形有,,. 25. 在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图中的两点即为“等和点”． （1）已知点的坐标为，在点中，与点为“等和点”的是_____（只填字母）； （2）若点满足方程，且，两点为“等和点”，求B点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，理解“等和点”的定义是解此题的关键． （1）由“等和点”的定义一一验证即可； （2）设，由“等和点”的定义列出方程求出或，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点的坐标为， ， 在点，，中，，，， 与点为“等和点”的是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点满足方程， ∴， 设， ， 解得：或， 或． 26. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）最多能购买种材料20件． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； 【小问2详解】 解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 27. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，麦斯同学用一副直角三角板拼成了如图所示的图形． 【活动猜想】（1）麦斯同学发现，在图1中通过测量得到，就可以求出直线与直线的夹角，则直线与直线所夹锐角的度数为_____； 【探索发现】（2）如果把图1中的直角三角板绕着点顺时针旋转，当点落在线段上时，连接，如图2，求的度数； 【实践应用】（3）如图3，中，，点是垂直平分线上一点，点是线段垂直平分线上一点，连接并延长，交射线于点，连接，过点作于点，交于点，若，，求． 【答案】（1）；（2）的度数为；（3） 【解析】 【分析】（1）延长和相交于点，利用四边形内角和定理求解即可； （2）作交延长线于点，作于点，证明，推出，得到四边形是正方形，据此即可求得的度数为； （3）作交延长线于点，作于点，连接，作于点，设，同理求得，求得，推出是等腰直角三角形，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）延长和相交于点， 由题意得，，，， ∴， ∴直线与直线所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）作交延长线于点，作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴的度数为； （3）作交延长线于点，作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵点是垂直平分线上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 连接，作于点，设， ∵， ∴， ∵点是线段垂直平分线上一点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $