精品解析：江西省赣州市于都中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（B卷）

于都中学2025-2026学年上学期高一第一次月考 数学试题（B卷） 命题人：邱观妹 华剑 毛佳乐 审题人：刘远明 黄和平 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项） 1. 已知全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】由题意，若集合，则. 故选：C. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定，结合分式不等式的解法即可下结论. 【详解】，则. 由，得，即，解得， 所以命题为假命题. 故选：C 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 5. 已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可． 【详解】∵命题P：为真命题， ∴， 又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴， ∵命题：R，，为真命题， ∴， ∴或， ∵命题p，q都是真命题， ∴或， 故选：C． 6. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 7. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得． 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A 8. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 二、多选题（本大题共3题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.） 9. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据已知条件及集合的含义，求出B集合，再利用元素与集合的关系及交集与并集的定义即可求解. 【详解】由题意得，. ，选项A错误. ，选项B错误. 由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确. 故选：CD. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 已知，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】作差比较大小即可判断AD；举反例即可判断B；根据不等式的性质计算即可判断C. 【详解】对A，，则，，A正确； 对B，，例如，但，B错； 对C，，则，C正确； 对D，因为，则，所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断； 对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断； 对于选项C：利用基本不等式即可判断； 对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 13. 某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人． 【答案】8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组， 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组， 设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为，，， 则，，， 由公式 知， 故即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8． 【点睛】本小题主要考查图表达集合的关系及运算、图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 14. 已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 原式 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：4 四、解答题 15. 已知，且.求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明：，且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2）证明：，且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 【解析】 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 16. 已知集合，集合，集合. （1）求的子集的个数； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集和补集的定义，结合子集个数公式进行求解即可； （2）根据集合并集的定义，结合包含的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以的子集的个数为； 【小问2详解】 因为命题“，都有”是真命题， 所以， 当时，显然符合题意，则有； 当时，要想，则有， 综上所述，实数m的取值范围为. 17. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵，∴，解得． 【小问2详解】 ． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． 【小问3详解】 由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 18. 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元. （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】（1）， （2），费用最低元. 【解析】 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式； （2）利用基本不等式求最值即得结果. 【小问1详解】 设所用时间为， 则由题意知，. 所以这次行车总费用y关于x的表达式是， 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立. 故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元. 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）4950 （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以，共有k个， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 于都中学2025-2026学年上学期高一第一次月考 数学试题（B卷） 命题人：邱观妹 华剑 毛佳乐 审题人：刘远明 黄和平 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项） 1. 已知全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. 命题p的否定为，，且p是真命题 B. 命题p的否定为，，且p是真命题 C. 命题p的否定为，，且p是假命题 D. 命题p的否定为，，p是假命题 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合间的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 7. 已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（本大题共3题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.） 9. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 已知，若，则 11. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_____. 13. 某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人． 14. 已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______. 四、解答题 15. 已知，且.求证： （1）； （2）. 16. 已知集合，集合，集合. （1）求的子集的个数； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围. 17. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 18. 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元. （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $