2025年九年级中考复习数学几何模型研究大讲堂 专题十九 “倍长中线”模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十九：倍长中线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，AD为BC边上的中线.（若此时延长AD至点E使DE=AD，连接CE，则构成“倍长中线”模型） 1.. 在△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点.（若此时延长ED至点F使ED=FD，连接CF，则构成“倍长类中线”模型） 1.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 倍长中线 求线段之间的数量关系、位置关系、求线段长 1. 在解答题中考查： （1） 以线段拼成三角形为背景考察新定义问题，倍长中线证明等量关系； （2） 以正方形为背景，结合图形旋转，证明线段数量关系. （3） 以一般三角形为背景，倍长中线或先平行再连接达到倍长中线的目的 倍长中线 考 法 2 倍长类中线 求线段之间的数量关系、位置关系、求线段长 1. 在填空题中以三角形为背景，进行倍长类中线，求线段长； 2. 在解答题中以三角形为背景，证明线段数量关系 倍长类中线 PART 2——模型思路. 这是一种教学过程中必须涉及的模型，是全等压轴题的一类，辅助线简单，但在后面的学习就很难思考，题目较难，往往倍长中线可以解决的题目，可以做中位线解决，倍长后能得到的关系就是平行和线段2倍的关系，是证明题目其他条件的关键，并且对于倍长中线，有时候连接的点不同，思路及难度也会随之改变，因此需要同学们较强的综合能力. 常见辅助线作法： 已知 图示 作法 “倍长中线”模型 倍长中线 “倍长类中线”模型 倍长类中线 PART 5——模型解析. 1.（2025·江苏南京校级月考）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【分析】如图，延长到，使得，连接，，证明，推出，由，可得． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2.（2025·山东淄博校级月考）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为_____. 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3.（2022·湖南株洲）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS可以直接证明； （2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵与是对顶角， ∴， 在与中， ， ∴ （2）证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键． 4.（2022·内蒙古鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．    【答案】12 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长． 【详解】如图，延长BE交AD于点F，    ∵点E是DC的中点， ∴DE＝CE， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC， ∴ △BCE≌△FDE（ASA）， ∴DF＝BC＝5，BE＝EF， ∴BF＝2BE＝13，AF=5, 在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5.（2024·四川自贡校级月考）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 6.（2025·山东烟台校级入学）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【详解】证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 7.（2024·江苏南京期中）如图，在中，在上，平分，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，延长到E，使得，连接，可证明得到，再由角平分线的定义得到，则，据此可得证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，延长到E，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 8.（2025·河南南阳期末）如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，则， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：C． 9.（2022·浙江丽水）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的长； 【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P， 由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点， ∴BE=2， 又∵， ∴BH=1，即H是BE的中点， ∴AB=AE=4， 又∵AF是∠DAE的角平分线，， ∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG， 又∵，， ∴PF=AD=4， 设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x， ∵， ∴∠AGP=∠AEB=∠B， ∴cos∠AGP===， 解得x=； 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键． 10.（2025·辽宁盘锦校级入学）如图，已知D是的边上的一点，且，，是的中线，求证：． 【答案】见解析 【分析】作AB中点F，连接DF．根据等腰三角形的性质和中线的定义，由SAS可证△ADF≌△ADE，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：作中点，连接． ， ， 又， ，即为中点， 是中点， 且， 又，、分别为、中点， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线证明． 11.（2023·广西南宁校级入学）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得； （2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得； （3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到． 【详解】（1）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）延长到G，使得，连接，如图：    ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12.（2022·山西）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 13.（2023·重庆南开练习节选）在中，，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明△AEB≌△HED得到AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE，则∠HCD=∠HDC，AB∥DH，从而推出∠BAC=∠HDC=∠HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE，然后推出∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC，即可证明△AFD≌△GFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG. 解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH， ∵FD平分∠AFC， ∴∠AFD=∠CFD， ∵E是BD的中点， ∴BE=DE， 又∵AE=HE，∠AEB=∠HED， ∴△AEB≌△HED（SAS）， ∴AB=HD=AC，∠ABE=∠HDE， ∴ ， ∴∠HCD=∠HDC， ∴∠BAC=∠HDC=∠HCD， ∴∠ACE=∠HCE，即∠HCA=2∠ACE， ∵∠GDC=∠GCD，∠FGD=∠GDC+∠GCD， ∴∠FGD=∠HCD=∠HDC=∠FAC=2∠GCD，GD=GC， 又∵FD=FD，∠AFD=∠GFD， ∴△AFD≌△GFD（AAS）， ∴AF=GF， ∴CF=GF+CG=AF+DG . 14.（2022·江苏盐城校级练习）下表 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等， 然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形， 利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“”证明对应边之间的关系． 请用倍长中线法解答下面问题：在中，，是边上的中线，点为射线上一动点． (1)问题发现 如图1，点在上，，与相交于点，延长至点，使得，连接，求的值． 王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程． 解：设，则 ； ∵是边上的中线，∴； ∵在和中， （　　） ∴ = ，∴；∴； 又∵，∴；∴= ． (2)类比探究如图2，点在的延长线上，与的延长线交于点，，求的值． (3)拓展延伸在（2）的探究结论下，若，，求的长． 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，， 设，则， ∵是边上的中线， ∴， ∵在和中， ， （） ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案是：，，，，． （2）解：如图所示，是边上的中线，延长至点，使得，连接， 由（1）可知（），，， ∴，， ∴， ∵，设，则， ∴，， ∴， 故答案是：． （3）解：由（2）可知，，则， 在中，，且， ∵， ∴，则， 设，则， 由得，，解方程得，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形中线变换问题，根据三角形中线性质构成三角形全等，相似，计算线段的长度，理解和掌握三角形全等、相似的性质是解题的关键． 15.（2024·湖北武汉期中）【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；拓展创新： 【分析】问题背景∶由判定，由全等三角形的性质即可得证； 尝试应用：延长至，使得，连接，，由判定，由全等三角形的性质得，，再由 判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质即可求解； 拓展创新：连接并延长至，使，连接、，过作交于，由直角三角形的特征及勾股定理得，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】问题背景∶ ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ； 尝试应用：延长至点，使得，连接，， ，， ， 边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 拓展创新：如图，连接并延长至，使，连接、，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F，G分别为，的中点， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能根据题意添加适当的辅助线构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． PART 4——模型变式. 【变式1】（2022·湖北宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点． (1)如图1，连接，．，． ①求证：； ②若，求的长； (2) 如图2，连接，．若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据可证得：，即可得出结论； ②连接，可证得是等边三角形，即可求出； （2）延长交的延长线于点，根据可证得，可得出，，，则，即可证得，即可得出的长． 【详解】（1）（1）①∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴. ②如图，连接. ∵是边的中点，， ∴， 又由菱形，得， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴. （2）如图，延长交的延长线于点， 由菱形，得，， ∴，， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，而为公共角. ∴， ∴， 又∵， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键. 【变式2】（2024·陕西西安铁一期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等； （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3】（2025·重庆育才自主节选）在中，，，点为直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在边上，且满足求的长； (2)如图2，若点D为延长线上一点，点E为中点，在射线上取点M满足，连接，过点A作，连接，，若：，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想. 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，作辅助线构造全等三角形是解题的关键； （1）过点作于点，先根据勾股定理得到，然后根据三角函数得到，然后得到，然后利用勾股定理解题即可； （2）延长到点，使得，连接，证明，即可得到，，进而得到，然后根据题意得到，然后延长到点，使得，连接，，根据三角形全等证明、、三点共线，即可得到结论； 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ，， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：；理由如下： 延长到点，使得，连接，如图2， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 延长到点，使得，连接，， 则，， 又，， ， ，， 、、三点共线， . 【变式4】（2025·重庆西大附中定时节选）在中，． (1)如图1，D为上一点，，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过B作延长线于E，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，进而可得， ，然后解直角三角形求解，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）延长交于H，在射线上截取，连接，根据三角形的中位线性质得到，，进而推出，从而证明得到，，可推出，进而可得结果； 【详解】（1）解：如图1，过B作延长线于E， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：． 理由：如图2，延长交于H，在射线上截取，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式5】（2025·湖北宜昌期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：__________； (2)如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； (3)如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)线段BC，CD，AD之间的数量关系为．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是正确添加常用辅助线以及运用倍长中线构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）如图1：延长到点M，使，连接，根据可证，所以，再根据求得的取值范围，进而求得的取值范围； （2）如图2:延长到T，使得，连接．由，推出，，推出，再证明，进而证明结论； （3）如图3中，延长交的延长线于点G．利用全等三角形的性质证明，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图1，延长到点M，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图2: 延长到T，使得，连接． 同（1）可证， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：结论：．理由如下： 如图3中，延长交的延长线于点G． ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十九：倍长中线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 在△ABC中，AD为BC边上的中线.（若此时延长AD至点E使DE=AD，连接CE，则构成“倍长中线”模型） 1.. 在△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点.（若此时延长ED至点F使ED=FD，连接CF，则构成“倍长类中线”模型） 1.. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 倍长中线 求线段之间的数量关系、位置关系、求线段长 1. 在解答题中考查： （1） 以线段拼成三角形为背景考察新定义问题，倍长中线证明等量关系； （2） 以正方形为背景，结合图形旋转，证明线段数量关系. （3） 以一般三角形为背景，倍长中线或先平行再连接达到倍长中线的目的 倍长中线 考 法 2 倍长类中线 求线段之间的数量关系、位置关系、求线段长 1. 在填空题中以三角形为背景，进行倍长类中线，求线段长； 2. 在解答题中以三角形为背景，证明线段数量关系 倍长类中线 PART 2——模型思路. 这是一种教学过程中必须涉及的模型，是全等压轴题的一类，辅助线简单，但在后面的学习就很难思考，题目较难，往往倍长中线可以解决的题目，可以做中位线解决，倍长后能得到的关系就是平行和线段2倍的关系，是证明题目其他条件的关键，并且对于倍长中线，有时候连接的点不同，思路及难度也会随之改变，因此需要同学们较强的综合能力. 常见辅助线作法： 已知 图示 作法 “倍长中线”模型 倍长中线 “倍长类中线”模型 倍长类中线 PART 3——模型练习. 1.（2025·江苏南京校级月考）如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．以上都有可能 2.（2025·山东淄博校级月考）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为_____. 3.（2022·湖南株洲）如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为平行四边形． 4.（2022·内蒙古鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 ．    5.（2024·四川自贡校级月考）如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 6.（2025·山东烟台校级入学）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 7.（2024·江苏南京期中）如图，在中，在上，平分，且．求证：． 8.（2025·河南南阳期末）如图所示，与均为直角三角形，且，，，E是的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D．5 9.（2022·浙江丽水）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 10.（2025·辽宁盘锦校级入学）如图，已知D是的边上的一点，且，，是的中线，求证：． 11.（2023·广西南宁校级入学）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 12.（2022·山西）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 13.（2023·重庆南开练习节选）在中，，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：. 14.（2022·江苏盐城校级练习）下表 倍长中线（Methodoftimesthelengthofline） 倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等， 然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等，此法常用于构造全等三角形， 利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“”证明对应边之间的关系． 请用倍长中线法解答下面问题：在中，，是边上的中线，点为射线上一动点． (1)问题发现 如图1，点在上，，与相交于点，延长至点，使得，连接，求的值． 王林同学根据题意写出了如下不完整的求解过程，请补全其过程． 解：设，则 ； ∵是边上的中线，∴； ∵在和中， （　　） ∴ = ，∴；∴； 又∵，∴；∴= ． (2)类比探究如图2，点在的延长线上，与的延长线交于点，，求的值． (3)拓展延伸在（2）的探究结论下，若，，求的长． 15.（2024·湖北武汉期中）【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． PART 4——模型变式. 【变式1】（2022·湖北宜昌）已知菱形中，是边的中点，是边上一点． (1)如图1，连接，．，． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，连接，．若，，求的长． 【变式2】（2024·陕西西安铁一期中）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【变式3】（2025·重庆育才自主节选）在中，，，点为直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在边上，且满足求的长； (2)如图2，若点D为延长线上一点，点E为中点，在射线上取点M满足，连接，过点A作，连接，，若：，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想. 【变式4】（2025·重庆西大附中定时节选）在中，． (1)如图1，D为上一点，，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想. 【变式5】（2025·湖北宜昌期末）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围． 我们可以延长到点M，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：__________； (2)如图2，是的中线，点E在边上，交于点F，且，请参考（1）中的方法求证：； (3)如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，试猜想线段，，之间的数量关系，并予以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $