精品解析：广东省汕头市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段考试 高二级数学科试题 试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 对于直线和平面，能得出的一组条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案. 【详解】A选项中，根据，，，得到或，所以A错误； B选项中，，，，不一定得到，所以B错误； C选项中，因为，，所以. 又，从而得到，所以C正确； D选项中，根据，，所以，而，所以得到，所以D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题. 2. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 3. 异面直线a，b，若，，且，则直线c与a，b的关系是（ ） A. c与a，b都相交 B. c与a，b都不相交 C. c至多与a，b中的一条相交 D. c至少与a，b中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】假设c与a，b都不相交，结合线面、面面关系及平行公理得到与题设矛盾的结论，即可确定正确选项. 【详解】当c与a，b都不相交时， 由c与a在内，则. 由c与b都在内，则. 由公理4知：，与已知条件矛盾，故c至少与a，b中的一条相交. 如图，直线c与a，b的位置关系有以下三种情况. 故选：D 4. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱长，求出侧面面积与底面面积，然后求出表面积即可. 【详解】如图所示， 在正四棱锥中，取中点，连接， 则为直角三角形， 所以， 所以表面积. 故选：B. 【点睛】本题考查了正棱锥的表面积，属于基础题. 5. 如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题可得，，，然后由，及，可得，据此可得答案. 【详解】设，因为，且，平面， 可得，，且， 可得，，， 根据向量的线性运算，可得， 则 . 即，解得（舍）或，故. 故选：A 6. 四面体各面所在平面将空间分成几部分?（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】四面体的三个侧棱交于同一点，这就是三个平面两两相交有三条交线，且三条直线交于同一点的情形． 【详解】将四面体的各面延展成平面后，则四面体的内部是一个空间； 将平面，平面，平面延展后，在平面的下方会分割出一个空间， 也就是说平面对应一个空间， 同理，平面，平面，平面也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A对应一个空间， 同理，顶点也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将四面体的各面延展后，棱对应几何体外部的一个空间， 同理，其余的5条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6个. 因此四面体的各面延展成平面后，可将空间分成部分. 故选：C 7. 在平行六面体中，与的交点为，点为上靠近点的三等分点．设，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底表示向量即可. 【详解】 . 故选：C 8. 已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出直线与平面所成的角，结合已知，利用线面角的定义求解. 【详解】过点作平面于，在平面内过作， 垂足分别为，连接，则为直线与平面所成的角， ，平面，则平面， 又平面，则，同理，由， 得，又，因此四边形为正方形，， ，所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 棱台具备的特点是（ ） A. 所有的侧面不存在两个面互相平行 B. 侧面都是等腰梯形 C. 侧棱长都相等 D. 侧棱延长后都交于一点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据棱台的定义及结构特征分析判断即可. 【详解】根据棱台的定义“用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台”， 可知，棱台的侧面有一个公共点，且该公共点为侧棱延长线的交点，故A，D正确； 当棱锥不是正棱锥时，所截得棱台的侧棱长不相等，侧面也不是等腰梯形，故B，C错误． 故选：AD 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析出圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， 对于A选项，圆柱的侧面积为，A错； 对于B选项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，B对； 对于C选项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C对； 对于D选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D对. 故选：BCD. 11. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边的距离相等且在内，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由推得为的外心，结合，即可判断；对于B，过点分别作，垂足分别为，连接，证明和，，即得点是的内心；对于C，由条件证得平面，即得，从而平面，可得，同理即得结论；对于D，结合图形可得分别是、、与平面所成的角，由这些角相等可推得，即得为的外心，排除D项. 【详解】对于A，如图，连接，因，平面，垂足为，易得， 则有，故点为的外心，因，可得点为边的中点，故A正确； 对于B，过点分别作，垂足分别为，连接， 则，因平面，平面， 则，易得， 则，又由平面，平面，则 又因平面，故平面， 因平面，故，同理可得，故点是的内心，即B正确； 对于C，如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点. 因，，且平面，则平面， 因平面，则，因， 平面，则平面， 因平面，故得，同理，即点是的垂心，故C正确； 对于D， 如图，连接延长交于点，连接延长交于点，连接延长交于点. 因平面，则分别是在平面上的射影， 则分别是、、与平面所成的角， 由，易得， 即得，故点为的外心，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点与点，在轴上求一点，使点到直线的距离为1，则点的坐标为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】设，然后由空间向量点到直线距离公式可得答案. 【详解】设，则，， 则方向上的单位向量为， 由点到直线的距离为：， 解得，故. 故答案为：. 13. 将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，球体最大体积时，直径不得超过侧棱，且半径不得超过底面内切圆半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】一个棱长为的正三棱柱，要使制作成球体零件的体积最大， 则球直径不得超过侧棱，即，且半径不得超过底面内切圆半径，即， 综上可得 可能制作的最大零件的体积为. 故答案为： 14. 如图，在正三棱柱中，若，且与所成角的大小为，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求解点的坐标，即可根据向量的夹角公式求解. 【详解】如图，分别作、中点、， 易知平面，平面，所以， 又为正三角形，所以， 所以、、两两垂直；建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 于是得，，，，， ，，， 所以， 解得：, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点、、分别是、、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明： 如图，连接、，连接交于点，连接. 因为点为的中点，为中点，且四边形是正方形， 所以四边形为矩形，故为的中点，又因为为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明： 由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以，    又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以，           又因为，，平面， 所以平面.        【解析】 【分析】（1）如图，连接、，连接交于点，连接，通过证明四边形为矩形，可完成证明； （2）分别证明，可完成证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 16. 已知空间四点，，，. （1）若、、、四点共面，求的值； （2）求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，存在唯一一对实数，使得，代入坐标，列出方程组，求解即得； （2）设直线和直线的夹角为，利用空间向量的夹角公式求出的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【小问1详解】 由题意，得，, ，，，四点共面， 存在实数使得， 即， 则，解得，，， 故的值为. 【小问2详解】 ，， 设直线和直线的夹角为， ， 因为，，所以，所以， 所以两直线和的夹角余弦值的范围是 . 17. 如图，在四棱锥中，底面满足底面，且 （1）若为中点，求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：由题意可得两两垂直且相交于同一点， 分别以所在直线为轴，轴､轴，建立如图空间直角坐标系， 如图： 由，可得， 则 所以 所以， 即； （2）. 【解析】 【分析】（1）以所在直线为轴，轴､轴，建立如图空间直角坐标系，只需证明即可； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得平面 所以为平面的一个法向量，且； 设为平面的一个法向量， 则， 所以， 又因为， 所以， 令，则， 所以， 设平面与平面所成的二面角为， 所以. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，是的中点，是原正方形的中心，动点在线段（包含端点，）上. （1）若为的中点，求直线到平面的距离； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，通过证明，，可如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间向量知识可得答案； （2）由（1），分别求出平面，平面的法向量，再结合图形可得二面角的平面角大小. 【小问1详解】 连接，，， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， ，平面，所以，， 又因为，. 所以建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有令，则， 又因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 ，故， 设平面的法向量为， 则有，令则， ，， 设平面的法向量为， 则有，令则， ，，，则， 设二面角平面角为，由图可知，为锐角，故. 19. 在如图所示的装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子、分别在正方形对角线、上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求的长（用表示）； （2）当平面与平面夹角为时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件建系，利用平面几何知识求得点的坐标，再由空间两点的距离公式化简即得； （2）依题意求出相关点的坐标，进而求得平面与平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式列出方程，求解即得. 【小问1详解】 因为、都是正方形，所以，， 又平面平面，平面平面，可得， 如图建立空间直角坐标系. 则，，，， 分别作，，垂足分别为，， 易知，， 因为，由相似比可得： ，， 所以，. 则； 【小问2详解】 ，， ， 设平面与平面的法向量分别为，， 由， 令，可得， 由， 令，可得， 因为平面与平面的夹角为， 则 ， 解得或，或 ，因，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段考试 高二级数学科试题 试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. 对于直线和平面，能得出的一组条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 异面直线a，b，若，，且，则直线c与a，b的关系是（ ） A. c与a，b都相交 B. c与a，b都不相交 C. c至多与a，b中的一条相交 D. c至少与a，b中的一条相交 4. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 四面体各面所在平面将空间分成几部分?（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 在平行六面体中，与的交点为，点为上靠近点的三等分点．设，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是从点出发的三条射线，若，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 棱台具备的特点是（ ） A. 所有的侧面不存在两个面互相平行 B. 侧面都是等腰梯形 C. 侧棱长都相等 D. 侧棱延长后都交于一点 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 11. 过所在平面外一点，作平面，垂足为，连接、、．下列说法正确的是（ ） A. 若，，则是边的中点 B. 若点到三条边的距离相等且在内，则点是的内心 C. 若，，，则点是的垂心 D. 若、、与平面所成的角均相等，则点是的重心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点与点，在轴上求一点，使点到直线的距离为1，则点的坐标为__________. 13. 将一个各棱长都为的正三棱柱铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________. 14. 如图，在正三棱柱中，若，且与所成角的大小为，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平面平面，四边形是正方形，，点、、分别是、、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 16. 已知空间四点，，，. （1）若、、、四点共面，求的值； （2）求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面满足底面，且 （1）若为中点，求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，是的中点，是原正方形的中心，动点在线段（包含端点，）上. （1）若为的中点，求直线到平面的距离； （2）若，求二面角的余弦值. 19. 在如图所示的装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子、分别在正方形对角线、上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求的长（用表示）； （2）当平面与平面夹角为时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $