1.4.2 角平分线的性质 同步练习 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

1.4.2角平分线的性质 题型一、角平分线的性质 1．如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（   ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 2．如图，在∆ABC中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在∆ABC中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 4．如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ． 5．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 6．如图，在直角∆ABC中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数． 7．如图，在∆ABC中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型二、角平分线的性质与面积问题 8．如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在∆ABC中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （   ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，在∆ABC中，，是∆ABC的角平分线，于点E，，，则的面积是 ． 11．如图，在∆ABC中，，是的平分线，如果∆ABC的面积为 ，那么的面积为 ． 12．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点D； (2)若，求的面积． 13．学校数理学习小组活动纪实：已知：在∆ABC中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是∆ABC的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是∆ABC的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 题型三、角平分线的判定 14．如图，于于则（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知点O是∆ABC内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 16．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ． 17．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 18．如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 19．如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 20．如图，在∆ABC中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分． 题型四、角平分线的实际应用与作图 21．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 22．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 23．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 24．（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    题型五、角平分线的有关计算与证明 25．如图，在∆ABC中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 题型六、利用角平分线的性质解决线段和差问题 26．已知：如图，四边形中，∠B=90°，，为的中点，平分．求证：   (1)平分； (2)． 27．如图，∆ABC中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 28．如图，交的延长线于，于，若，． (1)求证：平分； (2)猜想、与之间的数量关系，并说明理由． 题型七、角平分线的常用辅助线问题 29．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， __________ 平分， __________， 在和中， ∵， （__________，写出判定依据，用字母表示）， __________． __________（平角的性质） __________ 30．如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？ 31．如图，在∆AOB中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.    32．如图，为∆ABC的中线，，分别是和的角平分线．求证：． 参考答案 题型一、角平分线的性质 1．B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，，，， ∴． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据是线段的中点，则，再根据，即可解答． 【详解】解：过点作交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3．2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是2， 故答案为：2． 4．4 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线段最短，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时根据角平分线的定义可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵的平分线交于点D，，， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 5．证明：平分， ， 在和中， ， ． 6．解：平分， ， 又垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 即， ． 7．（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 题型二、角平分线的性质与面积问题 8．C 【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：平分，，， ， 的面积， 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度． 【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， 即， ∴． 故选：B． 10．15 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 11． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 12．（1）解；如图所示，线段和点D即为所求； （2）解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，且，， ∴， ∴． 13．证明：作， 是∆ABC的角平分线， ， ， 又∵， ． 题型三、角平分线的判定 14．C 【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可． 【详解】解：∵于M，于N，， ∴P在的角平分线上， ∵ ∴． 故选C． 15．C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 16． 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 17． 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 19．证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 20．证明：如图，过点E作于点G，于点H． ∵，， ∴． ∵ ∴， ∴，即平分． 又∵，， ∴． ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分． 题型四、角平分线的实际应用与作图 21．A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 22．∆ABC三条角平分线的交点处 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在∆ABC三条角平分线的交点处． 故答案为：∆ABC三条角平分线的交点处． 23．解：如图所示：点即为中转站． 作线段的垂直平分线， 两条公路的夹角的平分线， 两条线相交于点． 24．解：（1）如图所示，分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如图所示，线段即为所求． 题型五、角平分线的有关计算与证明 25．（1）解：∵， ， ， ， ∵∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=100°， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ∵∠F=90°,∠AEF=50°， ， 由（1）可知，， ， 平分， ∵EF⊥AF,EG⊥AD， ， 平分， ， ∵EF⊥BF,EH⊥BC， 平分． （3）解：∵S∆ACD=16， ， ， ∵AD=6,CD=10,EG=EH， ， ， ． 题型六、利用角平分线的性质解决线段和差问题 26．（1）证明：过点作于点， ∵∠B=90°， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴ ∴． ∵，， ∴平分． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． 同理，， ∵， ∴． 27．（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 28．（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）．理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型七、角平分线的常用辅助线问题 29．证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F． ∵，， ， 平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ． ∵∠CDF+∠ADC=180°（平角的性质）， 故答案为：90 ，，，，，，180，180． 30．解：点P在的平分线上． 理由：过点P分别向，作垂线， ∵，，，， ∴， ∴点P是在的平分线上． 31．证明：延长，并交于，    ∵BD平分，， ，， 在和中 ， ∵∠AOB=90°，，， ， ∵∠AOB=90°， ， 在和中 ， ， ， ． 32．证明：在上截取，连接，． ∵是边上的中线， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴．同理， ∴． 在中，∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $