1.4线段垂直平分线与角平分线（分层作业，17大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“线段垂直平分线与角平分线”，通过A（理解）、B（掌握）、C（运用）三级分层，构建从基础巩固到思维拔高的递进路径，适配新授课分层教学，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|性质、判定、作图|单一知识点基础题，如性质应用选择填空，夯实概念理解| |B组|计算、实际应用、性质判定综合|结合生活情境（如体育公园选址），培养模型意识与应用能力| |C组|动点、最值、辅助线、动态探究|含动态问题（如筝形动点），发展推理能力与创新意识|

分层作业 1.4 线段垂直平分线与角平分线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的性质 题型02 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的作图问题 题型03 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关证明 题型04 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的判定 题型05 角平分线的性质——角平分线的性质 题型06 角平分线的性质——角平分线的判定 B组 能力进阶 题型01 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关计算问题 题型02 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的实际应用 题型03 线段垂直平分线的性质——垂直平分线的判定与性质的综合 题型04 角平分线的性质——角平分线的性质与面积问题 题型05 角平分线的性质——角平分线的判定与性质的综合 题型06 角平分线的性质——角平分线的实际应用与作图 题型07 角平分线的性质——角平分线的有关计算与证明 C组 思维拔高 题型01 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线与动点问题 题型02 角平分线的性质——利用角平分线的性质求最值 题型03 角平分线的性质——角平分线的常用辅助线问题 题型04 角平分线的性质——与角平分线有关的动态探究题 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的性质题型01 1．如图，在中，分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点：作直线，分别交于D，E两点．若，的周长为，则的周长为（   ）    A．15cm B．16cm C． D． 2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，求的长．    线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的作图问题题型02 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N：②作直线交于点D，连接．若，边，则的周长为（   ）    A．7 B．4 C．11 D．9 2．如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，． (1)在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； (2)在图2中边上作出点，使得． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关证明题型03 1．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________．    2．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 4．如图，已知是线段的垂直平分线，求证：． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的判定题型04 1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 3．（25-26九年级上·青海·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 5．（24-25八年级上·福建·期末）如图，四边形中，，请用含的式子表示四边形的面积． 角平分线的性质——角平分线的性质题型05 1．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（   ） A．2 B．3 C． D．4 2．如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 4．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是____． 5．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，平分，交于点，若，求点到的距离． 角平分线的性质——角平分线的判定题型06 1．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 3．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 5．如图，于点于点相交于点．有下列结论： ①；②；③点在的平分线上．其中正确的是______（填序号）． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关计算问题题型01 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A．45° B．55° C．60° D．65° 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．14 D．16 3．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 4．如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，则∠A的度数为______． 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于E、F两点，． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的实际应用题型02 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 3．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 5．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 线段垂直平分线的性质——垂直平分线的判定与性质的综合题型03 1．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 2．（2025·天津·一模）已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·一模）下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4．（25-26八年级下·山东青岛·学情自测）如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 5．还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理． 角平分线的性质——角平分线的性质与面积问题题型04 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（     ） A．mn B．mn C．2mn D．mn 2．（24-25八年级上·山西大同·月考）如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，平分，，，则的面积为 ___________． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，平分于F，求的面积． 5．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 角平分线的性质——角平分线的判定与性质的综合题型05 1．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是（    ） 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到边的距离相等，在图中确定休息点M的位置 A．   B．   C．   D．   2．如图，点在内，因为，，垂足分别是、，，所以平分，理由是______．    3．如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 4．（24-25八年级上·四川自贡·月考）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·月考）综合与实践 【情境再现】 如图①，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 （1）试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 （2）如图②，在中，是上一点，将沿翻折得到与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 （3）如图③，在四边形中，平分，若，求的度数． 角平分线的性质——角平分线的实际应用与作图题型06 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法正确的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．三个角分别相等的两个三角形全等 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．两边及一角分别相等的两个三角形全等 3．在三角形中，到三边距离相等的点是____________． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，D是的边上一点． 求作：内部的点，使点到两边的距离相等，且． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． (3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 角平分线的性质——角平分线的有关计算与证明题型07 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知，，，若的平分线BE经过点D，则的度数　　 A． B． C． D． 3．如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． 4．（24-25八年级上·江苏·月考）定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点． 5．如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线与动点问题题型01 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北承德·期末）在学习三角形一章时，老师这样说：“学习一个几何图形我们最先研究它的基本元素，如边和角，然后要研究一些隐含的线段，这些隐含的线段在哪里呢？我们可以用运动的观点去寻找，比如图中，点是边上一个动点，与点连接构成线段，当点从点移动到点的过程中，你会发现在某一时刻会与三角形的边和角存在特殊的关系，这个时候我们就得到了这些隐含的线段”通过老师的这段话，你认为线段不可能是（    ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．边的垂直平分线 3．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：    ①；②；③；④.其中正确结论的序号是______. 4．已知：把和按如图（1）摆放点与点重合，点、、在同一条直线上．，，，，． 如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动．当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．    解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． (3)是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 5．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 角平分线的性质——利用角平分线的性质求最值题型02 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，M是的平分线上一点，过点M作，垂足为C．若，D是上任意一点，则的最小值为_____． 2．已知为的角平分线，且，，当面积最大时，其周长为 __________ ． 角平分线的性质——角平分线的常用辅助线问题题型03 1．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 2．如图，、分别是的外角、的平分线，，，垂足分别为、，那么与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级上·四川广元·月考）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为_____． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，平分 交 于点D， ，垂足为E，且， 求 的周长为______． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到边和边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    角平分线的性质——与角平分线有关的动态探究题题型04 1．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 2．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____． 4．如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围． 5．如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．    （1）依题意补全图形； （2）设∠C＝α， ①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）； ②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4 线段垂直平分线与角平分线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的性质 题型02 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的作图问题 题型03 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关证明 题型04 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的判定 题型05 角平分线的性质——角平分线的性质 题型06 角平分线的性质——角平分线的判定 B组 能力进阶 题型01 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关计算问题 题型02 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的实际应用 题型03 线段垂直平分线的性质——垂直平分线的判定与性质的综合 题型04 角平分线的性质——角平分线的性质与面积问题 题型05 角平分线的性质——角平分线的判定与性质的综合 题型06 角平分线的性质——角平分线的实际应用与作图 题型07 角平分线的性质——角平分线的有关计算与证明 C组 思维拔高 题型01 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线与动点问题 题型02 角平分线的性质——利用角平分线的性质求最值 题型03 角平分线的性质——角平分线的常用辅助线问题 题型04 角平分线的性质——与角平分线有关的动态探究题 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的性质题型01 1．如图，在中，分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点：作直线，分别交于D，E两点．若，的周长为，则的周长为（   ）    A．15cm B．16cm C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，根据题中作图得到垂直平分，得到，，由的周长为，得到，利用周长公式求出的周长． 【详解】解：由题意得，垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选：D． 2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 3．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式可推出的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：C． 4．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 5．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，求的长．    【答案】 【分析】连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A＝90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC＝DB，设DC＝DB＝x，则AD＝8−x．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】连接DB，在△ACB中， ∵AB2＋AC2＝62＋82＝100， 又∵BC2＝102＝100， ∴AB2＋AC2＝BC2． ∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°， ∵DE垂直平分BC， ∴DC＝DB， 设DC＝DB＝x，则AD＝8−x． 在Rt△ABD中，∠A＝90，AB2＋AD2＝BD2， 即62＋（8−x）2＝x2， 解得x＝， 即CD＝．    【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的作图问题题型02 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N：②作直线交于点D，连接．若，边，则的周长为（   ）    A．7 B．4 C．11 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到角两边的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由题意可知， 垂直平分， ， ，， ， 故选：C． 2．如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识．根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、由作图可知，是的垂直平分线， ，故选项A正确，不符合题意； B、由作图可知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， 故选项B正确，不符合题意； C、由作图可知，平分， ， 故选项C正确，不符合题意； D、，， ； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，． (1)在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求作的点； (2) 【分析】（1）分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，过点作直线，交于点，点即为所求作的点； （2）根据等边对等角，得到，再根据外角的性质即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）如图， 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，理解线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知．用直尺和圆规按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图1中边上作出点，使得点到、的距离相等； (2)在图2中边上作出点，使得． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求． (2) 解：如图，点即为所求． 【分析】该题考查了尺规作图以及角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质． （1）尺规作的角平分线交边于点即可； （2）尺规作线段的垂直平分线交边于点，则，结合等量代换即可得出，故点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关证明题型03 1．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为___________．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 2．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1) 证明：连接，   ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）证明，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】 证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】略 4．如图，已知是线段的垂直平分线，求证：． 【答案】 证明：是线段的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据是线段的垂直平分线，推出，，再证即可． 【详解】略 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的判定题型04 1．在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 3．（25-26九年级上·青海·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 4．小军做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 _____ ． 【答案】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上 【详解】解：其中蕴含的道理是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 5．（24-25八年级上·福建·期末）如图，四边形中，，请用含的式子表示四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 由题意得到垂直平分，进而得到． 【详解】解： ， 垂直平分， ， ． 角平分线的性质——角平分线的性质题型05 1．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点到边的距离是3， 故选：B． 2．如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，    ∵，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为4． 故选D 4．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是____． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分的性质，过点D作于点F，根据角平分线的性质得结合三角形得面积公式即可知的面积为，再次利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过点D作于点F，如图 ∵是的角平分线，，， ∴． ∵，的面积为9， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 5．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，平分，交于点，若，求点到的距离． 【答案】6 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是关键，根据角平分线的性质定理，过点作于点，得到即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，， ∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴，即点到的距离为． 角平分线的性质——角平分线的判定题型06 1．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断． 【详解】∵DAB=CAE ∴DAB+BAC=CAE+BAC ∴DAC=EAB ∵AB=AD，AC=AE ∴△ADC≌△ABE ∴CD=BE，故①②正确； ∵△ADC≌△ABE ∴ADC =ABE 设AB与CD交于G点， ∵AGD =BGC ∴DOB=DAB=50°,故③正确； 过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点， 则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高 ∵△ADC≌△ABE ∴AF=AH ∴点A在DOE的平分线上，④正确 故选D． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定． 2．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 3．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G， ∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴点D一定在的角平分线上， 则平分的外角， 故选：A． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边，重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 5．如图，于点于点相交于点．有下列结论： ①；②；③点在的平分线上．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】首先根据条件由AAS就可以得出，就有，进而就有，就可以得出，就有，得出点在的平分线上．从而得出答案． 【详解】解：∵于，， ∴． 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∵，， ∴点在的平分线上． 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时寻找三角形全等的条件是关键． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的有关计算问题题型01 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，，则的度数为（   ） A．45° B．55° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】本题主要考查作图——中垂线的基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．根据中垂线性质知，即，由内角和定理求得，从而得出答案． 【详解】解：由作图可知为的中垂线， ， ， 在中，，， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（   ） A．11 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”．根据线段垂直平分线的性质可得到，再根据的周长为22可得，进而求得的长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为22， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 【答案】##30度 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），也考查了线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，则∠A的度数为______． 【答案】70° 【详解】分析：根据角平分线得出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线得出∠PCB=30°，利用三角形的内角和解答即可． 详解：∵射线BM为∠ABC的平分线，∠PBC=30°， ∴∠ABC=60°， ∵直线PL为BC的垂直平分线， ∴∠PCB=30°， ∴∠A的度数=180°-60°-30°-20°=70°， 故答案为70°． 点睛：此题考查线段垂直平分线性质，关键是根据角平分线得出∠ABC=60°，再根据线段垂直平分线得出∠PCB=30°进行分析． 5．如图，在中，、的垂直平分线分别交于E、F两点，． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1）；（2）13． 【分析】（1）由、的垂直平分线分别交于E、F两点，可得，，又由，则可得，继而求得的度数，则可求得答案； （2）由，，，即可得的周长等于的长． 【详解】解：（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）由（1）知，． ∴． 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线的实际应用题型02 1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据点到三个小区、、的距离相等，可得是三边垂直平分线的交点，据此即可得答案． 【详解】解：∵点到、、的距离相等， ∴点是三边垂直平分线的交点， ∴点应位于三角形三边的垂直平分线的交点． 故选：C． 2．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 3．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，定理与逆定理的含义，根据以上基础知识再逐一分析各选项即可． 【详解】解：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆定理是：角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，故A不符合题意； 两个全等三角形的对应角相等的逆命题是：三个角分别相等的两个三角形全等，是假命题，故B符合题意； 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的逆定理是到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故C不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，故D不符合题意； 故选B 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：∵三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使比赛公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1) ①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②1 (2)①； ② (3)2或6． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①略 ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 线段垂直平分线的性质——垂直平分线的判定与性质的综合题型03 1．下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．  根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解．   【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上．   故选：D ． 2．（2025·天津·一模）已知，用尺规作图在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线． 【详解】解：∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， ∴选项符合题意， 故选：． 3．（2025·北京·一模）下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键． 根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点C在线段的垂直平分线上． 故选：D ． 4．（25-26八年级下·山东青岛·学情自测）如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 【答案】 证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【分析】利用角平分线的性质求得，再利用证明，可得，进而可得垂直平分． 【详解】略 5．还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理． 【答案】证明：如图 设原线段为，尺规作图得到的两个交点分别为，，连接，，，， 由尺规作图的过程可知 ，， ∵到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上， ∴点在线段的垂直平分线上，点也在线段的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线。 ∴直线就是线段的垂直平分线． 【分析】根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】略 角平分线的性质——角平分线的性质与面积问题题型04 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（     ） A．mn B．mn C．2mn D．mn 【答案】B 【详解】 作DE⊥AB交AB于点E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°， ∴CD=DE=n， ∴S△ABD=AB·DE=mn. 故选B. 2．（24-25八年级上·山西大同·月考）如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形三边关系，也考查了三角形面积公式．过点作于，于，于，如图，先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断． 【详解】解：过点作于，于，于，如下图， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，中，，平分，，，则的面积为 ___________． 【答案】15 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，先作辅助线，然后根据角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积公式即可计算出的面积．解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出的长． 【详解】解：作于点E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，平分于F，求的面积． 【答案】30 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，解题的关键是掌握该性质． 根据角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分于F， ∴， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积． 5．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； (3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； (2) (3)32 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，可证明，可得，再证明，可得，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 角平分线的性质——角平分线的判定与性质的综合题型05 1．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则正确的作图是（    ） 问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到边的距离相等，在图中确定休息点M的位置 A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线以及垂直平分线，熟练掌握角平分线的判定是解本题的关键． 根据点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵点到和两边的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵点在上， ∴C选项符合题意， 故选：C． 2．如图，点在内，因为，，垂足分别是、，，所以平分，理由是______．    【答案】角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上 【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果． 【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN ∴OP平分∠AOB（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上． 【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键． 3．如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】略 4．（24-25八年级上·四川自贡·月考）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【答案】 证明：是的中点， ， ，， ， 在和中，   ， ， 平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】略 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·月考）综合与实践 【情境再现】 如图①，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 （1）试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 （2）如图②，在中，是上一点，将沿翻折得到与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 （3）如图③，在四边形中，平分，若，求的度数． 【答案】（1）∠， 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）； （3）． 【分析】（1）由角平分线得，，再由三角形的外角性质得，，进而得，即可得证； （2）延长到，如图，由角平分线的定义得平分，进而由（）得，再根据折叠及直角三角形的性质即可得解； （3）过点作，，，垂足分别为、、，由，，得平分，进而得由（）得，，再根据角平分线的性质定理及判定定理即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）延长到，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴由（1）得， 由折叠得， ∴， ∵， ∴； （3）过点作，，，垂足分别为、、， ∵，， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴由（）得， ∴， ∵平分平分，，，， ∴，， ∴， ∴平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角性质，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． 角平分线的性质——角平分线的实际应用与作图题型06 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于文化牌到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定文化牌位置． 【详解】解：∵文化牌到草坪三条边的距离相等， ∴这个文化牌的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）下列说法正确的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．三个角分别相等的两个三角形全等 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．两边及一角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线性质、全等三角形判定及角平分线性质．结合平行线性质、全等三角形判定及角平分线性质进行判断即可． 【详解】解：A． 错误．两直线平行时，同旁内角互补（和为180度），而非相等． B． 错误．三个角对应相等的两个三角形不一定全等． C． 正确．角平分线性质定理：角平分线上任意一点到角两边的距离相等． D． 错误．两边及一角对应相等时，若该角不为两边的夹角（即），则无法保证全等． 故选：C 3．在三角形中，到三边距离相等的点是____________． 【答案】三条角平分线的交点 【分析】根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF， ∴O在∠A的平分线上， 同理O在∠B的平分线上， O在∠C的平分线上， 即O是三条角平分线的交点， 故答案为：三条角平分线的交点． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，注意：三角形的三个角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，D是的边上一点． 求作：内部的点，使点到两边的距离相等，且． 【答案】 如图，点即为所求： 【分析】本题考查了角平分线的判定，尺规作---角平分线和作垂线，熟练掌握角平分线的判定和尺规作图的方法是解题的关键． 先作的角平分线，再过点D作的垂线与角平分线的交点即为点． 【详解】略 5．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． (3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 【答案】(1) 解：如图，即为所求作． (2) 解：如图，点P即为所求作．      理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； (3) 解：如图，点Q即为所求作． 【分析】本题考查轴对称作图、角平分线的性质： （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 角平分线的性质——角平分线的有关计算与证明题型07 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 【详解】解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 2．如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知，，，若的平分线BE经过点D，则的度数　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明，求出即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，于点B，于点C，，则的度数为_______． 【答案】55° 【分析】本题考查了角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键． 根据，，，可得为的角平分线． 【详解】解：∵，，， ∴为的角平分线， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·江苏·月考）定理证明：三角形的三条角平分线相交于一点． 【答案】 证明：如图，是的平分线，是的平分线， 过点作于，于，于， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 又，， 点在的平分线上， 即的角平分线、、交于一点， 三角形的三条角平分线相交于一点． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理是解题的关键． 根据题意作出图形，过点作于，于，于，根据角平分线的性质可得，，于是可得，因而可证得点在的平分线上，进而可得出结论． 【详解】略 5．如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的角平分线，，， ，． ， ，． 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 先根据证明，就可以得出，，就可以得出，就可以得出结论． 【详解】略 线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线与动点问题题型01 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北承德·期末）在学习三角形一章时，老师这样说：“学习一个几何图形我们最先研究它的基本元素，如边和角，然后要研究一些隐含的线段，这些隐含的线段在哪里呢？我们可以用运动的观点去寻找，比如图中，点是边上一个动点，与点连接构成线段，当点从点移动到点的过程中，你会发现在某一时刻会与三角形的边和角存在特殊的关系，这个时候我们就得到了这些隐含的线段”通过老师的这段话，你认为线段不可能是（    ） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．边的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线、三角形的角平分线、中线和高，熟记相关的概念是解题的关键．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、线段垂直平分线的概念判断． 【详解】解：当时，线段是高线； 当时，线段是中线； 当时，线段是角平分线； ∵线段垂直平分线是直线， ∴线段不可能是垂直平分线； 故选：D． 3．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：    ①；②；③；④.其中正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【分析】先通过“”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴垂直平分， ∴，， 故②③正确； 由已知和图形无法判断， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力． 4．已知：把和按如图（1）摆放点与点重合，点、、在同一条直线上．，，，，． 如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以的速度沿向点匀速移动．当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．    解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． (3)是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)与之间的函数关系为；当时， (3)当，点、、三点在同一条直线上 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，列式计算即可； （2）作，交于，根据正弦的定义用含的代数式表示，根据三角形的面积公式求出函数关系式，根据二次函数的性质求出的最小值； （3）作，交于，证明，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：点在线段的垂直平分线上， ． ，，， ． ． ． 由题意知：，， ． ． 在中，由勾股定理得：． 则． ． 解得：． 答：当时，点在线段的垂直平分线上． （2）过作，交于， ∴．    在和中，， ． 解得：． ，， ． ∴ ． ∵ ∴当时，． 答：；当时，四边形的面积最小，最小面积为． （3）假设存在某一时刻，使点、、三点在同一条直线上．    过作，交于， ． ， ． ． ． ，． ， ，、、在同一条直线上， ，． ， ． ， 即． 解得：，经检验是原方程的解． 答：当，点、、三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、正弦的定义，相似三角形的判定和性质、二次函数的最值的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键． 5．如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， (2) 猜想：、，证明如下： ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴，平分， ∴，， ∴，． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）测量得出、，故猜想：、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明． 【详解】（1）略 （2）略 角平分线的性质——利用角平分线的性质求最值题型02 1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，M是的平分线上一点，过点M作，垂足为C．若，D是上任意一点，则的最小值为_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质．根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，作交于点D， 垂线段最短， 当时，最短， 是的平分线，， ， ， ， 即长度最小为3， 故答案为：3． 2．已知为的角平分线，且，，当面积最大时，其周长为 __________ ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，坐标与图形，二次函数求最值，根据角平分线的性质，结合同高三角形的比等于底边比，得到，进而得到，以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设点坐标为，根据结合两点间的距离公式，求出，根据面积最大时点纵坐标最大，得到，进而求出点坐标，进一步求出的周长即可． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴点到的距离相等，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 以点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 则，，， 设点坐标为， 则，， ∵， ∴， ∴，整理得， 面积最大时点纵坐标最大， 故当时，有最大值即有最大值，即面积有最大值， 故当时，，， ∵点在第一象限故， 则，， 则周长为：． 故答案为： 角平分线的性质——角平分线的常用辅助线问题题型03 1．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．掌握基本性质是解题的关键． 先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后求出，最后用外角性质求出． 【详解】解： ，， ， 根据尺规作图痕迹知：平分，垂直平分， ，， ， ， ， 故选：C． 2．如图，、分别是的外角、的平分线，，，垂足分别为、，那么与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断关系． 【详解】解：如图， 过点P作PH⊥AC于H， ∵PA是△ABC的外角∠DAC的平分线，PM⊥BD， ∴PM=PH， ∵PC是△ABC的外角∠ACN的平分线，PN⊥BE， ∴PN=PH， ∴PM=PN， 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，作出辅助线是正确解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·四川广元·月考）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，平分 交 于点D， ，垂足为E，且， 求 的周长为______． 【答案】6 【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再由判定得出，再对构成的几条边进行变换，可得到其周长等于的长，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法、、、及其性质． 【详解】解：∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴的周长为： ． 故答案为：6． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到边和边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见详解 【分析】作的平分线交于点P即可． 【详解】解：根据题意作的平分线交于点P即可．    根据角平分线的性质可得点到边和边的距离相等， 即点即为所求． 角平分线的性质——与角平分线有关的动态探究题题型04 1．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线性质，灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．在上取点，使，通过证明得，再根据三角形三边的关系得到，垂线段最短得出的最小值为的长，利用三角形面积公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点作，垂足为，交于点，连接，，   平分， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 当，点与重合时，的值最小，为的长， ，， ， 的最小值是， 故选：B． 2．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（   ） A．4 B．3 C．2.5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，求解最小值是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的值最小，此时根据角平分线性质得出，再逐一判断即可． 【详解】解：当时，的值最小， ∵平分，，， ∴， 所以的最小值为， 所以，，不符合题意，符合题意； 故选：． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____． 【答案】2 【分析】作DP′⊥AB于P′，根据垂线段最短得到此时PD最小，然后根据角平分线的性质解答． 【详解】解：如图，作DP′⊥AB于P′， 则此时DP′最小，即PD最小， 由尺规作图可知，AD平分∠CAB，又∠C＝90°，DP′⊥AB， ∴DP′＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．如图所示，平面内两条互相垂直的直线相交于点O，，点A，B分别在射线，上移动，是的平分线，为的平分线，的延长线与的反向延长线交于点P．试问：随着点A，B位置的变化，的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠P的度数；若发生变化，请求出变化范围． 【答案】的大小保持不变，始终等于． 【分析】本题主要考查角平分线的性质以及三角形的外角性质，根据角平分线的性质，结合三角形的外角性质可以得到的度数，由此确定的大小，因此可以确定答案． 【详解】解：的大小始终保持不变，理由如下： ∵（三角形外角性质）， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵（三角形外角性质） ∴． 故答案为：的保持大小不变，始终等于． 5．如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．    （1）依题意补全图形； （2）设∠C＝α， ①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）； ②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明． 【答案】 （1）如图： （2）①45°−α ②∠DFC＝2∠BDF， 证明：∵DF∥AB， ∴∠DFC＝∠ABC． ∠ABD＝∠BDF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∴∠DFC＝2∠BDF． 【分析】（1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可； （2）①根据余角的定义和角平分线的定义可得； ②根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF． 【详解】（1）略 （2）①∵∠A＝90°， ∴∠ABC＝90°−∠C＝90°−α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠ABC＝（90°−α）＝45°−α， 故答案为45°−α； ②略 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $