精品解析：天津市第十一中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

九年级数学学科统练 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理可得，是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴所得到的抛物线的表达式为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是解答的关键． 4. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 5. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 6. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在2.24和2.25之间． 本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是：熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法． 【详解】∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是：， 故选：C． 7. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到方程的右边，再把二次项化系数为，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 8. 若，点都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小．先求出抛物线的对称轴，抛物线的对称轴为轴，即直线，图象开口向上，当时，，在对称轴左边，随的增大而减小，由此可判断，，的大小关系，根据二次函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：当时，， 而抛物线的对称轴为直线，开口向上， 三点都在对称轴的左边，随的增大而减小， ． 故选：C． 9. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4 C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2 【答案】D 【解析】 【详解】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2． 故选：D． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 11. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 当_____时，是关于的二次函数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义明确“自变量最高次数为2且二次项系数不为0”这两个条件． 根据二次函数的定义，列出关于的条件：一是自变量的次数，二是二次项系数，求解并结合条件确定的值． 【详解】解：要使函数是关于的二次函数， 则的最高次数必须为2， 即， 且二次项系数． 解方程， 得， 所以． 当时，，函数化为，不是二次函数； 当时，，且指数，满足条件． 因此，． 故答案为． 14. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的图像及性质，运用数形结合思想是解题关键．由图象可知，抛物线经过原点，二次函数与y轴交点纵坐标为，所以，解得a的值．再图象开口向下，确定a的值． 【详解】解：由图像可知，抛物线经过原点， 所以，解得， 图像开口向下，， ． 故答案为：． 15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】12 【解析】 【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解 【详解】解：设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=169 解得：x=12或x=-14（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 16. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 【答案】2019 【解析】 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出_____个小分支． 【答案】3 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是13列方程得到1+x+x•x=13，整理得x2+x-12=0，再利用因式分解法解方程求出x，然后检验即可得到x的值． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得1+x+x•x＝13， 整理得x2+x﹣12＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）． 即：每个支干长出3个小分支． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用． 18. 已知等腰三角形的一条边长为，另两条边长是关于的一元二次方程的两个根，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】需要分两种情况讨论：当腰的长度为时，根据题意可知为关于的一元二次方程的一个根；当底的长度为时，根据题意可知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】①当腰的长度为时． 根据题意可知为关于的一元二次方程的一个根． 将代入关于的一元二次方程，得 ． 解得：，． 则关于的一元二次方程为：． 解得：，． 等腰三角形的三边长度分别为，，，可以构成三角形． ②当底的长度为时． 根据题意可知关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 将变形，得：． 则：． 即． 解得：． 则关于的一元二次方程为：． 解得：． 等腰三角形的三边长度分别为，，，可以构成三角形． 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，能根据题意分类讨论是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， 变形得：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， ∴，． 四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 【答案】(1) y＝－ (x＋1)2＋2；(2)向下， x＝－1. 【解析】 【详解】试题分析： （1）由二次函数的图象的顶点坐标为（-1，2）可设其解析式为：，再代入点B（1，-3）就可求出的值，从而得到此函数的解析式； （2）根据（1）中所求得的这个二次函数的解析式可以知道其图象的开口方向和对称轴. 试题解析： (1)设函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2， 把点(1，－3)代入，得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－ (x＋1)2＋2. (2)由抛物线的解析式为：y＝－ (x＋1)2＋2，可知抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1. 点睛：（1）抛物线的开口方向是由二次函数表达式中“”的值确定的，当时，开口向上，当时，开口向下；（2）要求抛物线的顶点坐标或对称轴，就把抛物线的表达式化为“顶点式：”，则其顶点坐标为：，对称轴为直线：. 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式： ； （2）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，自变量x的取值范围是 ； （5）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）， （3）函数图象如下： （4）； （5） 【解析】 【分析】（1）利用配方法化简即可； （2）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， ∴交点坐标为和； 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 描点，连线，画出函数图象，略； 【小问4详解】 解：观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足时，． 故答案是：； 【小问5详解】 解：由（1），得， ∴二次函数图象的对称轴为直线，当时，y取得最小值，最小值为， ∵， ∴当时，，此时y取得最大值，最大值为3， ∴y的取值范围为． 22. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； (2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根， ∴，∴， ∴. (2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大． 23. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为米，宽为米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 24. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）； （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 【小问3详解】 解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 25. 如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】（1） （2）6 （3）存在， 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科统练 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 4. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A. B. C. D. 7. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，点都在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A. y=（x+1）2+4 B. y=（x﹣1）2+4 C. y=（x+1）2+2 D. y=（x﹣1）2+2 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 11. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 12. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 当_____时，是关于的二次函数． 14. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________． 15. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了______个人． 16. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出_____个小分支． 18. 已知等腰三角形的一条边长为，另两条边长是关于的一元二次方程的两个根，则______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 解方程： （1）； （2）． 四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出它的开口方向、对称轴． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式： ； （2）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，自变量x的取值范围是 ； （5）当时，y的取值范围是 ． 22. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 23. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 24. 综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． （1）当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） （2）在（1）的条件下，当时，求t的值； （3）如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 25. 如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $