专题04 位置与坐标章末易错压轴必刷题型专训（66题22个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

专题04 位置与坐标易错压轴必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 用有序数对表示位置与路线】 1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（    ） A．目标A B．目标E C．目标C D．目标F 【答案】C 【分析】本题考查平面内点的位置的确定，掌握相关知识是解决问题的关键．按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在方向的度数，依次判断即可． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在方向的度数， 故表示点C． 故选：C． 2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为 ． 【答案】（学习） 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据图形找出每个有序数对代表的字母是解题的关键． 根据图形找出有序数对代表的每个字母，合在一起即可解答． 【详解】解：由图形可知：表示s；表示t；表示u；表示d；表示y．即这个英文单词为，翻译成中文为学习． 故答案为：（学习）． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【答案】(1)马，炮 (2)表示象，表示卒 (3) 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，解题的关键是： （1）观察棋盘结合“马”“炮”所在的位置即可求解； （2）观察棋盘判断即可； （3）根据车的行走规则，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得马所在的位置用表示，炮所在的位置用表示； （2）解：根据题意，得表示象的位置，表示卒的位置； （3）解：根据题意，得可以用表示． 【易错必刷二 写出直角坐标系中点的坐标】 4．平面直角坐标系中，点位于第四象限，距离轴4个单位长度，距轴5个单位长度，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点A的横坐标与纵坐标，然后写出即可． 【详解】解：∵点A位于第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴5个单位长度， ∴点A的横坐标为5，纵坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 5．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点到轴的距离为2，则点的坐标是 【答案】或 【分析】本题考查了点到轴的距离. 根据点的纵坐标的绝对值是点到轴的距离作答即可. 【详解】∵点到轴的距离为2， ∴， ∴， ∴点的坐标是或， 故答案为：或. 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)在图中画出关于轴对称的 (2)直接写出三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． 【答案】(1)画图见解析 (2)；； 【分析】（）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（）图可得，， 故答案为：；；． 【易错必刷三 求点到坐标轴的距离】 7．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）点在第三象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，第三象限内的点的坐标特点．点P在第三象限说明其横纵坐标都是负数，利用P点到坐标轴的距离确定具体数值即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴点P的横纵坐标都是负数， ∵点P到x轴距离为，到y轴距离为， ∴点P的横坐标的绝对值为2，纵坐标的绝对值为3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是， ∴点P的坐标为． 故选：C． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，点到坐标轴之间的距离． 利用不同两点到x轴的距离相等，得出，解方程求出a的值，检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， ∴或， ∴或， 当时， ，不符合题意， 当时， ，符合题意， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·广西柳州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若，且轴，则点P的坐标为 ； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)2021 【分析】本题主要考查了根据点所在的象限，求参数的值，点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握坐标平面内点的坐标特点． （1）根据，轴，得出点P的横坐标为5，列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合第二象限内点的符号特征，列出方程求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵点，，且轴， ∴， 解得：， ∴， ∴． （2）解：∵点Р在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等 ∴， 解得：， 把代入． 【易错必刷四 判断点所在的象限】 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若实数满足，那么点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．一、三 D．二、四 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，结合已知条件，再根据各象限内点的坐标特征解答即可．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：因为， 所以，或， 若，，则点在第四象限； 若，，则点在第二象限 所以，点在第二、四象限， 故选：D． 11．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知为任意实数，则点 在平面直角坐标系中的第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题关键． 根据第四象限点的坐标特征，，即，即可求解． 【详解】解：， ， 点 在平面直角坐标系中的第四象限． 故答案为：四． 12．（24-25七年级下·云南丽江·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点在第一象限，轴，且，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离．熟练掌握平面直角坐标系中点坐标的特征，两点之间的距离是解题的关键． （1）由点P在x轴上，可得，可求得，则，进而可得点P的坐标； （2）由轴，可得，可求，则，得到点P的坐标为，由，由点Q在第一象限，由此即可得答案． 【详解】（1）因为点P在x轴上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为； （2）因为点Q坐标为，且轴， 所以， 解得，则， 所以点的坐标为． 因为，且点Q在第一象限， 所以， 解得． 【易错必刷五 已知点所在的象限求参数】 13．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了象限角平分线上点的特点．根据第一、三象限的角平分线上点的特点即可得到关于a的方程进行求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴． 故选：B． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，若轴，则两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式，与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征．理解和掌握两点间的距离公式是解题的关键．利用与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出得到、点的坐标，然后计算它们的纵坐标之差的绝对值得到、两点间的距离； 【详解】解：∵轴， ∴ 点和点的横坐标相等， ∴， 解得：， ∴，， ∴、两点间的距离为． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在过点且与轴平行的直线上； (3)点到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标系下求点的坐标： （1）根据轴上的点的横坐标为0，得到，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； （2）由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； （3）由题意，得：， 解得：或； 当时，，则； 当时，，则； 综上：或 【易错必刷六 坐标系中描点】 16．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，顺次连接、、各点，试求： (1)A、B两点之间的距离． (2)点C到x轴的距离． (3)的面积． 【答案】(1)8 (2)5 (3)20 【分析】本题考查了平面直角坐标系的相关知识点，涉及x轴上两点之间的距离，点到坐标轴的距离，坐标系中描点等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据x轴上两点之间的距离为这两点横坐标的差的绝对值，即，即可求解； （2）根据那么点到x轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即，即可求解； （3）根据三角形面积公式，结合A、B两点间的距离和点C到x轴的距离即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵、， ∴A、B两点之间的距离为：； （2）解：∵， ∴点C到x轴的距离为：； （3）解：． 17．（24-25七年级下·山东济宁·期末）在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题： ，，，，，． (1)A点到原点的距离是______个单位长度； (2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合； (3)连接，则直线与轴是什么位置关系？ (4)点F到、轴的距离分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)平行 (4)7 ；5． 【分析】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键． （1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离； （2）根据点的平移的性质得出平移后的位置； （3）利用图形性质得出直线与轴的位置关系； （4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离． 【详解】（1）如图所示：点到原点的距离是3； 故答案为3； （2）将点左平移个单位，它与点重合； 故答案为； （3）点和点的横坐标相同，所以直线平行于轴， （4）因为，所以点到轴的距离为7、到轴的距离为5． 18．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在直角坐标系中 (1)描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来． ； (2)把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了坐标与图形性质和平面直角坐标系中的点的平移问题，主要利用了在平面直角坐标系中找点位置的方法， （1）根据平面直角坐标系找出各点的位置，然后顺次连接即可． （2）根据题意平移各点即可． 【详解】（1）解：由题意描点、连线如图： （2）解：由题意，平移图案如下： 【易错必刷七 点坐标规律探索】 19．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在（   ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、、的坐标可得，的长，从而求出长方形的周长，进而求出瓢虫爬行一周需要秒，然后再进行计算即可解答．本题考查了点的坐标规律问题，两点间距离，根据点的坐标求出长方形的周长并求出瓢虫爬行一周需要的时间是解题的关键． 【详解】解：，，，， ，， ， （秒）， 瓢虫爬行一周需要秒， ， ， 从出发沿方向个单位长度，在 第秒瓢虫在处． 故选：A． 20．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出第个点的坐标是是解题的关键，根据所给排列方式，发现第个点的坐标是，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个点的坐标为， 第9个点的坐标为， 第25个点的坐标为， …， 所以第个点的坐标为， 因为， 所以第2025个点的坐标为， 所以第2026个点的坐标为 故答案为： 21．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生）如图，有直角三角形，A点，B点坐标分别为，．问在x轴上顺时针滚动10次后直角三角形直角顶点坐标？ 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律，勾股定理，先运用勾股定理得，得出直角三角形周长为，再结合滚动过程，得出滚动三次和滚动四次，此时直角三角形直角顶点坐标为，则滚动十次时，直角三角形直角顶点坐标为，即可作答． 【详解】解：∵A点，B点坐标分别为，． ∴， ∴在中，， 则， 观察滚动过程，得出当滚动三次，此时直角三角形直角顶点坐标为， 当滚动四次时，直角三角形直角顶点坐标为， 当滚动六次，， 此时直角三角形直角顶点坐标为， 当滚动七次时，直角三角形直角顶点坐标为， 当滚动九次， 此时直角三角形直角顶点坐标为， 当滚动十次时，直角三角形直角顶点坐标为， 【易错必刷八 已知两点坐标求两点距离】 22．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴线段的长度是， 故选：A． 23．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，O是的中点， 点A 的坐标是，点B的坐标是， 则a的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点间距离公式，勾股定理，关于原点对称点的坐标，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键．根据原点对称点的坐标求出点C的坐标为，根据两点间距离公式求出，，根据勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：∵O是的中点， ∴点B与点C关于原点对称， ∵点B的坐标是， ∴点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）设点 在 轴上，且点 到点 的距离是它到点 距离的 倍，求点 的坐标． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了两点之间的距离公式，设点P的坐标为，再根据两点之间的距离公式列出方程，求出解即可． 【详解】解：设点P的坐标为，根据题意，得 ， 解得或， 所以点P的坐标是或． 【易错必刷九 坐标系中的平移问题】 25．（24-25七年级下·福建福州·期中）若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，据此进行求解即可． 【详解】解：∵将向右移动3个单位，再向下移动1个单位， ∴M点的坐标为， ∵直线轴，且线段，点N在点M的左侧， ∴点N的坐标为， 故选：A． 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）若点与点的连线平行于轴，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用．根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知点，点Q的坐标为． (1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标； (2)若直线轴，请求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标系里点的平移．熟练掌握坐标轴上的点的坐标特征，平行坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解题的关键，x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，平行y轴的直线上点的横坐标相等，平行x轴的直线上点的纵坐标相等． （1）根据x轴上点的纵坐标为0，建立方程，求出a的值，即得； （2）根据平行y轴，的直线上的横坐标相等，建立方程求得a值，即得； （3）根据点P的坐标为，，分点Ｑ在点Ｐ的上方和下方两种情况解答． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）∵，，直线轴， ∴， ∴， ∴． ∴点P的坐标为． （3）∵点P的坐标为，， ∴，或 ∴点Q的坐标为或． 【易错必刷十 中点坐标】 28．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（24-25八年级上·广东茂名·期末）点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段中点的坐标计算，正确理解线段中点的坐标计算是解题的关键．利用线段中点的计算公式计算，即得答案． 【详解】解：是线段的中点， ， 解得， ． 故答案为：10． 【易错必刷十一 实际问题中用坐标表示位置】 31．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标表示位置，解题的关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．根据点A和点C的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出点B的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标是，点C的坐标是， 建立如图所示平面直角坐标系， 由图可知，， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·全国·期中）山西被称为“中国古代建筑宝库”．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建筑的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，则佛光寺的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实际问题中用坐标表示位置；根据题意建立平面直角坐标系，即可求出结果． 【详解】解：∵应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为， ∴建立如图所示平面直角坐标系， ∴佛光寺的坐标为， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某主题公园打造了五大主题景区．如图所示的是某些主题景区的分布示意图(图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对B主题景区和C主题景区的位置做出如下描述： 小珂：“B主题景区的坐标是．” 妈妈：“C主题景区位于坐标原点的西北方向．” 小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出A主题景区的坐标：_______． (2)若D主题景区的坐标为，E主题景区的坐标为，请在坐标系中用点D、E表示这两个主题景区的位置． (3)如果一个单位长度代表米，请你用方向和距离描述E主题景区相对于C主题景区的大致位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)E主题景区位于C主题景区的正南方向，距离C主题景区米的地方 【分析】本题考查了平面直角坐标系的相关知识点，正确建立平面直角坐标系是解题关键． （1）根据B主题景区的坐标即可建立平面直角坐标系； （2）根据坐标即可求解； （3）由图即可求解； 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图， 由图可知：A主题景区的坐标为； （2）解：如图所示： （3）解：E主题景区位于C主题景区的正南方向，距离C主题景区米的地方． 【易错必刷十二 用方向角和距离确定物体的位置】 34．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点O表示小明家，A，B，C，D，E分别表示电影院，学校，博物馆，图书馆，公园，且，，，． (1)到点O的距离相等的地方有_____（填字母），均为_____． (2)由图可知，博物馆在小明家南偏西方向处，请描述电影院、学校、公园相对于小明家的位置．（不需要写出计算过程） 【答案】(1)A、D、E；1 (2)见解析 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． （1）结合图象利用各方向角以及线段之间的和差关系可得答案； （2）结合图象及位置特点，用方位角和实际距离分别表示电影院、学校、公园相对于小明家的位置，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴到点O距离相等的地方有电影院，图书馆与公园，均为； 故答案为：A、D、E；1； （2）解：电影院在小明家东偏北方向处； 学校在小明家东偏南方向处； 公园在小明家南偏西方向处． 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为OP的中点，回答下列问题： (1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (2)由图可知，公园在小明家南偏东方向处．请用方位角与距离分别描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置． 【答案】(1)学校和公园 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是： （1）利用点为的中点，找出，即可求解； （2）观察图形，找出学校、商场、停车场相对于小明家的位置． 【详解】（1）解：因为为的中点， 所以． 因为， 所以到小明家距离相同的是学校和公园． （2）学校在小明家北偏东的方向上，且到小明家的距离为； 商场在小明家北偏西的方向上，且到小明家的距离为； 停车场在小明家南偏东的方向上，且到小明家的距离为． 36．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标． (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，则九龙桥的位置记为（南偏东，），请结合上述条件进一步使用工具测量和计算，直接写出大宋校场的位置． 【答案】(1)图见解析， (2)（北偏东，） 【分析】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握平面直角坐标系和点的坐标的关系是解题的关键． （1）参照所给点的坐标推断坐标轴的位置，写出大宋校场的坐标即可； （2）参照题目中的范例，以文房博物馆为基准点，确定大宋校场的位置． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． 故答案为：． （2）以文房博物馆为基准点，大宋校场的位置记为（北偏东，）． 【易错必刷十三 根据方位描述确定物体的位置】 37．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 38．（25-26八年级上·全国·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中找出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，解题的关键是数形结合，建立正确的平面直角坐标系． （1）根据大门的坐标为，花坛的坐标为，找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可； （2）在平面直角坐标系中根据点A的坐标找出建筑物A的位置即可； （3）根据建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向处找出点B的位置，得出点B的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示； （2）解：点A如图所示； （3）解：点B如图所示，点． 39．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【答案】(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 【易错必刷十四 对称问题】 40．（2025八年级上·全国·专题练习）太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 41．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查镜面反射的原理与性质；根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：从镜子中看到的是，则真实时间应该是将此读数倒看：． 故答案为：． 【易错必刷十五 坐标与图形变化问题】 43．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； (2)已知P为x轴上一点，且的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了作图-轴对称变换、三角形求面积，熟练掌握各知识点是解题关键． （1）根据A，B，C的坐标描点再连线可得，根据轴对称的性质可得； （2）设点P的坐标为，根据三角形面积公式列方程求解，求出n的值即可． 【详解】（1）解：如图，及即为所求． （2）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴的面积， 解得或， ∴点P的坐标为或． 44．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； (2)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，则点C关于y轴的对称点的坐标为； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 45．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知各顶点的坐标分别为，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于直线对称． (1)画出，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求的面积． (3)若点是内一点，点是内与点对应的点，则点坐标为______． 【答案】(1)作图详见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合轴对称图形的性质，找出点，再依次连接，即可作答； （2）利用割补法求解即可； （3）结合轴对称的性质，进行列式，得出，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； （2）的面积为： （3）点是内一点，点是内与点P对应的点， ∴， ∴， 即点坐标为， 故答案为：． 【易错必刷十六 坐标系中的对称问题】 46．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置． （1）根据点的坐标画三角形即可； （2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可； （3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可． 【详解】（1）解：如下： （2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点Q为y轴上一点， ∴设点， 当点Q位于点A上方时， 则， 即，解得， 此时点； 当点Q位于点A下方时， 则， 即，解得， 此时点； ∴点Q的坐标为或． 47．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 48．（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的轴对称变换、利用轴对称求最短路径以及图形面积的计算，通过对称点的性质找到对应点坐标，利用两点间距离公式和割补法求解相应问题是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质来确定各顶点坐标并画图； （2）利用轴对称的性质，找到点A关于x轴的对称点，则的最小值为的长度，通过两点间距离公式计算； （3）使用割补法求的面积． 【详解】（1）解： 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， ， , 在坐标系中描点，然后顺次连接这三个点，得到， 点的坐标为； （2） 作点关于轴的对称点，则的坐标为，连接，当动点P为与轴的交点时， 的值最小，， 故答案为：； （3）以，构造矩形（长为5，宽为4），然后减去三个直角三角形的面积。 矩形面积，三个直角三角形面积分别为：，，， 则． 【易错必刷十七 坐标系中的动点问题（基础）】 49．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． (1)求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标为或 (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）根据，可得点的纵坐标为4，再由可得点的横坐标为或5，进而可得点的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，轴，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为或5 的坐标为或； （2）解：存在，理由如下： 由题意知点可能在直线上方的轴上或直线下方的轴上， 设点到直线的距离为， 则的面积， 即， 解得， 当点在直线上方的轴上时，则点的坐标为， 当点在直线下方的轴上时，则点的坐标为． 50．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 51．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，经过点A的直线轴．若为直线上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短可知时最短． 【详解】解：如图，根据垂线段最短可知，时最短． ，轴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握垂线段最短． 【压轴满分一 平面直角坐标系中的点规律问题】 52．（2025八年级·全国·竞赛）如图，点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．若在x轴正半轴上有整点（n为正整数），则内部（不包括边界）的整点个数m的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，新定义，点的规律．先理解整点的定义，再研究当时，整点为共三个点，当时，点B的横坐标的值是4；当点B的横坐标为8时，即时，整点个数，当点B的横坐标为12时，即时，整点个数，故当点B的横坐标为（n为正整数）时，，即可作答． 【详解】解：如图： ∵点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．且在x轴正半轴上有整点（n为正整数）， ∴当时，则点B在点时，内部（不包括边界）的整点为共三个点， ∴当点B的横坐标的4时，； 当点B的横坐标为8时， 即时，内部（不包括边界）的整点个数， 当点B的横坐标为12时， 即时，内部（不包括边界）的整点个数， ∴当点B的横坐标为（n为正整数）时，； 故选：B 53．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析每一象限点的坐标与下标的关系，据此判断在第几象限并求出其坐标即可．本题主要考查了点的变化规律，找到规律是解题关键． 【详解】每一象限的点的特点： 第一象限 ；； ；； 第二象限 ；；； 第三象限 ；；； 第四象限 ；；； ，则在第二象限，根据规律可得点的坐标是． 故选：B． 54．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的规律问题． 根据题意找出规律，进而根据规律作答即可． 【详解】解：把第一个点作为第一列，，作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则前n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为， 则第88个点在第13列，由上到下是第10个数． 因而第个点的坐标是． 故答案为：． 【压轴满分二 平面直角坐标系中的面积问题】 55．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作轴，与轴交于点，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． 【详解】解：如图，作轴，与轴交于点， 由题意可得， ， ， ∴， ∵， ∴， 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 56．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 57．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的认识，二次根式和绝对值的非负性，动点问题． （1）利用二次根式和绝对值的非负性求出即可求出，判断的运动位置即可求出点的坐标． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． （3）根据的不同位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，, , 当时，运动10个单位，此时运动到点，故坐标为． （2）当在线段上时，的面积为一个定值． 在点时：， 在点时：， 故答案为：． （3）①当在线段上时， ，即， ， ； ②当在线段上时， ，即， ， ， ； 故答案为：或． 【压轴满分三 平面直角坐标系中的点存在问题（动点）】 58．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标； （2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度； （3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵P的速度为每秒2个单位长度， ∴P由A到B需要的时间为：（秒）； A到B需要的时间为（秒）； ∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒）， 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 则，如图1， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为， 即，如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题． 59．（2025八年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点． (1)求的面积； (2)若是轴上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积公式． （1）根据点的坐标求出的长和边上的高得长度，再根据面积公式即可求解； （2）先根据面积公式求出的长，再求点的坐标． 【详解】（1）解：点， ，边上的高为， ． （2）由（1）可得， 则， ， 点的坐标为或． 60．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，点是点关于轴的对称点，作，直线交的延长线于点． (1)根据题意，可求得点坐标为：（___________，___________）； (2)求证：； (3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1个单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点于点．问两动点运动多长时间与全等？ 【答案】(1)0， (2)见解析 (3)当两动点运动时间为、、10秒时，与全等 【分析】（1）根据点，点是点关于轴的对称点，即可求得点坐标； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得，由可得，从而证明，即可作答． （3）设运动的时间为秒，证明与全等，根据三角形全等的性质分三种情况讨论：①当点、分别在轴、轴上时，②当点、都在轴上时，③当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，当点运动到点提前停止时，根据时，列出一元一次方程解方程求解即可 【详解】（1）解：点，点是点关于轴的对称点， 故答案为：0，； （2）证明：如图1中， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在与中， ∴； （3）解：依题意，与全等， 设运动的时间为秒，当时， 分三种情况讨论： ①当点、分别在轴、轴上时， 当时 在与中 则得： ， 解得（秒）， ②当点、都在轴上时，同理可得, 则得： ， 解得（秒）， ③当点在轴上，在轴上时，同理可得，若二者都没有提前停止，则得： ， 解得（秒）不合题意； 当点运动到点提前停止时， 有，解得（秒）， 综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，与全等. 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标系中的动点问题（不含函数），全等三角形的性质与判定，一元一次方程的几何应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【压轴满分四 平面直角坐标系中的最值问题（将军饮马等）】 61．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中有，两点，若在轴上找一点，使的周长最小，此时的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称-最短路径问题、勾股定理、三角形三边关系等知识点，灵活运用轴对称的性质成为解题的关键． 如图：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则，，由三角形三边关系可得当共线时，最小为，即的周长最小，再运用勾股定理求得，最后根据三角形周长公式即可解答． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则， ∵， ∴当共线时，最小为，即的周长最小， ∴， ∴的最小值为=． 故答案为：． 62．（2022·广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 【答案】 5 【分析】（1）作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接，根据轴对称的性质可得AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，最后根据=+PE=即可求解； （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O，根据BM=可知=+MN=，根据轴对称的性质和含30°角的直角三角想30°角所对的边等于斜边的一半，分别求出和BN的长度即可； （3）根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于和，用勾股定理进行即可进行证明． 【详解】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接 ∵点B和点关于AC对称， ∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°， ∴在△中，∠=90°， ∵点E为AB中点， ∴AE=， ∴， ∵PB=， ∴=+PE=， 故答案为：． （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O， 根据轴对称的性质可知，⊥AC， ∵，，∠AOB=90°， ∴BO=，∠=60°， ∴=2 BO=2， 在Rt△中，∠=60°， ∴∠=30°， ∴NB=， ∴， ∵BM=， ∴=+MN=， 故答案为：． （3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， 作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O， 根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=， ∵AB=4，=1， ∴=4，BO==1， ∴DO=3， 在Rt△中，， ∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， ∴，， ∵CP+DP =+DP==5， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径问题，熟练掌握勾股定理的内容，利用轴对称的性质构造直角三角形是解题的关键． 63．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)； (2)​​​​​​​； (3)； 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为的长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 【压轴满分五 平面直角坐标系中的新定义问题】 64．（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意点，将点T的“元变化”定义为：当时，作点T关于x轴对称：当时，作点T关于y轴对称．根据定义，解决问题：    如图，点，点，其中，点P，Q“元变化”后的对应点是点，． （1）直接写出坐标， ， （用含b的式子表示）； （2）若，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，难度较大． （1）根据定义，结合轴对称性质即可求解； （2）连接，延长交于点H，则，可证明，则，继而得到关于b的方程，即可求解． 【详解】解：（1）对于点，可知， ∴点为， 对于点，其中， 则， ∴， 故答案为：，； （2）点，点，，， 连接，延长交于点H，如图，    ∴，， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 65．（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x轴，y轴的距离的较大值等于点Q到x轴，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点． (1)下列各点中，是的等距点的有 ； ①，②，③ (2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标； (3)若点与点是“等距点”，直接写出k的值． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)的值为或 【分析】本题考查了点的坐标，解绝对值方程，正确理解“等距点”的定义是解题的关键． （1）根据“等距点”的定义进行判断，即可求解； （2）根据“等距点”的定义得出方程，求出m的值，即可得到点C的坐标； （3）分情况讨论：①当时，②当时，分别根据“等距点”的定义得出方程，求出k的值，再舍去不合题意的k值即可． 【详解】（1）解：依题意，到坐标轴的距离的较大值为， ①到坐标轴的距离的较大值为， ②到坐标轴的距离的较大值为， ③到坐标轴的距离的较大值为， 则的等距点的有①③， 故答案为：①③； （2）点到轴，轴的距离的较大值为，点与点是“等距点”， 或， 解得：或或或， 当时，点的坐标是，符合题意； 当时，点的坐标是，不符合题意； 当时，点的坐标是，不符合题意； 当时，点的坐标是，符合题意； 点的坐标为：或； （3）解：分情况讨论： ①当时， 点与点是“等距点”， ， 解得：或， 当时，点坐标为，点坐标为，符合题意； 当时，点坐标为，点坐标为，不符合题意，舍去； ， ②当时， 点与点是“等距点”， ， 解得：或， 当时，点坐标为，点坐标为，符合题意； 当时，点坐标为，点坐标为，不符合题意； ， 综上，的值为或． 66．（24-25九年级上·北京延庆·期中）对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点为图形的“倍点”．已知，点，，，，． (1)在点，，中，线段的“倍点”是________________； (2)点，若点为线段的“倍点”，求的取值范围． 【答案】(1)、 (2)或 【分析】本题考查了点到线段（上的点）的距离． （1）计算每个点到的最大和最小值，再根据“倍点”的定义判断即可； （2）分为当最小值是2，和最小值是1两种情形，分别讨论求解． 【详解】（1）解：如图， ∵点到线段的最大距离是，最小距离是， ∴点不是线段的“倍点”， ∵点到线段的最大距离是，最小距离是， ∴点是线段的“倍点”， ∵，， ∴点是线段的“倍点”， 故答案为：、； （2）解：如图， 当是最小值时，最大值是， ∴， ∴（舍去），； 当最小值是1时，， 此时最大值是2， ∵， ∴， ∴， 综上所述：或； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 位置与坐标易错压轴必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 用有序数对表示位置与路线】 1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（    ） A．目标A B．目标E C．目标C D．目标F 2．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为，请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文为 ． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图是中国象棋棋盘示意图，部分黑棋的棋子摆在这些交叉点上，每个交叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示如：． (1)分别用两对数表示“马”“炮”所在的位置． (2)两对数和分别表示哪两枚棋子的位置． (3)象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请你用三对数来描述“车”的行走路线：． 【易错必刷二 写出直角坐标系中点的坐标】 4．平面直角坐标系中，点位于第四象限，距离轴4个单位长度，距轴5个单位长度，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点到轴的距离为2，则点的坐标是 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)在图中画出关于轴对称的 (2)直接写出三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． 【易错必刷三 求点到坐标轴的距离】 7．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段练习）点在第三象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·重庆·期末）若不同两点和到x轴的距离相等，则实数a的值为 ． 9．（24-25七年级下·广西柳州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若，且轴，则点P的坐标为 ； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【易错必刷四 判断点所在的象限】 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若实数满足，那么点位于第（   ）象限 A．一 B．二 C．一、三 D．二、四 11．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知为任意实数，则点 在平面直角坐标系中的第 象限． 12．（24-25七年级下·云南丽江·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点在第一象限，轴，且，求b的值． 【易错必刷五 已知点所在的象限求参数】 13．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，若轴，则两点间的距离为 ． 15．（24-25七年级下·四川南充·期中）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在过点且与轴平行的直线上； (3)点到两坐标轴的距离相等． 【易错必刷六 坐标系中描点】 16．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，顺次连接、、各点，试求： (1)A、B两点之间的距离． (2)点C到x轴的距离． (3)的面积． 17．（24-25七年级下·山东济宁·期末）在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题： ，，，，，． (1)A点到原点的距离是______个单位长度； (2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合； (3)连接，则直线与轴是什么位置关系？ (4)点F到、轴的距离分别是多少？ 18．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在直角坐标系中 (1)描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来． ； (2)把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案． 【易错必刷七 点坐标规律探索】 19．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在（   ）处． A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 21．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生）如图，有直角三角形，A点，B点坐标分别为，．问在x轴上顺时针滚动10次后直角三角形直角顶点坐标？ 【易错必刷八 已知两点坐标求两点距离】 22．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）已知点，点，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，O是的中点， 点A 的坐标是，点B的坐标是， 则a的值为 ． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）设点 在 轴上，且点 到点 的距离是它到点 距离的 倍，求点 的坐标． 【易错必刷九 坐标系中的平移问题】 25．（24-25七年级下·福建福州·期中）若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）若点与点的连线平行于轴，则a的值为 ． 27．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知点，点Q的坐标为． (1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标； (2)若直线轴，请求出点P的坐标； (3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标． 【易错必刷十 中点坐标】 28．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点与点关于点对称，则 ． 29．（24-25八年级上·广东茂名·期末）点和点的中点坐标为 ． 30．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为 ． 【易错必刷十一 实际问题中用坐标表示位置】 31．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是，点 C 的坐标是，则点 B 的坐标是 ． 32．（25-26八年级上·全国·期中）山西被称为“中国古代建筑宝库”．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建筑的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，则佛光寺的坐标为 ． 33．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某主题公园打造了五大主题景区．如图所示的是某些主题景区的分布示意图(图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形)．小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对B主题景区和C主题景区的位置做出如下描述： 小珂：“B主题景区的坐标是．” 妈妈：“C主题景区位于坐标原点的西北方向．” 小珂和妈妈描述的位置都是正确的． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出A主题景区的坐标：_______． (2)若D主题景区的坐标为，E主题景区的坐标为，请在坐标系中用点D、E表示这两个主题景区的位置． (3)如果一个单位长度代表米，请你用方向和距离描述E主题景区相对于C主题景区的大致位置． 【易错必刷十二 用方向角和距离确定物体的位置】 34．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点O表示小明家，A，B，C，D，E分别表示电影院，学校，博物馆，图书馆，公园，且，，，． (1)到点O的距离相等的地方有_____（填字母），均为_____． (2)由图可知，博物馆在小明家南偏西方向处，请描述电影院、学校、公园相对于小明家的位置．（不需要写出计算过程） 35．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为OP的中点，回答下列问题： (1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (2)由图可知，公园在小明家南偏东方向处．请用方位角与距离分别描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置． 36．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中组在文房博物馆体验“大宋科举”，组在九龙桥观看“东京保卫战”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标． (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，则九龙桥的位置记为（南偏东，），请结合上述条件进一步使用工具测量和计算，直接写出大宋校场的位置． 【易错必刷十三 根据方位描述确定物体的位置】 37．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 38．（25-26八年级上·全国·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为． (1)根据上述条件建立平面直角坐标系； (2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置； (3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标． 39．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【易错必刷十四 对称问题】 40．（2025八年级上·全国·专题练习）太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有 条． 41．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 42．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【易错必刷十五 坐标与图形变化问题】 43．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； (2)已知P为x轴上一点，且的面积为4，求点P的坐标． 44．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； (2)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 45．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知各顶点的坐标分别为，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于直线对称． (1)画出，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求的面积． (3)若点是内一点，点是内与点对应的点，则点坐标为______． 【易错必刷十六 坐标系中的对称问题】 46．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 47．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 48．（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 【易错必刷十七 坐标系中的动点问题（基础）】 49．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． (1)求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，经过点A的直线轴．若为直线上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为 ． 【压轴满分一 平面直角坐标系中的点规律问题】 52．（2025八年级·全国·竞赛）如图，点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．若在x轴正半轴上有整点（n为正整数），则内部（不包括边界）的整点个数m的值是（   ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 ． 【压轴满分二 平面直角坐标系中的面积问题】 55．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ． 56．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动．设点运动的时间为； (1)点的坐标为______；当点运动5秒时，点的坐标为______． (2)在点运动过程中，当的面积为一个定值时，则的取值范围是______； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使的面积是？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【压轴满分三 平面直角坐标系中的点存在问题（动点）】 58．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围； (3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 59．（2025八年级上·全国·专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点． (1)求的面积； (2)若是轴上一动点，当时，求点的坐标． 60．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，点是点关于轴的对称点，作，直线交的延长线于点． (1)根据题意，可求得点坐标为：（___________，___________）； (2)求证：； (3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1个单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点于点．问两动点运动多长时间与全等？ 【压轴满分四 平面直角坐标系中的最值问题（将军饮马等）】 61．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中有，两点，若在轴上找一点，使的周长最小，此时的周长是 ． 62．（2022·广东深圳·三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 63．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【压轴满分五 平面直角坐标系中的新定义问题】 64．（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意点，将点T的“元变化”定义为：当时，作点T关于x轴对称：当时，作点T关于y轴对称．根据定义，解决问题：    如图，点，点，其中，点P，Q“元变化”后的对应点是点，． （1）直接写出坐标， ， （用含b的式子表示）； （2）若，则b的值为 ． 65．（24-25七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x轴，y轴的距离的较大值等于点Q到x轴，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点． (1)下列各点中，是的等距点的有 ； ①，②，③ (2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标； (3)若点与点是“等距点”，直接写出k的值． 66．（24-25九年级上·北京延庆·期中）对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点为图形的“倍点”．已知，点，，，，． (1)在点，，中，线段的“倍点”是________________； (2)点，若点为线段的“倍点”，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $