精品解析：江苏省梅村高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段检测数学试题

江苏省梅村高级中学2025-2026学年度第一学期10月阶段检测 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.10 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 2. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 4. 已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且底面是以为斜边的等腰直角三角形， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系， 由题意可得，，，，， 所以，，，，， 所以，， ，， 所以， 故选：B 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A 6. 已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 7. 已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出点关于直线的对称点的坐标，可求得直线的方程，联立直线、的方程，可得出点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 线段的中点为，则点在直线上， 所以，，即，① 因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，② 联立①②可得，，即点， ，所以，直线的方程为， 由题意可知，点为直线、的交点，联立，解得， 因此，点的坐标为. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 B. 若直线与直线平行，则或0 C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 D. 点在直线上，直线方程为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线的方向向量的定义即可判断A，由解出，代入验证即可判断B，利用倾斜角和斜率的关系即可判断C，根据题意代入方程解出，代入方程即可判断D. 【详解】对于A：设直线的倾斜角为，则，又，所以，故A正确； 对于B：由，即，解得或， 当时，直线，与直线重合，不满足题意， 经验证满足，故B错误； 对于C：当时，，所以直线的倾斜角， 当时，，由或， 所以或，所以或， 所以直线的倾斜角的取值范围是，故C正确； 对于D：由点在直线上，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D. 三棱锥体积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，假设存在点使得，利用向量数量积为0求出可判断A；假设存在点，使得异面直线与所成的角为，由向量夹角公式计算可判断B；求出平面的法向量可判断C；对于D，方法一 利用向量法求出点到平面距离，再求三棱锥的体积可判断D；方法二 利用等体积可判断D． 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 对于A，假设存在点，使得， 因为，，所以， 解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，当点运动到中点时，，又，， 所以，， 设是平面的法向量， 则，令，则，故C正确； 对于D，方法一 因为，， 所以， ，则 ， 设是平面的法向量，则， 令，则，设， 则， 则点到平面的距离， 则三棱锥的体积为， 因为，所以，故D正确． 方法二 设，则， 因为， ， 点到平面的距离， 所以，因为， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为________． 【答案】和 【解析】 【分析】先计算两平行直线的距离，再由截得的线段长为，可得直线与直线之间的夹角，从而可得答案. 【详解】因为直线：与：平行， 所以与之间的距离． 设直线与，的夹角为（）， 因为直线被直线与截得的线段长， 所以，解得． 因为直线，的斜率为1，所以其倾斜角为， 所以直线的倾斜角的值为和． 故答案为：和. 13. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 14. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 17. （1）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值. （2）已知，直线（A，B不同时为0），推导点P到直线的距离公式. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量模、夹角的坐标表示列式求解. （2）求出投影向量的模即可推得点到直线的距离公式. 【详解】（1）由两个单位向量与向量的夹角都等于， 得，，， 则，而， ，因此，解得或， 所以或. （2）直线的方向向量，则与直线垂直的直线的一个方向向量为， 在直线上任取点，则，， 因此点到直线的距离， 所以点到直线的距离公式为. 18. 如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E为PD的中点. （1）证明； （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1）设AD的中点为O，连接OB，OP. ∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， ∴OP⊥AD. ∵BC＝AD＝OD且BC∥OD， ∴四边形BCDO为平行四边形，则CD∥OB，又CD⊥AD， ∴OB⊥AD，又OP∩OB＝O，则AD⊥平面OPB. 由PB面OPB，则AD⊥PB. （2）. 【解析】 【分析】（1）设AD的中点为O，连接OB，OP，易知OP⊥AD且四边形BCDO为平行四边形，根据平行四边形的性质易得OB⊥AD，最后由线面垂直的判定及性质即可证结论. （2）过O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，构建O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴的空间直角坐标系，设P(x,0,z)(z>0)，利用空间两点的距离公式求P坐标，并确定其它相关点坐标，求、面的法向量，若M时PA的中点，连接EF、FB，易得面，进而应用空间点面距离的向量求法求到面的距离即为到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M， 以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图. 则有A(0,－1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0).设P(x,0,z)(z>0)， 由PC＝2，OP＝1，则得：x＝－，z＝，即P， 而E为PD的中点， ∴E，则， ∴，，若为面的一个法向量， 则，令，则， 若M时PA的中点，连接EF、FB，则， 由（1）易知：为平行四边形，即， 又面，面，则面 ∴直线到平面的距离等于到平面的距离. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2025-2026学年度第一学期10月阶段检测 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 2025.10 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 2. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 4. 已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 B. 若直线与直线平行，则或0 C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是 D. 点在直线上，直线方程为. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 当点运动到中点时，平面的法向量可以为 D. 三棱锥体积的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为________． 13. 如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________. 14. 如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17. （1）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值. （2）已知，直线（A，B不同时为0），推导点P到直线的距离公式. 18. 如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E为PD的中点. （1）证明； （2）求直线到平面的距离. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $