精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年九年级上学期10月定时作业数学试题

数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑、 1. 下列手机软件图标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算法则及实数运算法则，准确记忆公式和概念是解决此类题目的关键．根据整式运算法则及实数运算法则计算即可． 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误； C．，故错误； D．，故正确； 故选：D． 3. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为．若，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3， ∴AB：DE＝2：3． ∵AB＝4， ∴DE＝6． 故选：A． 【点睛】本题主要考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点． 4. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和运算，平方根的估算；先通过展开化简原式，再估算其值． 【详解】解：， ∵，， ， ∴， ∴原式的值在3和4之间， 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，正方形的判定，平行四边形的判定，圆周角定理，三角形的内心，根据正方形的判定，平行四边形的判定，圆周角定理，三角形的内心逐个判断即可得到答案． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A正确． 圆周角定理指出，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，选项未强调“同弧”，表述不严谨，故B错误． 对角线互相平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，故C错误． 三角形的内心是三条内角平分线的交点，而三边垂直平分线的交点为外心，故D错误． 故选：A． 6. 观察下列一组图案，每个图案都是若干个圆点组成，其中图①中共有7个圆点，图②中共有13个圆点，图③中共有21个圆点，图④中共有31个圆点，按此规律，图形⑧中的圆点个数是（ ） A. 133 B. 111 C. 91 D. 73 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是将原图形中的点进行无重叠的划分来计数． 根据前面四个图案圆点的个数特征，找出规律，即可解答． 【详解】解：第①个图案中“●”有：个， 第②个图案中“●”有：个， 第③个图案中“●”有：个， 第④个图案中“●”有：个， … ∴第8个图案中“●”有：个， 故选C． 7. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则． 【详解】解：∵， ∴函数（为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角，三角形的内角和，对顶角相等，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，先证明，，得到，，则，继而推导出，可得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为直径，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 9. 如图，在正方形中，、分别为边、延长线上两点，连接、，，交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，连接，设，则，；证明，得到；再证明，得到，则，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴可设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①若，则； ②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键． ① 由的结构分析的系数，判断是否成立；② 根据到互不相等且次数相同，推导的唯一性；③ 枚举为二次三项式且为二次式时，恒正的情况，验证个数． 【详解】解：①当时，由和两个项组成，即． 只有对应的系数需满足（对应项）、（另一项）、（对应项）时．时，故①正确． ②若到互不相等且与次数相同，则的次数．由于是正整数且互不相等，唯一可能的结构是为的排列，此时，唯一确定．故②正确． ③为二次三项式，即且．为二次式要求．需恒正： 时，，； 时，，（恒正）； 时，，． 共3种情况，但题目称有2个，故③错误． 综上，①和②正确，但③错误． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 重庆东站于年月日投用运营．其总建筑面积约平方米，将数据“”用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据“”用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余得，继而求得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；直角三角形两锐角互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 重庆动物园的大熊猫“渝可”、“渝爱”深受市民喜爱．某纪念品商店售卖的“渝可”大熊猫玩偶原本标价为每个元，因市场波动，经过两次降价后标价变为每个元．则“渝可”大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查​​一元二次方程解决增长率/降低率实际问题的应用能力​​，​​准确理解“平均降价率”的数学含义（即每次降价率相同），并正确建立方程模型是解题的关键． 设平均降价率为，列方程为，求解即可． 【详解】设平均降价率为， 第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， 所以，即， 解得或（不合题意，舍去）， 所以 ，即， 因此，平均降价率为， 故答案为：． 14. 若，则的值为_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，的直径垂直于弦，垂足为点，点是的中点，在延长线上取点，连接，，，使得，若，．则的半径为_____，_____． 【答案】 ①. 13 ②. 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，结合，得出，则，，根据垂径定理推论得出，解直角三角形求出，勾股定理求出，设的半径为，在中，根据勾股定理列方程求出，即可求出的半径；根据半径即可求出，根据垂径定理得出，证明，根据相似三角形的性质求出，过点作，结合，得出，证明四边形是矩形，得出，再证明，求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点是的中点，是半径， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为13； ∴， ∵的直径垂直于弦，垂足为点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13，． 【点睛】本题考查圆与几何的综合题，涉及相似三角形的性质和判定，勾股定理，垂径定理及其推论，圆周角定理，矩形的性质和判定，锐角三角函数等知识点，熟练掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质是解题的关键， 16. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差等于百位数字与个位数字的差，且该差值为2，则称此数为“差等数”．例如：四位数3614，因为，所以3614是“差等数”．按照这个规定，最大的“差等数”是_____；已知“差等数”，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，．若能被7整除，是完全平方数，则满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为_____． 【答案】 ①. 9977 ②. 2828 【解析】 【分析】本题考查对新定义的理解，整式的运算；满足定义的最大的四位数要越靠左的数位上尽可能大，最小的四位数则要越靠左的数位尽可能小，据此即可找到符合条件的数. 【详解】解：∵最大的“差等数”则要千位上最大为9，则十位是，百位上最大为9，则个位上为， ∴最大的“差等数”为9977， ∵，， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴a最大为9，当时，， ∴25为完全平方数符合题意， ∴， ∵能被7整除， ∴当时，能被7整除，此时最大， ∴满足条件的“差等数”中最大值为， ∵最小的满足条件的数则要千位尽可能小， ∴当时，， ∵是完全平方数， 当时，则，不符合题意 当时，则，不是完全平方数不符合题意 当时，则，不是完全平方数不符合题意 当时，则，不是完全平方数不符合题意 当时，则，是完全平方数符合题意 ∴此时， ∴， ∵ ∴ ∵当，时，， ∴能被7整除， ∴此时满足条件的数最小， ∴满足条件的“差等数”中最小值为， ∴满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为. 三、解答题：（本大题9个小题，17、18小题每小题8分，19~25小题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】0，1，2 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式组解集，分别求出每个一元一次不等式的解集，然后求出所有解集的公共部分，最后找到解集中的整数即可；要注意不等式①是包含两个一元一次不等式的，要分别求出解集，再找到所有解集的公共部分，最后找到解集中的整数即可. 【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为，其中的整数为0，1，2. ∴原不等式组的所有整数解为0，1，2. 18. 如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 【答案】（1） 解：作图如下： （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质； （1）以B为圆心长为半径画弧与交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交，连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点，此时； （2）①为两个角互余，②为同角的余角相等，③是三角形全等的判定条件，④是由全等三角形的性质得出的对应边相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，先计算多项式的乘法、括号内的分式的加法，同时将分式的除法转化为乘法，然后再约分化成最简形式，然后根据零指数幂及特殊角的三角函数值将化简，再代入计算即可．掌握相应的运算法则、运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 20. 年月日，我国迎来第个“全民健身日”、为积极响应全民健身的号召．某体育用品店花费元，购入了乒乓球拍和羽毛球拍共计副、据悉，乒乓球拍的进价为元/副，羽毛球拍的进价为元/副． （1）求乒乓球拍、羽毛球拍各购进了多少副？ （2）该体育用品店在“全民健身日”当天共售出乒乓球拍和羽毛球拍副．总销售额达到元、其中，乒乓球拍的销售额为元，已知每副乒乓球拍的售价是每副羽毛球拍售价的，求一副乒乓球拍和一副羽毛球拍的售价分别是多少元？ 【答案】（1）乒乓球拍购进了副，羽毛球拍购进了副 （2）一副乒乓球拍的售价为元，一副羽毛球拍的售价为 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、分式方程的应用， （1）设乒乓球拍购进了副，羽毛球拍购进了副，根据“体育用品店花费元，购入了乒乓球拍和羽毛球拍共计副，乒乓球拍的进价为元/副，羽毛球拍的进价为元/副”建立二元一次方程组，求解即可； （2）设每副羽毛球拍的售价为元，则每副乒乓球拍的售价为元，根据“共售出乒乓球拍和羽毛球拍副”建立分式方程，求解即可； 正确理解题意，找出相应的等量关系并列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乒乓球拍购进了副，羽毛球拍购进了副， 依题意，得：， 解得：， ∴乒乓球拍购进了副，羽毛球拍购进了副； 【小问2详解】 设每副羽毛球拍的售价为元，则每副乒乓球拍的售价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴一副乒乓球拍的售价为元，一副羽毛球拍的售价为元． 21. 如图，在四边形中，，连接和交于点，点为线段中点，．过点作线段的垂线，分别交和的延长线于点和点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若的面积为2，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，点为线段中点， ∴为斜边的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相平分， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形，用锐角三角函数解直角三角形． （1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到、互相平分，推出四边形为平行四边形，再加上一个角是直角，得出四边形为矩形； （2）根据设，，推出，利用三角形面积求出，过O作，，再由锐角三角函数和矩形的性质得出、，利用的面积为2建立方程求出，最后求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵过点作线段的垂线，分别交和的延长线于点和点，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点O作，，如图所示， ∴，， 又∵O为、中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， 同理为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴. 22. 如图，在平行四边形中，的角平分线交线段于点，已知，，，动点以每秒个单位长度的速度沿运动，到达点时停止．以点为顶点向下方作，交射线于点．设点的运动时间为秒，点与点的距离为，线段的长度与点的路程之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）函数，的图象如图所示， 从图象上看关于直线对称（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作，过点D作，过点P作，先求出、、，再求出，然后利用即可求出，由即可求出；点P到达点时停止，即可求出x的取值范围； （2）通过描点画出函数图象，并观察图象，找到的特点即可； （3）即的图象在图象的下方，从图象上找到两个函数图象的交点的横坐标的近似值即可. 【小问1详解】 解：过点E作，过点D作，过点P作，如图所示， ∵平分，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵动点以每秒个单位长度的速度沿运动，点的运动时间为秒， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∵点P到达点时停止， ∴x的最大值为， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：列表 0 1 2 3 5 6 6 3 2 1 描点、连线，函数图象：略； 【小问3详解】 解：∵即的图象在图象的下方， 从图象上看两个函数图象的交点的横坐标大约是1.2， ∴当时，． 23. 国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， （1）求入口与景点之间的距离；（结果精确到） （2）若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】（1） （2）小蓝先到 【解析】 【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． （3）将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上且对称轴为直线建立方程组，求解即可； （2）根据抛物线确定，，得，， ，，，如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接，推出，四边形是平行四边形，，，，证明得，求出，设，确定直线的解析式为，得，继而得到，，则当时，取得最大值， 此时，进一步确定，，求出，然后由可得答案； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点，先确定，再由平移规律确定新抛物线的解析式，求出，得，证明得，求得，，确定直线的解析式为，由联立可求得点的坐标；再确定直线的解析式为，求得，根据垂直平分线的性质及对称的性质可得，继而得到直线的解析式为，再联立可得点的另一个坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接， ∴，四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最大值， 此时， ∵抛物线的对称轴为直线，点为该抛物线的顶点， 当时，， ∴， ∵，即，点在点的左侧， ∴点在点的左侧， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得：或， 经检验，或都是原方程的解但不符合题意，故舍去， ∴， ∴， ∵轴，，直线的解析式为， ∴轴，，点的横坐标为，此时对应的， ∴， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 当点、、共线时取“”号，此时取得最小值， 即当线段最大时，的最小值为； 【小问3详解】 如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点， ∴，， ∵，，点是线段的靠近点的三等分点，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点为新抛物线与直线的另一交点， 又∵点和点都在上， ∴抛物线向下平移个单位再右平移个单位得到新抛物线，即， 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵，，，， ∴垂直平分， ∴点与点关于点对称，， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，对称的性质，函数图象平移的规律，函数图象的交点坐标，两点之间线段最短等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质及图形的变换是解题的关键． 25. 在中，，，点D是直线上一点，以为底边向右作等腰直角三角形，连接并延长，交于点F，过点C作于点H，连接． （1）若点在线段上，且， ①如图1，当于点时，求； ②如图2，求证：； （2）如图3，若，连接，点是直线上一点，连接、，当线段长度最小时，将沿直线翻折至其所在平面内得到，连接、，当线段长度最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①， ②证明：如图，作交于，交于，连接，记与的交点为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴在与的夹角为的直线上运动，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，，，结合，可得，是的垂直平分线，可得，进一步求解即可． ②如图，作交于，交于，连接，记与的交点为，证明，在与的夹角为的直线上运动，，可得，证明，可得，证明，可得，为等腰直角三角形，进一步可得结论． （2）如图，过作于，过作于，则，由（1）得：在与的夹角为的直线上运动，，当时，最小，，由对折可得：，，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线，且在线段上时，最大，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：①如图， ∵，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：如图，过作于，过作于，则， 由（1）得：在与的夹角为的直线上运动，， ∴当时，最小，， 此时为等腰直角三角形，在上， 而， ∴重合， ∵，，， ∴，， ∴，， 由对折可得：，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线，且在线段上时，最大， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，点与圆上各点距离的最值的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑、 1. 下列手机软件图标中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，O为位似中心，位似比为．若，则DE的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 4. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 圆周角等于圆心角的一半 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点 6. 观察下列一组图案，每个图案都是若干个圆点组成，其中图①中共有7个圆点，图②中共有13个圆点，图③中共有21个圆点，图④中共有31个圆点，按此规律，图形⑧中的圆点个数是（ ） A. 133 B. 111 C. 91 D. 73 7. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，弦与直径相交于点，点为的中点，连接，点在上，且，连接，交于点．若，则的角度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，、分别为边、延长线上两点，连接、，，交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，…，为自然数，，为正整数，且．下列说法： ①若，则； ②若，，…，互不相等，且与次数相同，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，满足恒大于0的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 重庆东站于年月日投用运营．其总建筑面积约平方米，将数据“”用科学记数法表示为_____． 12. 如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则_____． 13. 重庆动物园的大熊猫“渝可”、“渝爱”深受市民喜爱．某纪念品商店售卖的“渝可”大熊猫玩偶原本标价为每个元，因市场波动，经过两次降价后标价变为每个元．则“渝可”大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为_____． 14. 若，则的值为_____． 15. 如图，的直径垂直于弦，垂足为点，点是的中点，在延长线上取点，连接，，，使得，若，．则的半径为_____，_____． 16. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差等于百位数字与个位数字的差，且该差值为2，则称此数为“差等数”．例如：四位数3614，因为，所以3614是“差等数”．按照这个规定，最大的“差等数”是_____；已知“差等数”，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记，．若能被7整除，是完全平方数，则满足条件的“差等数”中，最大值与最小值的差为_____． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18小题每小题8分，19~25小题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 年月日，我国迎来第个“全民健身日”、为积极响应全民健身的号召．某体育用品店花费元，购入了乒乓球拍和羽毛球拍共计副、据悉，乒乓球拍的进价为元/副，羽毛球拍的进价为元/副． （1）求乒乓球拍、羽毛球拍各购进了多少副？ （2）该体育用品店在“全民健身日”当天共售出乒乓球拍和羽毛球拍副．总销售额达到元、其中，乒乓球拍的销售额为元，已知每副乒乓球拍的售价是每副羽毛球拍售价的，求一副乒乓球拍和一副羽毛球拍的售价分别是多少元？ 21. 如图，在四边形中，，连接和交于点，点为线段中点，．过点作线段的垂线，分别交和的延长线于点和点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若的面积为2，，求的面积． 22. 如图，在平行四边形中，的角平分线交线段于点，已知，，，动点以每秒个单位长度的速度沿运动，到达点时停止．以点为顶点向下方作，交射线于点．设点的运动时间为秒，点与点的距离为，线段的长度与点的路程之比为． （1）请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， （1）求入口与景点之间的距离；（结果精确到） （2）若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． （3）将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 25. 在中，，，点D是直线上一点，以为底边向右作等腰直角三角形，连接并延长，交于点F，过点C作于点H，连接． （1）若点在线段上，且， ①如图1，当于点时，求； ②如图2，求证：； （2）如图3，若，连接，点是直线上一点，连接、，当线段长度最小时，将沿直线翻折至其所在平面内得到，连接、，当线段长度最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $