精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

四川省荣县中学校2025-2026学年高二上10月月考数学试题 一、单选题 1. 已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在开学质检考试后，某小组长对本组6名同学的数学各题得分进行统计，其中6名同学在最后一道解答题的得分按从低到高的顺序排列为：6，7，8，，12，15，已知该组数据的中位数等于这组数据的极差，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3. 甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为 A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 若一组数据的平均数为5，方差为2，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 7，-1 B. 7，1 C. 7，2 D. 7，8 6. 已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 平面ABC的一个法向量是 B. 的一个单位向量的坐标是 C. D. 与是共线向量 7. 如图，在三棱锥中，点为底面重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ） A. 点关于原点O的对称点的坐标为 B. 点关于x轴的对称点的坐标为 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 两点间的距离为3 10. 某中学学生会对本校高二年级1000名学生睡觉时间情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 一星期内23：00后睡觉天数 0 1 2 3 4 5 6 7 23：00后睡觉人数占调查人数的百分比 4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 从表中可以得出正确结论为（ ） A. 表中m的数值为14 B. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的约有160人 C. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的众数为5 D. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的第80百分位数为6 11. 如图，在长方体中，，点E为中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点F，使得 B. 满足的点F的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若平面，则线段长度的最小值为 三、填空题 12. 已知甲、乙两球落人盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______． 13. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______． 14. 在空间直角坐标系中，有点，，，平面过点A、B、C，点P是平面外一点，其坐标为，点Q是点P在平面上的投影.过点P作一条直线l，使得l与平面所成的角为60°，且直线l交平面于点R.已知，则d的值为______． 四、解答题 15. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设. （1）用表示，并求； （2）求． 16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，F是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 19. 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省荣县中学校2025-2026学年高二上10月月考数学试题 一、单选题 1. 已知直线的方向向量分别为，若，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：B 2. 在开学质检考试后，某小组长对本组6名同学的数学各题得分进行统计，其中6名同学在最后一道解答题的得分按从低到高的顺序排列为：6，7，8，，12，15，已知该组数据的中位数等于这组数据的极差，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求出这组数据的中位数和极差，列式运算得解. 【详解】由题，该组数据的中位数为，极差为， 所以，得. 故选：B. 3. 甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，两球不同颜色包含的基本事件个数，由此能求出两球不同颜色的概率． 【详解】甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球， 其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球， 现从两袋中各随机取一球，基本事件总数， 两球不同颜色包含的基本事件个数， 则两球不同颜色的概率为． 故选． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 4. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可. 【详解】由题意得，故. 故选：D. 5. 若一组数据的平均数为5，方差为2，则，的平均数和方差分别为（ ） A. 7，-1 B. 7，1 C. 7，2 D. 7，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果. 【详解】令 , ， （也可） 故选：D 【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题. 6. 已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 平面ABC的一个法向量是 B. 的一个单位向量的坐标是 C. D. 与是共线向量 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】因为，，，故可得， 因为，故，不平行，则D错误； 对A：不妨记向量为，则， 又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确； 对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误； 对C：因为，故可得，故C错误； 故选：A. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 8. 如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（ ） A. 异面直线与直线所成的角的大小 B. 平面与平面所成的角的大小 C. 直线到平面距离的大小 D. 异面直线，之间的距离的大小 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量把异面直线与直线所成的角，平面与平面所成的角，直线到平面距离，异面直线，之间的距离均求出来，看是否随着M，N的运动而变化 【详解】以点D为原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方形边长为1，则，，，，，，，因为M，N分别是线段上的动点（不含端点），故设，，所以， 会随着M，N的运动而变化，故A选项正确； 设平面的法向量为，则 ，解得： 设平面的法向量为，则，解得： 所以，故平面与平面所成的角的大小为，不随着M，N的运动而变化； 设平面的法向量为，则，解得：， 则，即与平面平行，故直线到平面距离不变，不随着M，N的运动而变化. 设异面直线，的公共法向量为，则，解得：，设异面直线，之间的距离为，夹角为，则，所以异面直线，之间的距离的不随着M，N的运动而变化. 故选：A 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ） A. 点关于原点O的对称点的坐标为 B. 点关于x轴的对称点的坐标为 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 两点间的距离为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的对称关系判断A，B，C；利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】点关于原点O的对称点的坐标为，A正确； 点关于x轴的对称点的坐标为，B错误； 点关于平面对称的点的坐标是，C正确； 两点间的距离为，D正确. 故选：ACD 10. 某中学学生会对本校高二年级1000名学生睡觉时间情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 一星期内23：00后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7 23：00后睡觉人数占调查人数的百分比 4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 表中m的数值为14 B. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的约有160人 C. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的众数为5 D. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的第80百分位数为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用频率加起来为1，求解即可，选项B：利用抽样估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的人数即可.选项C：根据表格的可以看出5天的所占比例最高为24%，进行判断即可，选项D：利用百分位数的求法求解即可. 【详解】选项A：，故选项A正确. 选项B：一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的比例有：，故学校人数为：故选项B错误, 选项C：根据表格的可以看出5天的所占比例最高，为24%，故估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的众数为5， 选项D： 一星期内23：00后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7 23：00后睡觉人数占调查人数的百分比 4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 23：00后睡觉人数占调查人数的人数 2 2 4 12 10 12 18 5 则又表格可知，第40个人和第41个人均在6天那里，故估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的第80百分位数为6. 故选：ACD. 11. 如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点F，使得 B. 满足的点F的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若平面，则线段长度的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设F点坐标，利用空间向量法判断直线的位置关系可判断A；根据，推出F点的坐标满足的关系，可求得F的轨迹长度，判断C；利用点的对称点，结合空间两点的距离公式可判断C；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量证法求出，结合空间两点间距离公式以及二次函数性质，可判断D. 【详解】以A为原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于选项A，若，则， 又，所以， 即，此方程无解，所以不存在点F，使得，故A错误； 对于选项B，由，得， 化简可得，即F点轨迹为矩形内的线段， 又，所以当时，得， 当时，得，即满足的点F的轨迹长度为，故B正确； 对于选项C，设点C关于平面的对称点为G，则G的坐标为， 则，共线时取等号，故C错误； 对于选项D，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为平面，所以，即， 又点，所以， 当时，取得最小值，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线线和线面位置关系，对于D选项还需结合二次函数性质从而得到其最值. 三、填空题 12. 已知甲、乙两球落人盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】 求出甲、乙两球都没有落入盒子的概率，利用对立事件的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意可知，甲、乙两球都没有落入盒子的概率为， 由对立事件的概率公式可知，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 故答案为：. 13. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得∥，从而可得，代入坐标列方程可求出，从而可求出 【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量， ， 所以∥， 所以存在唯一实数，使， 所以，所以， 解得， 所以， 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，有点，，，平面过点A、B、C，点P是平面外一点，其坐标为，点Q是点P在平面上的投影.过点P作一条直线l，使得l与平面所成的角为60°，且直线l交平面于点R.已知，则d的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到面的距离，再由列式求解. 【详解】由题可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， ， 又，且， ，即. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设. （1）用表示，并求； （2）求． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【小问1详解】 解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . 【小问2详解】 解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 【答案】（1）0.006；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求； （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为； （3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 【详解】（1）因为， 所以 （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 （3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)， 即为； 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即， 故所求的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，F是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面，可得，再由，可证明，由线面垂直的判定定理，可证明； （2）建立空间直角坐标系，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 证明：∵平面，平面， ∴， ∵，， 则， 则， 又，平面 ∴平面； 【小问2详解】 ∵平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系， ∵，，，则， ∵为的中点，则， 则、、、、， ，，，， 设平面法向量为， 设平面的法向量为， 由，得，取，则，可得， 由，得，取，则，可得， 因为，结合图像二面角为锐角， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 18. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek－V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训． （1）已知该公司A，B两部门分别有3位领导，此次培训需要从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从这6位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有： ， 共30种， 这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共18种， 所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为. 【小问2详解】 记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 19. 已知四棱锥底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直性质定理得平面，再根据线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）方法一：作出二面角的平面角，再利用余弦定理求出或，再分别讨论即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点，再分别讨论即可； （3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出，再利用空间向量法写出面面角余弦的表达式，最后利用换元法和基本不等式即可求出最值； 方法二：首先同法一求出，再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理和不等式性质即可求出最值. 【小问1详解】 连接交于点，连接，在平面内过作，垂足为， 因为，所以垂足不与点重合，如图： 又因为平面平面，平面平面平面，则平面， 又因为平面，所以． 在正方形中，．平面平面， 则平面，又因为平面，所以． 【小问2详解】 方法一：在平面内，过作，垂足为，连接， 由（1）得，平面，因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以易知是二面角的平面角，， 在边长为1的正方形中，， 所以， 在Rt中，， 中，， ，解得或， （i）当，又因为，在中，满足，则． 又因为平面，所以平面． 因为平面，则，所以， 又因为平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等， 过作，垂足为．又因为易证平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 在Rt中，，所以到平面的距离为． 设与平面所成角为，则， 又因为，则． （ii）当，在中，得：， 如图，在中，， Rt中，， 因为， 设到平面的距离为，所以， 得：，解得，所以到平面的距离为， 设与平面所成角为，又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 方法二：以为轴，以为轴，过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则， 设，则．因为， 所以①． 因为，所以②． 因为平面，所以平面法向量， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为二面角为，所以③． 由①②③解得，或，即或． （i）当时， 设平面法向量则即 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为， ．又因为，所以． （ii）当时，． 设平面法向量， 则，即， 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为．又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 【小问3详解】 法一：因为面，所以面． 所以．以为正交基建立空间直角坐标系． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，且平面平面，所以， 设，， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为平面，所以平面法向量． 因为二面角为，所以， 即，解得，即． 设，设平面法向量， ，则，不妨取，则．所以． ，设平面法向量， ，则不妨取，则，所以. 则， 设 ， ．当且仅当时，，即最小值为． 法二：求出的过程同法一， 将补成正方体，平面平面，所以即为． 又因为，过作，垂足为，因为平面， 所以为二面角的平面角． 在中，④，⑤， 由④⑤得：， 则，得． 则，解得， 当且仅当时，，此时，即最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $