精品解析：河南省新乡市原阳县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

河南省新乡市原阳县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 测试范围：21.1-22.3 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的概念是关键．被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 方程和方程都不是整式方程，都不是一元二次方程，故选项C、D不符合题意； 符合题意一元二次方程的定义，是一元二次方程，故选项A符合题意； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法、减法、除法、乘法等知识．根据运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A． 和不是同类二根式，不能进行合并，故选项错误，不符合题意； B． ，故选项错误，不符合题意； C． ，故选项错误，不符合题意； D． ，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式展开、移项化成的形式即可． 【详解】解：由得：， 即：， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程一般形式、平方差公式，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键． 5. 若是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程列出关于a的方程，通过解方程来求a的值． 详解】解：把代入方程得， 解得：， 故选：A． 6. 若，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选C． 7. 将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法步骤解题即可． 【详解】解： 移项得， 配方得， 即， ∴a=-4，b=21． 故选：A 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 8. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解增长率的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，则2023年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年国产新能源汽车出口量为，即达到了210万辆，由此列式即可． 【详解】解：设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆， ∴， 故选：B ． 9. 三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 10. 已知，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则能取的最小整数值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取得最小整数为1． 故答案为：1 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 13. 已知m是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 14. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，首先把进行化简，然后根据是整数确定的最小值． 【详解】解：，且是整数， 是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整数平方的数） 的最小值是6． 故答案为6． 15. 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，其面积S的整数部分为m，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 将各值代入计算求解即可． 【详解】由题意知，， ∴， ∴m的值为． 三、解答题(共8题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化最简二次根式，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，乘法公式的变形计算，掌握其运算法则是关键． （1）根据二次根式的混合运算，运用乘法公式得到，结合完全平方公式的变形计算即可求解； （2）根据分式的混合运算原式变形得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， 代入得，． 19. 已知，是关于的方程的两个不等实数根． （1）求实数的取值范围： （2）已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 20. 某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）1056元 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算解决实际问题，读懂题意，熟记矩形周长及面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由矩形性质直接求周长即可得到答案； （2）由矩形面积公式求出铺设地砖的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：矩形的绿地，绿地的长为，宽为， 矩形的周长是； 【小问2详解】 解：由题意得购买地砖需要花费为（元）, 答：购买地砖需要花费1056元． 21. 某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）通道的宽是2米 （2）40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【小问1详解】 解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 22. 小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1）， （2）4 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 23. 如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： （1）若点P在边上，当何值时，为直角三角形？ （2）是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； 【小问2详解】 解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省新乡市原阳县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 测试范围：21.1-22.3 注意事项： 1.本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3.答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 把一元二次方程化成一般形式得（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的方程的一个解，则的值为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 若，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8 7. 将一元二次方程化成（a，b为常数）形式，则a，b的值分别是（ ） A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69 8. 随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 已知，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则能取的最小整数值是________． 12. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 13. 已知m是方程的一个根，则______． 14. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________． 15. 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，其面积S的整数部分为m，则m的值为___________． 三、解答题(共8题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 已知，是关于的方程的两个不等实数根． （1）求实数的取值范围： （2）已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 20. 某居民小区有一块形状为矩形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？ （2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为8元的地砖，要铺完整个通道，求购买地砖需要花费多少元？ 21. 某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 22. 小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 23. 如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： （1）若点P在边上，当何值时，为直角三角形？ （2）是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $