精品解析：河北省石家庄市第十一中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期初二年级月调研 数学试卷 一、单选题（共12题，每题3分，共36分） 1. 在式子中，分式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简的结果是（　　） A. a B. a+1 C. a﹣1 D. a2﹣1 5. 将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 保持不变 B. 缩小到原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 无法确定 6. 如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A. B. C. 或 D. 7. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C. 相等的两个角是对顶角 D. 如果，那么 8. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 7 B. 3.5 C. 3 D. 2 9. 如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 12. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每题4分，共16分） 13. 分式与的最简公分母是__________． 14. 关于x的分式方程有增根，则m的值为__________． 15. 如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 _____． 16. 定义新运算“”：，如果，那么的值为____． 三、解答题（共5小题，共48分） 17. 解分式方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知点在同一直线上，．求证： （1）； （2）． 20. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 21. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初二年级月调研 数学试卷 一、单选题（共12题，每题3分，共36分） 1. 在式子中，分式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式 【详解】分母中不含有字母,因比它是整式，而不是分式 分母中含有字母,因此是分式 故选:C 【点睛】此题考查分式的定义，解题关键在于知道判别分式的依据 2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行解答即可．熟练掌握分式有意义的条件，是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 3. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】A、，成立，故A符合题意； B、当时，原式不成立，故B不符合题意； C、，时，，，则，故C不符合题意； D、，时，，，则，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型． 4. 化简的结果是（　　） A. a B. a+1 C. a﹣1 D. a2﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】先把原式转化成同分母的分式，然后相加，运用平方差公式把分子因式分解，然后分子分母同时除以公因式（a-1）即可. 【详解】解：原式= ， 故本题答案为：B. 【点睛】分式的化简是本题的考点，运用平方差公式把分子进行因式分解找到分子分母的公因式是解题的关键. 5. 将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 保持不变 B. 缩小到原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把x，y的值同时扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可． 【详解】解：由题意得， 分式的值扩大为原来的2倍 故选：C． 【点睛】本题考查分式的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6. 如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 7. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C. 相等的两个角是对顶角 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，真假命题．熟练掌握构造原命题的逆命题，判断命题真假，是解题的关键． 把每个命题的题设与结论对换，构造其逆命题，运用平行线判定，绝对值性质，对顶角性质，数的平方性质，逐一判断即得． 【详解】解：A. 两直线平行，内错角相等，逆命题是；内错角相等，两直线平行，成立； B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等，逆命题是；若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等，成立； C. 相等的两个角是对顶角，逆命题是；两个角是对顶角，这两个角相等，成立； D. 如果，那么，逆命题是；如果，那么，不成立． 故选：D． 8. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 7 B. 3.5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC≌△DAE， ∴AC=DE=5，AE=BC=2， ∴CE=AC-AE=3， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． 9. 如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法： 、、、． 【详解】解：．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．，，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．由可得出，再结合，，可利用证明，故该选项不符合题意； ．用，，，无法证明．故该选项符合题意； 故选：D． 10. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 由题意得：且， 解得：且， 故选C． 【点睛】此题考查了分式方程的解，解题关键是熟练解分式方程，要注意在任何时候都要考虑分母不为0． 11. 已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 12. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 二、填空题（共4小题，每题4分，共16分） 13. 分式与的最简公分母是__________． 【答案】2a2b2 【解析】 【详解】与的分母分别是2a2b、ab2，故最简公分母是2a2b2， 故答案为 2a2b2. 【点睛】本题考查了最简公分母的确定，确定最简公分母的关键是：各分母所含的所有因式的最高次幂的积即为最简公分母. 14. 关于x的分式方程有增根，则m的值为__________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：去分母得：7x+5(x-1)=2m-1， 因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1， 把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1， 解得：m=4， 故答案为：4. 15. 如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据O是的中点，得到，，再证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵O是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 定义新运算“”：，如果，那么的值为____． 【答案】1或3 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 三、解答题（共5小题，共48分） 17. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键 （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解 （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 则分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母，得 去括号，得 解得 经检验，是原方程的增根 所以，原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，已知点在同一直线上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ． （2） 证明：∵， ， ， 即． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：． （1）首先根据平行线的性质可得，再加上可利用证明， （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 21. 定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有___________（只填序号）； （2）若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； 【答案】（1）②③ （2） 证明：∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组”． 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得，把代入计算出结果即可． 【小问1详解】 解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $