精品解析：陕西省咸阳市乾县第二中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测（10月）数学试题

乾县第二中学2025-2026学年高二第二次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为命题“”为全称量词命题， 所以其否定为：. 故选：B. 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 3. 已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（ ） A. 1 B. -2 C. -1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义列方程求解. 【详解】函数为R上的偶函数，得，， 则，， 即，而不恒为0， 于是，而，所以. 故选：C 4. 在正方体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 6. 已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在圆的外部，然后设所求圆的半径为r，再由求解. 【详解】因为， 所以点在圆的外部， 设以为圆心的圆的半径为：r， 则， 解得， 所以所求圆的方程为：. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底法求解即可. 【详解】由于平面平面，平面平面，平面，，则平面， 由于平面，则， 由于四边形为菱形，，则为正三角形， 设，则， 由于， 则 ， 所以， 则直线所成角的余弦值为， 故选：D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为， D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【详解】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的共轭复数以及复数的模以及几何意义以及韦达定理一一判断各选项，即得答案. 【详解】， 所以，故A正确； ，故B错误； z在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 若z是方程的一个复数根，则有，， 但，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与轴垂直 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线与直线AB平行 D. 当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，故异面直线与夹角为， 故A错误； 对于B，由正方体的性质可知，，面， 平面，又因为面 ，同理可得平面，又因为面 ， 又因为面, 平面，故B正确； 对于C，因为面,面，所以面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，， 则， 所以， 由正方体的性质知：平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值，若时取得为，所以，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用点斜式写出的垂直平分线，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得标准方程. 【详解】由原点与的中点坐标为，且，则垂直于的直线斜率为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，可得，则圆心，半径为， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为： 13. 已知奇函数满足，当时，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可求出函数的周期，进而求出参数a的值，结合函数奇偶性以及周期性，即可求得答案. 【详解】因为函数满足，故， 即是以4为周期的函数； 由奇函数的自变量x可取0，则， 结合当时，，得， 故，则，故当时，， 则 ， 故答案为：1 14. 如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面定理，得出关系. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式求得. （2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案. 【小问1详解】 ， 解得． 【小问2详解】 . 16. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． （1）求证：底面； （2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，，， 所以. 在中，，，， 由余弦定理有：， 所以，，所以，所以， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在中：，，，则，所以，， 因为，、平面，所以面. （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）首先证明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再结合线面垂直的判定定理，即可证明面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有、、、、， 设，其中， 则，，， 设为面的法向量， 则有，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 由题意可得， 可得，因为，所以. 因此，存在点使得与平面所成角的正弦值为，且. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的最小正周期和的解析式； （2）若函数在区间上是减函数．求实数的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到，即可得的最小正周期，然后根据的图象过点及，得到，即得的解析式； （2）先根据正弦函数的单调性求得函数的一个单调递减区间为，再分析得到，最后解不等式组即可得到实数的取值范围． 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 由图象可得，，解得， 所以． 又由数的图象过点，所以， 即，所以， 解得， 因为，所以，所以． （2）令，解得， 所以函数在上是减函数． 因为，所以， 故，解得，可得， 所以实数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质、三角函数的最小正周期知识的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查考生的识图能力、运算求解能力． 18. 已知直线和点. （1）在直线上求一点，使的值最小； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. （3）已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）全称点关于直线的对称点，可知点即直线与直线交点； （2）直线与直线的位置关系有两种，讨论求方程； （3）由中线求出点坐标，由角平分线求出点A的对称点，由、求直线方程. 【小问1详解】 设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，直线MM'与直线垂直，且MM'的中点在直线上， 直线的斜率为，因为两直线垂直斜率之积为，所以①， 又因为MM'的中点在直线上，所以②， 联立①②，解得，，所以， 连接M'N，与直线的交点即为所求的点，此时，根据两点之间线段最短，的值最小， 已知，，根据两点式可得直线M'N的方程为，即， 联立直线M'N与直线的方程，解得，， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线.因为直线斜率为3，故方程为，即. ②直线过中点.中点为，又直线经过点，所以直线方程为. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 设（因在角平分线上），则中点. 中线过，代入得， 解得，故. 设关于的对称点则，解得， 所以，由角平分线性质知在上. 因为，所以直线方程为， 整理得. 19. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）（i）设平面的法向量为，， 则 解得 令，得. 因为， 所以. 又平面， 所以平面. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）证明与平面的法向量垂直；（ii）由线面角的空间向量求法求解； （2）设，由两个平面夹角的空间向量求法求出. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，. （1），由， 可得， . （i）略 （ii）， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ，设， 则， 设平面的法向量为， 则 取，则， 则 化简得：， 解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乾县第二中学2025-2026学年高二第二次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 3. 已知函数为R上的偶函数，则实数a等于（ ） A. 1 B. -2 C. -1 D. 2 4. 在正方体中，与向量相等的向量有（ ） A. B. C. D. 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为， D. 若，且，则 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第一象限 D. z是方程的一个复数根 10. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与轴垂直 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线与直线AB平行 D. 当时，直线与直线AB垂直 11. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆C经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆C的标准方程为______． 13. 已知奇函数满足，当时，，则______． 14. 如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 在四棱锥中，已知，，，，，，是线段上的点． （1）求证：底面； （2）是否存在点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的最小正周期和的解析式； （2）若函数在区间上是减函数．求实数的取值范围． 18. 已知直线和点. （1）在直线上求一点，使的值最小； （2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程. （3）已知的顶点，直线为边中线所在的直线方程，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程； 19. 如图，四棱锥中，平面平面是中点，是上一点. （1）当时， （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $