精品解析：广东省佛山市华英学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

佛山市华英学校2025-2026学年第一阶段学习反馈 九年级数学 说明： 1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：A. 整理后没有二次项，不是一元二次方程； B. 不是整式方程，不是一元二次方程； C. ，有两个未知数，不是一元二次方程； D. 是一元二次方程； 故选：D． 2. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原说法错误，符合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，不符合题意； C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确，不符合题意； D. 有一个内角是直角的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：A． 3. 已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为． 故选：A． 4. 已知，（，）那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是：熟练掌握比例的基本性质．利用比例的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，（，） ∴，，， ∴，， ∴选项A、C、D成立，但不符合题意，选项B不成立，符合题意， 故选：B． 5. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解． 【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75， 当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似比等于位似比可得四边形的周长四边形的周长，据此解答即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为， 故选：． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程； 乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为； 丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（ ） A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丙 D. 乙、丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的应用，解方程，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，解方程，熟练掌握增长率，解方程是解题的关键． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x，则第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 根据题意，得， 故， 又， 故， 解得，即每天遗忘约30%， 故甲，丙正确，乙，丁错误． 故选：A． 8. 如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】△ABC是等腰三角形，顶角是30°，则底角是75°，看各个选项是否符合相似的条件． 【详解】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠A=30°， ∴∠C=75°=∠B， A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，两边成比例，但夹角不等，故选项A不相似； B、三角形各角的度数都是60°，两边对应成比例，但夹角不等，故选项B不相似， C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，三角对应相等，故选项C相似， D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，两边对应成比例，但夹角不等，故选项D不相似， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5， ∴AE=CE=5， ∵AD=2， ∴DE=3， ∵CD为AB边上的高， ∴在Rt△CDE中，CD=， 故选：C． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=5． 10. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 把方程化成的形式为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查配方法，先移项，二次项系数化，两边同时加上将方程配成完全平方式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，利用相似三角形的性质解答即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设到小孔O的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故到小孔O的距离为， 故答案为：3． 13. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连．用钉子钉成四边形，若，．则B，D两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，相交于点，根据菱形的判定和性质得到，，，利用30度所对直角边等于斜边一半得到，再利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：连接，，，相交于点， 由题知四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，以及等腰三角形性质，勾股定理，30度所对直角边等于斜边一半，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 14. 土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为___________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，通过已知的杆长和第一时刻的影长计算第二时刻的影长. 【详解】解：，， ， ． 根据题意，得尺，尺， 解得， 第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 15. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，C，D是线段的两个黄金分割点， ∵正方形“黄金格”的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故答案为： 三、解答题（一）（本大题3小题，17题8分，18题6分，19题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 在中，D，E分别是边，上的点，，，，且，求的长. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可证明，再根据对应线段成比例即可求出DE. 【详解】解：∵， ， ∴. ∴. ∵， ∴. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质，解题的关键是熟知两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 18. 在6×6的网格图中（每个小正方形的边长为1），用无刻度直尺按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中以A为顶点作一个面积为13的正方形（顶点都在格点上）； （2）在图2中作出格点三角形的中位线，使点D在上，点E在上，则的长为___． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求作的正方形； （2） 如图，线段即为所求作的中位线； ． 【解析】 【分析】（1）确定格点，，，满足，且，从而可得结论； （2）取格点，，，连接，，分别交，于，，再利用中位线的性质可得答案． 【小问1详解】 理由：∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【小问2详解】 理由：由矩形的性质可得：，， ∴是的中位线． ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，正方形的判定，矩形的性质，三角形中位线的性质，熟练的利用矩形与正方形的判定进行作图是解本题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）20万元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 20. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求的长； （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长； （2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得：， 答：的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 21. 如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， （1）求证：； （2）求证：； （3）若，直接写出___________． 【答案】（1） 证明：∵是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2） 证明∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质证明即可； （2）先求出， 判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得， ， 从而得到，再求出是等腰直角三角形，求出， 然后利用“边角边”证明即可； （3）过点作于点，设， 则，根据等腰直角三角形的性质得到，然后表示和，再求出比值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，如图所示. ， ∴设， 则， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合与实践 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）猜想：以上两个同学的方案中，______（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；甲同学的方案中，拼成的正方形边长是______； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； （3）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 【答案】（1）甲；3 （2） （3） 如图2，其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 过点B作于H， ， ， 根据拼接要求，为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 解得， ， ， 由勾股定理得， 又， 设计的新方案，符合题意． 【解析】 【分析】（1）猜想甲拼成的正方形边长大，由直角三角形的最短边可得甲同学方案中，拼成的正方形边长； （2）根据拼成条件可得，四边形为矩形，证明，得，设，求出的三边长，证明，得，代入解方程即可； （3）过点B作于H，根据拼接条件可得，为等腰直角三角形，证明，推出，设，再证，推出，代入解方程求出的值，再用勾股定理求出的长即可； 【小问1详解】 以上两个同学的方案中，甲拼成的正方形边长大； 甲同学方案中，拼成的正方形边长为3 cm， 故答案为：甲；3 ； 【小问2详解】 如图1，由拼成条件可得，四边形为矩形， 设直角三角形为，则， 由勾股定理得， 四边形为矩形， ，即， ， ， 不妨设， 则， ∴， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ，即， ， 解得， ， ， 甲拼成的正方形边长大， 乙同学方案中拼成的正方形边长为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，矩形的性质等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 23. 在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． （1）如图1，如果，求证：； （2）如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： （3）如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 【答案】（1） 证明：∵过点作、的平行线交于点，交、于点、， ， ， ， ， ， 在平行四边形中，， ， 又， ， ，即， 又∵， ； （2）补图如下；值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，得出则可得出结论； （2）证明，设，那么，，得出，求出，则可得出答案； （3）由题意画出图形，证明平行四边形为菱形，设，，求出得出，证明.设，那么.求出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵如图，在平行四边形中， ∴平行四边形为长方形， ， ， 又，且， ， ∴此时有， 设，那么， ∴， ∵， ， ； 【小问3详解】 如图： ， ∴平行四边形为菱形， 设，， ， ， ∴， ， ， ， ， (负根已舍)， ， ， ， ， ， ∴设，则∠， ， ， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山市华英学校2025-2026学年第一阶段学习反馈 九年级数学 说明： 1、全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2、答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句中，不正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一个内角是直角的菱形是正方形 3. 已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，（，）那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程； 乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为； 丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（ ） A. 甲、丙 B. 甲、丁 C. 乙、丙 D. 乙、丁 8. 如图，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 10. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 11. 把方程化成的形式为___________； 12. 如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为______． 13. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连．用钉子钉成四边形，若，．则B，D两点间的距离为______． 14. 土圭之法是在平台中央竖立一根垂直于地面的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，在平台中央竖立一根尺长的杆子，利用土圭之法测量了两个时刻杆子的影长，发现第一时刻的太阳光线与杆子的夹角和第二时刻的太阳光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为___________尺． 15. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，17题8分，18题6分，19题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在中，D，E分别是边，上的点，，，，且，求的长. 18. 在6×6的网格图中（每个小正方形的边长为1），用无刻度直尺按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）在图1中以A为顶点作一个面积为13的正方形（顶点都在格点上）； （2）在图2中作出格点三角形的中位线，使点D在上，点E在上，则的长为___． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 20. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求的长； （2）求灯泡到地面的高度． 21. 如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， （1）求证：； （2）求证：； （3）若，直接写出___________． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 综合与实践 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）猜想：以上两个同学的方案中，______（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大；甲同学的方案中，拼成的正方形边长是______； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； （3）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 23. 在平行四边形中，对角线交于点是线段上一个动点（不与点、点重合），过点分别作的平行线，交于点，交于点，连接． （1）如图1，如果，求证：； （2）如图2，如果，，且与相似，请补全图形，并求的值： （3）如图3，如果，且射线过点．请补全图形，并求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $