精品解析：河南省商丘市夏邑县县城学校联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

河南省2025-2026学年第一学期学业评估试卷八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 如图，在中，边上的高为线段（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高．根据图示，线段所对的顶点C，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：在中，边上的高为线段， 故选：B． 2. 下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【详解】解：将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 如图，一个三角形被木板遮掩一部分，通过观察很快就可以画出一个与原三角形全等的三角形，判定这两个三角形全等的直接依据为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察图形的信息，这个三角形保留两个完整的角以及它们的夹边，进行作答即可． 【详解】解：观察图形的信息，这个三角形保留两个完整的角以及它们的夹边， ∴判定这两个三角形全等的直接依据为， 故选：D 4. 如图，一艘轮船从处出发按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，，轮船行驶到处时，此时轮船距离灯塔最近，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短、三角形的内角和定理，先根据垂线段最短可得，然后利用三角形的内角和定理即可求解的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵轮船行驶到处时，此时轮船距离灯塔最近， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 5. 如图，在单位长度为1的的正方形网格中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查网格中的全等三角形，证明，得到，进而得到，即可． 【详解】解：如图，由题意，可知， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6. 将一副标准的三角板如图放置，若，且交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先根据平行线的性质得到，则有，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，，，相交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先证明，，根据，结合三角形的内角和定理和对顶角相等可得，再利用平角定义即可解答． 【详解】解：令与的交点为E，如图 ∵，，， ∴，， ∴ 则 ∵， ∴， 解得 ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和光的反射规律，熟知三角形的内角和等于180度是解题的关键； 根据三角形的内角和定理可得，由光的反射规律可得：，进而可求，再利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：由题意知：， ∴， 由光的反射规律可得：， ∴， ∴， ∴； 故选：B. 9. 如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．过点C作轴于点D，过点C作轴于点E，根据题意得出，证明，推出，再根据，求出，进而求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 10. 如图，在中，是边的中点，、分别为，边上不与端点重合的两动点，构造，且为直角．若，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，证明，得出，证明垂直平分线段，得出，最后根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， 根据三角形的三边关系得， 即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是公园或社区内常见的健身器材，支架设计成三角形的几何原理是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键：如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比，具有不容易扭转或变形的特点． 根据三角形的稳定性即可得出答案． 【详解】解：支架设计成三角形的几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形的分类，根据一个直角三角形中有1个直角和2个锐角，一个钝角三角形中有1个钝角和2个锐角，一个锐角三角形中有3个锐角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这些三角形中有2个直角三角形和1个钝角三角形，这3个三角形中共有个锐角， 故锐角三角形的个数为（个）； 故答案为：3． 13. 如图，在和中，点在边上，交于点，若，，，，则的度数为_______． 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，平分于点P，，，则的度数为_______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义．熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 延长交于，先利用三角形的外角性质求得，再利用三角形的内角和定理，然后利用角平分线的定义即可得解． 【详解】解：延长交于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 15. 如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点F分别在延长线上或在之间时，再用t表示相关线段，根据全等三角形对应边相等列一元一次方程求解即可． 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：； ②当点F在之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置时． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 下面是一道未完成习题，请你将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，是的外角的平分线． 求证：． 证明：是的外角， __________________，（三角形外角的性质） ， _________，（填数量关系） 是的平分线， _________，（填数量关系） ， ．（__________相等，两直线平行） 【答案】，；，；同位角 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定，外角的性质，角平分线的定义求解即可． 【详解】证明：是的外角， ，（三角形外角的性质）， ， ，（填数量关系）， 是的平分线， ，（填数量关系）， ， ．（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，；，；同位角． 17. 如图，在中，点M、P分别是边的中点，． （1）请用圆规和无刻度直尺，过点作的平行线，交于点；（保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作平行线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用尺规作图作，即可； （2）连接，证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． （1）若是中线，，求与的周长差； （2）若是高，，求的度数． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的周长、角平分线的应用、三角形外角的性质： （1）直接写出两个三角形的周长进行作差即可； （2）根据角平分线求出，根据三角形的外角性质可得． 【小问1详解】 解：∵的周长的周长， ∴与的周长差为： ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴与的周长差为1； 【小问2详解】 解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 19. 已知三角形、全等，其中三角形的三边长分别为6、8、10，三角形的三边长分别为． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，代数式求值，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键． （1）根据全等三角形周长相等列式求解即可； （2）根据全等三角形对应边相等分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：两个三角形全等， 它们的周长相等， ， ； 【小问2详解】 解：①当与8、与10分别是对应边时， 则，， ，， ； ②当与10、与8分别是对应边时， 则，， ，， ， 综上的值为或． 20. 在四边形中，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在与中， ， ， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据线段的和差可得，再证明可得，再根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）由可得，再证明可得，再根据三角形内角和定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 在与中， ， ， ， ． 21. 【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4． 【小问3详解】 解：设， 由题意可得：，解得：． 22. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“豫式三角形”，与为“豫角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“豫式三角形”的是_____（填序号）． ①；②； （2）若为“豫式三角形”，，和是“豫角”，求的度数． （3）如图，在中，，若平分，试说明是“豫式三角形”． 【答案】（1）② （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，逐一判断即可； （2）根据新定义结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）根据角平分线的定义，结合三角形的外角的性质推出，即可得证． 【小问1详解】 解：； 故只有满足题意； 【小问2详解】 解：和是“豫角”， 和的差为， 又为钝角 只有符合条件 根据三角形内角和定理可知： ； 【小问3详解】 证明：是的外角， ， 即 又平分， ， ， 是“豫式三角形”． 23. 综合与实践 【模型引入】 实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图1，在筝形中，，． （1）判定与全等的直接依据是______；（用字母表示） 【操作应用】 如图2，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线． （2）请写出图2中与相等的角，并说明理由； 【实践拓展】 实践小组尝试使用“筝形功能器”检测相框是否水平．如图3，在仪器上的点处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴相框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断相框是水平的． （3）请说明上面检测方案的合理性（即说明）． 【答案】（1）；（2），说明理由见解析；（3）说明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质． （1）利用证明三角形全等即可； （2）利用证明即可； （3）根据（2）中的结论得出，利用证明得出，即可得出结论． 【详解】（1）在筝形中，，．，判定与全等的直接依据是 故答案为：； （2） 理由：在和中， ， ， ； （3）设，交于点， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是铅垂线， 是水平的， 即相框是水平的， 实践小组的判断对． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025-2026学年第一学期学业评估试卷八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 如图，在中，边上的高为线段（ ） A. B. C. D. 2. 下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个三角形被木板遮掩一部分，通过观察很快就可以画出一个与原三角形全等的三角形，判定这两个三角形全等的直接依据为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一艘轮船从处出发按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，，轮船行驶到处时，此时轮船距离灯塔最近，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在单位长度为1的的正方形网格中，等于（ ） A. B. C. D. 6. 将一副标准的三角板如图放置，若，且交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，相交于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射后，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一等腰放置在坐标系中，直角顶点坐标为，另两顶点A、B分别在轴正半轴和轴负半轴上，若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边的中点，、分别为，边上不与端点重合的两动点，构造，且为直角．若，则的值可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是公园或社区内常见的健身器材，支架设计成三角形的几何原理是_______． 12. 有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角、1个钝角、15个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数为_______个． 13. 如图，在和中，点在边上，交于点，若，，，，则的度数为_______． 14. 如图，中，平分于点P，，，则的度数为_______． 15. 如图，的高线与交于点，在直线上取点，使得．动点从点出发，以的速度从点向点运动，同时动点从点出发，沿射线以的速度运动，到达点时，P，Q两点都停止运动．已知，若两点移动过程中，存在与全等，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 下面是一道未完成习题，请你将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，是的外角的平分线． 求证：． 证明：是的外角， __________________，（三角形外角的性质） ， _________，（填数量关系） 是的平分线， _________，（填数量关系） ， ．（__________相等，两直线平行） 17. 如图，在中，点M、P分别是边的中点，． （1）请用圆规和无刻度直尺，过点作的平行线，交于点；（保留作图痕迹） （2）求证：． 18. 如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点． （1）若是中线，，求与的周长差； （2）若是高，，求的度数． 19. 已知三角形、全等，其中三角形的三边长分别为6、8、10，三角形的三边长分别为． （1）求的值； （2）求的值． 20. 在四边形中，于点，于点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为，，，求的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 22. 定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“豫式三角形”，与为“豫角”． （1）下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“豫式三角形”的是_____（填序号）． ①；②； （2）若为“豫式三角形”，，和是“豫角”，求的度数． （3）如图，在中，，若平分，试说明是“豫式三角形”． 23. 综合与实践 【模型引入】 实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图1，在筝形中，，． （1）判定与全等的直接依据是______；（用字母表示） 【操作应用】 如图2，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线． （2）请写出图2中与相等的角，并说明理由； 【实践拓展】 实践小组尝试使用“筝形功能器”检测相框是否水平．如图3，在仪器上的点处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴相框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断相框是水平的． （3）请说明上面检测方案的合理性（即说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $