精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题

太和中学高三上学期第一次教学质量检测 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及应用，三角函数（任意角和弧度制、三角函数的概念，同角三角函数的基本关系与诱导公式，三角恒等变换）80%+其他20%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若：，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“角终边落在第一或第四象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A B. 4 C. 5 D. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 ____________. 13. 若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为_______． 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合，. （1）若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围； （2）若函数的定义域为，且，求的取值范围. 17. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成的二面角的正弦值. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求的值，并求出的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高三上学期第一次教学质量检测 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及应用，三角函数（任意角和弧度制、三角函数的概念，同角三角函数的基本关系与诱导公式，三角恒等变换）80%+其他20%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，要注意量词的变化，要注意命题中结论的变化． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定． 故. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，，所以， 故选:A. 3. “”是“角的终边落在第一或第四象限”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 4. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 5. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故. 故选：A. 6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由， 解得，所以，解得， 所以. 故选：B. 7. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解. 【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求， 当时，开口向下，不满足题意， 所以， 令，得， 当时，不等式对任意的恒成立， 所以，即，且， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【详解】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象， 令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，则，根据正态分布的对称性得，结合选项即可判断. 【详解】设，则， 由服从正态分布得， 所以，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角公式即可求解CD. 【详解】对于A，是第一象限角，不一定是锐角，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，由于，，故，C正确； 对于D， ，故是奇函数，D正确， 故选：BCD 11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到子集即可. 【详解】因为对任意的，，时，恒成立， 设， 则 ， 所以函数在上单调递减， 又 ， 所以不等式成立等价于， 又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称， 当时，，解得； 当时，因为关于直线对称，即， 所以，解得， 综上不等式成立的条件为， 所以“不等式成立”的一个充分不必要条件为其子集，即或. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得，再结合基本不等式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数. 【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l， 则，即， 所以周长， 当且仅当时取等号， 所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解. 【详解】令，得， 即，令，， 所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点. ，令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且时，时， 所以的图象如图所示， 设是经过点的的图象的切线，切点为， 则切线斜率为， 所以方程为， 又经过点，所以， 即，解得或， 或， 所以由图可知，当或， 即或时，函数的图象与的图象有两个交点， 即函数恰有2个零点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． 【小问2详解】 由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 16. 已知集合，. （1）若，，且是必要不充分条件，求的取值范围； （2）若函数的定义域为，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可； （2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参. 【小问1详解】 由题意知， 解不等式，解得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以在上有解， 所以， 令，则， 所以，即的取值范围是. 17. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据平行的传递性得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是中点得，， 三棱柱中，由，， 由题意，分别是棱，上的点，，得， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面，， 所以，，两两垂直， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由，，， 知，，，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则，，即； 易知平面的一个法向量为， 设平面和平面所成二面角为， 则，所以， 即平面和平面所成的二面角的正弦值为. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. （1）求的值，并求出的解析式； （2）若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式； （2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 解得， 当时，可得，所以， 所以函数的解析式为 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 所以， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案； （2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可； （3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可. 【小问1详解】 ， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 ，，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； 小问3详解】 ， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $