精品解析：重庆市松树桥中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷

重庆市松树桥中学校高2027届高二上期第一次月考 数学试题 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项是满足要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 圆和圆的交点为A， B，则有（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 公共弦AB所在直线方程为 C. 线段AB中垂线方程为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 11. 已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的长轴长为2 C. 若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D. 的面积的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为______． 13. 已知圆与，则两圆位置关系是________. 14. 已知圆，是圆C上的两个动点，且，则线段AB的中点M的轨迹方程为________，设则的最大值为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.其中第15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 16. 已知圆过两点，，且圆心P在直线上． （1）求圆P的方程； （2）过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 17. 已知圆 圆 （1）若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； （2）设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 19. 在圆上任取一点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求的轨迹的方程； （2）设，延长交于另一点，过作的垂线交于点，判断与的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市松树桥中学校高2027届高二上期第一次月考 数学试题 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效. 考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，在y轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，求出斜率，利用斜截式直接写方程． 【详解】解析：直线的倾斜角为，则其斜率为，又在轴上的截距为，由直线的斜截式方程可得：. 故选：A. 2. 已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解． 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以半径的平方，解得，即的取值范围是． 故选：D． 3. 已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解． 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 4. 若直线与平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 5. 已知椭圆，直线经过点与交于两点.若是线段的中点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】设点、，则， 因为，两式作差得，即， 即，所以， 因此直线的方程为，即. 故选：D. 6. 已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 7. 直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明即为椭圆的上顶点,再根据面积列出的等式求离心率即可. 【详解】如图， 设圆与轴切于点，与切于点，设椭圆与轴正半轴交于点， 下面证明重合， 设， , ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，， 则，所以， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项是满足要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点关于直线的对称点为 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点的直线． 【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确； B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确； C．两点式使用的前提是，错误； D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误． 故选：AB． 10. 圆和圆的交点为A， B，则有（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 公共弦AB所在直线方程为 C. 线段AB中垂线方程为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出圆的标准方程即可判断A选项，根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作差得出公共弦所在直线方程，判断选项B； 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项C；利用点到直线的距离即可判断选项. 【详解】对于，由圆：可得， 所以圆的圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由圆：与圆的交点为A，B， 两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故B正确； 对于C，圆：的圆心为，， 则线段中垂线斜率为，即线段中垂线方程为：，整理可得，故C正确； 对于D，圆，圆心到的距离为，半径， 所以P到直线AB距离的最大值为，故D不正确； 故选：ABC 11. 已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C的长轴长为2 C. 若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D. 的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设求得的斜率，利用点在椭圆上得到，代入化简即得；D选项，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【详解】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A正确，B错误； C选项，∵ A,B 为的左、右顶点，∴, 设由题意得，则， 的斜率为 则，故C正确； D选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得，， 由，解得， 设，则， 则， ， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 13. 已知圆与，则两圆位置关系是________. 【答案】相交 【解析】 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】由题意得 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， ，，， ∵， ∴圆与圆两圆相交 故答案为：相交. 14. 已知圆，是圆C上的两个动点，且，则线段AB的中点M的轨迹方程为________，设则的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据垂径定理求出，得出其轨迹为圆，结合圆心半径写出标准方程即可； ②根据点到直线的距离公式，所求式子可以看作点M到直线距离的倍，利用圆心到直线的距离加半径即可求得最值. 【详解】由垂径定理可得，， 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其标准方程为； 设直线，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 由于C到的距离，则， ， 其最大值为. 故答案为：①；②. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.其中第15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边AB所在直线的方程； （2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据两点式即可求解直线方程， （2）根据斜率公式以及点斜式方程即可求解， （3）根据点到直线的距离公式，以及两点距离公式，即可由面积公式求解. 【小问1详解】 由两点式得边AB所在直线方程为，即． 【小问2详解】 因为，AC的中点， 所以AC边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 点C到边AB的距离为，， ． 16. 已知圆过两点，，且圆心P在直线上． （1）求圆P的方程； （2）过点的直线交圆于两点，当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程； （2）由弦长，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解. 【小问1详解】 依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为， 因为圆P过两点，， 所以，解得， 所以圆P的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线的距离为1， 此时满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 当时，圆心到直线的距离， 即有，解得， 此时直线的方程为，即为. 综上，直线的方程为或. 17. 已知圆 圆 （1）若圆C₁与圆C₂恰有三条公切线，求实数a的值； （2）设a = 2时，圆C₁与圆C₂相交于A、B两点，求|AB|. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切，由两圆外切可得实数的值. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【小问1详解】 因圆与圆恰有3条公切线，所以两圆外切， 又因为圆：，所以圆心，半径， 同理，圆：，圆心，半径， 所以圆心距， 由，得， 解得或. 【小问2详解】 当时，圆：，其圆心为,半径为， 圆：，其圆心为，半径为， 则两圆的圆心距，即两圆相交， 将两圆方程相减得，即两圆的公共弦所在直线方程， 所以圆心到直线的距离为：， 且半径，则. 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积． 【答案】（1） （2）周长为8，面积为 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程； （2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ， ， 椭圆 【小问2详解】 根据椭圆的定义，的周长为； 其中，直线的斜率为， 直线， 联立方程组得，显然， 设，则， ， 点到直线的距离， . 19. 在圆上任取一点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足． （1）求的轨迹的方程； （2）设，延长交于另一点，过作的垂线交于点，判断与的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）利用相关点法，设，由题意可得，代入圆即可得结果； （2）设，则，根据题意求点的纵坐标，进而可得结果. 【小问1详解】 设， 因为点满足，即点为线段的中点，可知， 且点在圆上，则，即， 所以的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，则， 则直线的斜率，可知直线的斜率， 即直线的方程为， 且直线的方程为， 联立方程，消去x解得， 且在椭圆上，则，即， 可得，即点的纵坐标为， 所以（定值）. . 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $