第十八章相似形单元练习2025--2026学年北京版（2024）数学九年级上册

第十八章 相似形 单元练习 一、单选题 1．已知四边形与四边形相似，且四边形与四边形的相似比为，若四边形的最短边为4，则四边形的最短边为（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 2．如图，分别延长的边CO、AO至点D、B，连接BD，若，，则BD的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．若，且，的周长为，则的周长为（  ） A． B． C． D． 4．下列各组线段中，长度成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 5．已知中，点、分别在边、上．下列条件中，不能推断与相似的是（   ） A． B． C． D． 6．已知两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形对应高的比为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 8．在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 9．网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是边的中点，按下列要求作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点和点在直线同侧；作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知线段a、b、c、d成比例，且，，，则线段d的长为 cm． 12．如图，在中，点D、E分别在、边上，连接，，，，则的长为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，在的边，上，横坐标分别是1，4，且满足，则点的坐标是 ． 14．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为 ． 15．在边长为1的正方形中，E，F分别为线段，上的动点，且，连接B，F，过E点作于点H，连接C，H，则的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，在中，平分交于点D，点E在边上，连接，交于点F，过点F作交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的值． 17．如图，在中， (1)在上求作一点D，连接，使得；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 (2)若，求的值． 18．如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 19．在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度； (2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点在一条直线上，，根据以上测量数据，求出树的高度． 20．如图，在中， ，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作交于点E． (1)求证：； (2)若是以为底的等腰三角形，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十八章 相似形 单元练习2025--2026学年北京版（2024）数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D C A D D B D 1．D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似图形的性质，对应边的长度之比等于相似比求解即可． 【详解】解：已知四边形与四边形的相似比为，即四边形的边长是四边形对应边长的，四边形的最短边为4，则四边形的最短边为． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 证明得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比． 【详解】解：，，的周长为， 的周长 ：的周长=， 的周长为， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了比例线段，解题关键是掌握比例线段并能运用求解． 根据成比例线段的意义，对四组数一一分析，将最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，再作出选择． 【详解】解：，故此组线段中，长度不成比例，故A不符合题意； ，故此组线段中，长度不成比例，故B不符合题意； ，故此组线段中，长度不成比例，故C不符合题意； ，故此组线段中，长度成比例，故D符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，根据相似三角形判定方法依次判断即可． 【详解】解：如下图，由题意得，， A、当时，；故本选项不符合题意； B、当时，；故本选项不符合题意； C、当时，不能推断与相似；故本选项符合题意； D、当时，；故本选项不符合题意； 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 根据相似三角形的对应高线的比等于相似比得出答案. 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形对应高的比是. 故选：A. 7．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． 8．D 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，如图，延长交于，过作于，设，，证明，，进一步利用相似三角形的性质与勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：如图，延长交于，过作于，设，，    ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质．先利用基本作图得到，则根据平行线的判定方法得到，再根据平行线的性质得到，然后证明，根据相似三角形的性质得到，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：由作法得，结论正确，故A选项不符合题意； ， ，结论正确，故B选项不符合题意； 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ，结论正确，故C选项不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，即不一定等于，故D选项符合题意． 故选：D ． 11． 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义列式即可求得的值． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．5 【分析】本题考查相似三角形的性质，先根据比例性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴，解得， 故答案为：5． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，推出得即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， 即点的坐标是； 故答案为： 14． 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 过点作，交点分别为，根据正方形的性质证明，得出四边形的面积等于正方形的面积，证明，根据相似比求出，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点作，交点分别为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积等于正方形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15． 【分析】先以A为坐标原点，建立直角坐标系，再分别求出、的解析式，由此求得的坐标，求出，由此可得出点在以为圆心，半径为1，圆心角为的扇形的圆弧，当在正方形的对角线上时，有最小值，并求出最小值即可． 【详解】解：如图，以A为坐标原点，建立直角坐标系，其中点B在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，连接，过H作轴于点J，过点E作于点I， 则，， 设，则， ， ， ∵四边形是边长为1的正方形， ，， ，，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 所以直线的解析式为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①②得， 又， ， ， ， 设，则， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ，解得：， ， ， ∵E，F分别为线段，上的动点，且， ∴点在以为圆心，半径为1，圆心角为的扇形的圆弧， 当在正方形的对角线上时，有最小值， ，， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标综合，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数解析式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，根据角平分线的定义得到，证明，，根据相似三角形的判定即可得结论； （2）由相似三角形的性质得到，利用平角定义可得，进而可证明，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，又， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用尺规作图作即可； （2）利用相似三角形的性质求出可得结论． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：∵， ， ， ， 18．(1)证明见解析 (2)的长为1或2． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解一元二次方程． （1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列式，结合即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴或， ∴的长为1或2． 19．(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高人的影子旗杆的高度旗杆的影子，即可得出答案； （2）过点作，垂足为，交于点，接着证明，利用求得答案即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，根据题意得， 解得， 答：旗杆的高度为12米． （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则 ∴四边形，四边形都是矩形， 则， ， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为8.8米． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理和性质的应用，熟练掌握其判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形有两组角对应相等的两三角形相似进行判定即可； （2）根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ． （2）解：是以为底的等腰三角形， ． 由（1）知 ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $