第2章 特殊三角形 单元测试卷 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

第2章《 特殊三角形》单元测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，为边上的高，，，则是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 4．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形中，若是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 8．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；； 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ． 12．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是 三角形． 13．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 14．如图，在中，，分别以、、为边向外作正方形，面积分别记为、、，若，，则 ． 15．如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 16．如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标； (2)求的面积． 18．（6分）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若C是的中点，，求的长． 19．（8分）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 20．（8分）如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪．经过测量得知：，，，，．    (1)判断∠D是不是直角，并说明理由； (2)求四边形需要铺的草坪的面积． 21．（10分）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 22．（10分）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 23．（12分）如图，已知在中，，的面积是12，于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发；以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． (1)直接写出线段__________； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 24．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ； (2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）． 参考答案 一．选择题 1．C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此解答即可． 【详解】解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意； B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意； C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意； D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，为边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵，为边上的高， ∴，，． 无法确定． 故A、C、D正确，B错误． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当为锐角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 如图，当为钝角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数是或． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和的距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C 6．C 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可． 【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意； B、， ， ，B选项正确，不符合题意； C、，C选项错误，符合题意； D、设点A到直线的距离为h， 则，即， ，D选项正确，不符合题意， 故选：C． 8．C 【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．B 【分析】分别以为圆心，以长为半径画圆，确定与轴交点的个数，此外作的垂直平分线，确定与轴交点的个数，即可求解． 【详解】解：分别以为圆心，以长为半径画圆，如下图： 此时与轴交点的个数为4， 作的垂直平分线，如上图： 此时与轴交点的个数为1， 故选：B 10．B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 利用证明，可得，，再结合等边三角形的性质即可判断正确； 由，可得，即，即可判断正确； 作的平分线交于点，可证得是等边三角形，得出，利用证明 ，即可判断结论正确； 由，可得．由得．则．可得出．即可判断结论错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ， ． ， ； 故正确． ， ，即． ， ． ； 故正确． 如图，作的平分线交于点， 则． ， ． ． 即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ； 故正确． ， ，，． ． 由得，． ． ． ． ． ． ． ． 故错误． 故正确的有，个， 故选：． 二．填空题 11． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 13． 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 14．2 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可求出的值. 【详解】∵在中，∠ABC=90°, ∴, ∴, ∵, =4, =6, ∴=6-4=2. 故答案为2. 15． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出． 【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点， ∵．， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 三．解答题 17．（1）解：如图所示，即为所求； ； ∴、、； （2）解：． 18．（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 19．（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 20．（1）解：是直角，理由如下： 连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， 是直角三角形，；    （2）， 四边形需要铺的草坪的面积为． 21．（1）证明：△与△都是等边三角形， ，，， ， 在△与△中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ∴； ∴， 作， ∵，， ∴， ∴平分， ， （3）解：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ， ， 在△与△中， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ． 22．（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； ∵， ∴， 连接， ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，如图，点与点重合， ∴； 当时，如图， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 当时，点A与P重合， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 23．（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧时，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧时，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：当时，点与点重合， ∴ 当时， ①当在点的左侧时， ∴ ②当在点的右侧时， ∴ 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，或4或14 24．（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：，； （2）（1）问的两个结论还成立； 证明：如图②，在的延长线上截取，连接， ，， ， ， ∴， ， ， ∵， ， ， 的周长为：， ； （3）如图③，在上截取，连接， 同（2）可证， ， ∴， ， ， ， 又， ， ， ， ， ∵等边的周长为， ， 的周长 ， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $