第1章 三角形（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过题型分类系统梳理知识体系，按“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”分层，涵盖线段关系、角度计算、全等判定等51个题型，清晰呈现三角形知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如“倍长中线构造全等”“半角模型”等题型，培养推理意识与创新思维，基础题巩固概念，拔高题提升综合应用能力，助力教师精准教学，学生分层提升。

第1章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 2 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 4 【题型3 利用中线性质求线段长】 5 【题型4 利用角平分线求角度】 7 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 11 【题型6 利用外角性质求未知角】 13 【题型7 按角或按边判断三角形类型】 15 【题型8 判断图形是否全等】 17 【题型9 已知全等求解】 19 【题型10 SSS判定全等】 21 【题型11 SAS判定全等】 24 【题型12 ASA判定全等】 27 【题型13 AAS判定全等】 30 【题型14 线段垂直平分线的性质求解】 34 【题型15 尺规作线段的垂直平分线】 37 【题型16 尺规作已知角的角平分线】 39 【题型17 结合尺规作角平分线的求值或证明】 41 【题型18 角平分线性质求值】 45 【进阶拔高】 50 【题型19 三边关系与等腰三角形综合求周长】 50 【题型20 利用中线平分面积求三角形面积】 52 【题型21 高与角平分线夹角的角度计算】 56 【题型22 外角与角平分线综合求角度】 60 【题型23 折叠问题中利用内角和求角度】 63 【题型24 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 67 【题型25 利用外角性质求多个角的和】 69 【题型26 中线与角平分线综合】 72 【题型27 全等证明两线段相等】 77 【题型28 全等证明两角相等】 82 【题型29 全等证明两线段位置关系】 87 【题型30 全等求线段长度】 91 【题型31 全等求角度大小】 95 【题型32 全等求周长】 98 【题型33 全等求面积】 102 【题型34 全等证明线段和差关系】 106 【题型35 多次全等证同一结论】 112 【题型36 尺规作垂直平分线并证明】 120 【题型37 角平分线的实际应用】 125 【创新思辨】 128 【题型38 利用三边关系化简含绝对值表达式】 128 【题型39 多次中线嵌套求面积】 130 【题型40 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 135 【题型41 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 138 【题型42 外角性质与平行线综合角度证明】 142 【题型43 含参数的三角形分类讨论】 148 【题型44 连接两点构造全等】 155 【题型45 倍长中线构造全等】 162 【题型46 动点构造全等求解】 166 【题型47 旋转构造全等】 173 【题型48 截长补短构造全等】 177 【题型49 利用全等三角形解决实际问题】 183 【题型50 半角模型】 188 【题型51 手拉手模型】 196 【夯实基础】 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形和构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：A．两条较短线段之和等于最长的线段，不能构成三角形； B．两条较短线段之和大于最长的线段，能构成三角形； C．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形； D．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分两种情况：第三边的长为和第三边的长为，根据三角形中，任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形，再结合三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当第三边的长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为； 故答案为：20． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【答案】，，（或，，） 【分析】先列举从4根木条中任取3根的所有组合，再利用三角形三边关系判断各组合能否构成三角形，任写一种符合条件的组合即可． 【详解】解：从长度为，，，的4根木条中任取3根，所有组合为：，，；，，；，，；，，． ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形； ∵，不满足三边关系， 故不能构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形， ∵，，，满足三边关系， ∴构成三角形 综上：，，；，，这两种组合能构成三角形． 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 【例2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求出第三根木棒长度的取值范围，选取范围内任意一个值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系可得：， 计算得， 在范围内选取，符合要求．（答案不唯一，满足即可） 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 【题型3 利用中线性质求线段长】 【例3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大4”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则__________，__________． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， ①②得．， 解得， ②①得，， 解得， 故答案为：8；6 【题型4 利用角平分线求角度】 【例4】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则_____．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是的平分线，若，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线；由三角形内角和定理得，由三角形的角平分线求出，再由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的角平分线是解题的关键． 【详解】解： ，， ， 是的平分线， ， ， 故答案：． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】/76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． 【变式4-3】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则__________． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再结合已知条件，通过等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可证明； （2）先根据角平分线的定义，三角形内角和定理和已知条件求出的度数，再根据平行线的性质求出和的度数，最后利用角的和差关系求出的度数； （3）利用角平分线的定义结合已知条件求出的度数，再由，根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如图，作的角平分线交于点F， 由（2）知，， ∴， ∵， ∴ 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 【例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 【变式5-1】（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵将三角形纸片沿折叠， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【答案】/20度 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，根据三角形高的定义求出的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵边上的高为， ∴，即， ∵， ∴ ． 【题型6 利用外角性质求未知角】 【例6】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解：， ． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东揭阳·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：. 【变式6-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质求出，的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，把沿折叠，点A与上的点D重合，则______ ． 【答案】70 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由折叠性质可知，，根据三角形外角性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知， ， ∴． 故答案为：． 【题型7 按角或按边判断三角形类型】 【例7】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 【变式7-1】（25-26六年级下·黑龙江大庆·阶段检测）一个三角形三个内角度数之比是，它是一个_____．（填锐角三角形，直角三角形或钝角三角形） 【答案】锐角三角形 【分析】根据三角形内角和定理，计算出最大内角的度数，再根据三角形按角的分类判断三角形的形状即可． 【详解】解：设三角形三个内角的度数分别为，，， 根据三角形内角和定理可得：， 合并同类项得， 解得， 因此最大内角的度数为 ， 因为，最大内角为锐角，所以该三角形是锐角三角形 【变式7-2】（25-26六年级下·上海·开学考试）在三角形中，，最大角( )度．如果按角分类，这是( )三角形．如果按边分类，这是( )三角形． 【答案】 钝角 等腰 【分析】三角形内角和为，将角度比的各项看作份数，先求出一份对应的角度，再计算得到最大角的度数，结合三角形按角分类的标准判断三角形类型，再根据等角对等边的性质，按边分类判断三角形类型． 【详解】解：（度）， 因为， 所以按角分类，这个三角形是钝角三角形； 因为和所占份数相等， 因此， 根据等角对等边，可得两条对边相等， 所以按边分类，这个三角形是等腰三角形． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【详解】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 【题型8 判断图形是否全等】 【例8】（25-26七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可） 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可． 【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合， 故答案为：②④⑤． 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 【变式8-3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是_____． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【题型9 已知全等求解】 【例9】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图， ，若,，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解：∵,， ， ∵ ， ∴． 【变式9-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 【变式9-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】 解： ， ， ， ， ， ， ． 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【题型10 SSS判定全等】 【例10】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 【变式10-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵， ∴． (2) 解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【题型11 SAS判定全等】 【例11】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 【变式11-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 【变式11-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，连接，F为边上一点，连接交于点E，连接，若，则的度数为_____°； 【答案】70 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键；由正方形的性质、三角形外角的性质可求得的度数；证明，得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：70． 【变式11-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； (2) 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）略． （2）解：略． 【题型12 ASA判定全等】 【例12】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解： ， 由题意得，， ， 故答案为：． 【变式12-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，丙工程队先过点，作直线，然后在直线上方确定一点，连接，在段确定一点，连接；再以为边在下方作，并在上截取，最后以为边作，交于点．若，，则，间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质得到，然后根据等式的性质得到，最后根据线段的和差关系求出，间的距离． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，即， ， 则，间的距离为， 故选：B． 【变式12-2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，，其中的顶点与的中点重合，，分别与，交于点，．若的面积为18，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出阴影部分面积． 【详解】解：连接， ∵为中点，是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴ 【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，猜想线段与的关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由垂直平分线的定义及性质得到，，得出，根据角平分线的定义得到，因此，从而证明，得到． 【详解】略 【题型13 AAS判定全等】 【例13】（25-26七年级下·全国·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【答案】相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：由题意，得，， ． 在和中， ， ． 故答案为：相等． 【变式13-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ， ， ． 【变式13-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【答案】(1) 证明：设、相交于G， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ； (2)证明：过C作于N，连接，则， ∵， ， ∴， 在与中， ， ， ， ∵，, 是的角平分线． (3)2 【分析】（1）设、相交于G，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一可得出 ，结合已知得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出； （2）过C作于N，连接，证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （3）根据全等三角形的性质得出，，结合已知得出，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是的角平分线， ， 又，， ， ， ， 又，， ， 解得. 【题型14 线段垂直平分线的性质求解】 【例14】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 【变式14-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． 【变式14-2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质定理求解． 【详解】解：∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴． 【变式14-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【题型15 尺规作线段的垂直平分线】 【例15】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，请在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】作的垂直平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 【变式15-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】观景台距两座凉亭的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 【变式15-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【答案】 【分析】作的垂直平分线，再过点作的垂线，两线交点即为点． 【详解】略 【变式15-3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图所示即为所求， 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，则点D即为所求，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】略 【题型16 尺规作已知角的角平分线】 【例16】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【变式16-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】根据题目可知，，所以射线为的角平分线．先以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接并延长，即可得到满足题目要求的射线． 【详解】略． 【变式16-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】构造的角平分线，进而构造即可． 【详解】略． 【变式16-3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】作舞台两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为舞台中心M的位置，根据角平分线的性质可知舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等． 【详解】解：舞台中心M的位置如解图所示． 【题型17 结合尺规作角平分线的求值或证明】 【例17】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 【变式17-1】（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 当点P与点H重合时，取最小值，此时． 【变式17-2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于 （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 【变式17-3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，． (1)利用尺规作的平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的平分线． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 证明：过点作于点，如图， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ∴是的平分线． 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，然后证明得到． 【详解】（1）略 （2）略 【题型18 角平分线性质求值】 【例18】（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【变式18-1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 【变式18-2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 【变式18-3】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，平分 于E，点F在边上，连接． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长度； (3)若 ，直接写出BE的长度（用含 m，n的代数式表示）． 【答案】(1) 解：∵ 平分， ， 在和中， ∴，   ∴； (2)1； (3)． 【分析】（1）应用角平分线到角两边的距离相等这个条件，证明，然后证明； （2）用条件：，先证明，然后求出； （3）根据（2）证明出的结果，直接写出代数式． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，      ，       故答案为：3； （3）解：由（2）证明可得： ， 故答案为． 【进阶拔高】 【题型19 三边关系与等腰三角形综合求周长】 【例19】（25-26八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是__________． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是__________． 【答案】 25 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是： （1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解； （2）先求出底边长为，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式19-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出，的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长. 【详解】解：，且，， ，解得， 该三角形是等腰三角形， 三边长为或， ，不满足三角形三边关系，该情况不合题意，舍去， 等腰三角形的周长为． 【变式19-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 【变式19-3】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，一边长为可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为 ，底边长为 ，周长为． 若一边长为， 分两种情况讨论： 当为腰长时，则，．但，不满足三角形三边关系，故舍去． 当为底边长时，则，，．此时，，满足三角形三边关系，则优美比． 故答案为：． 【题型20 利用中线平分面积求三角形面积】 【例20】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【答案】2 【分析】这道题的解题关键在于巧妙地运用“同高不同底”的几何性质来转化面积关系，首先，利用中点 将大三角形 分割成面积相等的两部分，并进一步推导出 与 的面积相等，接着，根据“等高三角形面积比等于底边比”，由 可直接推导：在 中， 与 等高，故 。设 ，则 ，进而 ，同理，对以 为顶点的 ，也有 ，利用面积差 及 ，可推得 ，所以 ，即可解得 ，从而将所有相关面积统一用 表示，最后列方程即可求解． 【详解】解：连接 ， 为 边的中点 设 ， 则 ． 【变式20-1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 【变式20-2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 【变式20-3】（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，点为的边上的中点，、是边上的三等分点．已知，求的面积． 【答案】12 【分析】由点、是边上的三等分点，可得；根据三角形的面积等于底乘高，可得；再因为点为边上的中点，可得即可求解． 【详解】解：连接， ∵E，F是边上的三等分点， ∴， ∵ ∴， ∵点为的边上的中点， ∴，即， ∵， ∴． 答：的面积是12． 【题型21 高与角平分线夹角的角度计算】 【例21】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的中线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 【变式21-1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，，．求： (1)的度数； (2)的度数； (3)的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理进行解答即可； （2）根据角平分线的定义，外角的性质，进行解答即可； （3）根据垂直的定义，直角三角形两锐角互余，以及角的和差关系，进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，． （2）解： 平分，， ， ． （3）解： 是的高，即， ， ． 由（2）可知，， ． 【变式21-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 【变式21-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得到，利用三角形的周长公式表示出与的周长，两者相减即可得出答案； （2）根据三角形的高的定义得到，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴． ∵， ∴的周长，的周长． ∴与的周长之差为 ． （2）解：∵是的高， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【题型22 外角与角平分线综合求角度】 【例12】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的边上一点，连接，，． (1)求的大小； (2)若，试说明：平分． 【答案】(1) (2)证明：设，， ， 即， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据三角形的外角性质得出，结合题意即可求解； （2）根据题意设，，结合三角形内角和是，列出方程，解方程求出的值，求出，结合角平分线的定义即可证明． 【详解】（1）解：是的外角， ， ， ． （2）略 【变式22-1】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：，是的角平分线， ， 又， ． 【变式22-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，在中，，的角平分线与的外角的平分线所在的直线交于点D，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，设，，构建方程组求解即可． 【详解】解：设，， 则有，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式22-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质与角平分线的计算，熟知三角形外角与内角之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，根据三角形外角的性质可推出，结合已知条件和角平分线的定义可得，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵， ， ， ， 分别平分， ， 同理可得，， ， 需将增大． 故答案为：10． 【题型23 折叠问题中利用内角和求角度】 【例23】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 【答案】70 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式23-1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在图①的中，根据三角形内角和定理，可求得；结合折叠的性质和图②和图③可知：，即可在中，得到另一个关于、度数的等量关系式，联立两式即可求得的度数． 【详解】解：如图：    在中， 则； 根据折叠的性质知：，； 在中，则有：， 即； ，得， 解得． 故选：A 【点睛】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键． 【变式23-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【变式23-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________． 【答案】/18度 【分析】先由轴对称的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质得到，设，，则，根据三角形内角和得，即，得根据三角形外角性质得方程即，求解即可． 【详解】解：∵将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D， ∴， ∵将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， 在中， ∴，即 ∵在中，， 又∵， ∴即 把②代入①，解得： ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【题型24 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 【例24】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．在组合三角形的时候，注意较小的2边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 【详解】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根， 根据三角形的三边关系定理得到： 得到：，，， 又因为，是整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5． 则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2． 因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3． 故选：C． 【变式24-1】（25-26七年级下·山东·期末）以，，，四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】从、、、这四根木条中任取根，共有种不同的取法，分别为： 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、不可以组成三角形； 、、， ∵， ∴以、、可以组成三角形； 综上可知：能构成三角形的个数为个， 故选：． 【变式24-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是___个。 【答案】3 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【详解】首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系：即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系． 【变式24-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 【题型25 利用外角性质求多个角的和】 【例25】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的度数相同，，，则的度数为______； 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和，外角，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 在图①中，用的式子表示出，进而用含有的式子表示出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解：设， 如图① ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； ∴ ∵是的外角， ∴， ∴， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 【变式25-1】（25-26九年级·全国·单元测试）如图，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的内角和定理即可求解 【详解】解： 在中， 在中， 在中， 在中， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 【变式25-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）求如图星形中, ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 【答案】180° 【详解】试题分析： 试题解析：将AC,BD相交的点命名为F,将AC,BE相交的点命名为G ∵∠A+∠D=∠AFB,∠AFB+∠B=∠CGE ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AFB+∠B+∠C+∠E =∠CGE+∠C+∠E =三角形CGF的内角和 =180º 考点：1.三角形的内角和;2.多边形的内角和 【变式25-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）七下数学页有：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出如图五角星中的度数和． 发现：直接写出七角星中，的度数和为______． 【答案】探究：；发现： 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理与外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质，正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 探究：根据三角形外角的性质求出和，再根据三角形的内角和定理求出答案即可； 发现：根据三角形外角的性质求出、和，再根据三角形的内角和定理求出答案即可． 【详解】解：探究：如图所示， ，，， ，即； 发现：如图所示： ，，， ， ，， ，即， 故答案为：． 【题型26 中线与角平分线综合】 【例26】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的高，是中线，的平分线交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断； ②根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，再由三角形外角性质即可判断； ③根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，再根据三角形角平分线定义即可判断； ④根据等腰三角形的性质即可判断． 【详解】解：∵BE是中线， ∴AE=CE， ∴S△ABE=S△BCE， 故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF=∠BCF， ∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠CAD， ∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG=∠AGF， 故②正确； ∵AD是高， ∴∠ADB=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ACB=∠BAD， ∵CF是角平分线， ∴∠ACB=2∠ACF， ∴∠BAD=2∠ACF， 即∠FAG=2∠ACF， 故③正确； ∵CF平分∠ACB， ∴只有当AC=BC时，AF=FB， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，中线和高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线，中线，高的定义是解题的关键，属于基础题． 【变式26-1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线等分三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点．设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得.，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 【变式26-2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 【变式26-3】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为_____； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的定义及性质，直角三角形两锐角互余，三角形的周长等知识点，掌握三角形的中线、高、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，然后计算即可； （2）根据三角形的高得，根据直角三角形两部角互余得，根据三角形外角的性质得，根据三角形的角平分线得，可得答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴与的周长差为， 故答案为：； （2）∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 【题型27 全等证明两线段相等】 【例27】（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式27-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）连接，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式27-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，M，N分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵分别为的中点， ∴． 在和中， ∴； (2) 证明：由知， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴， 故． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据证明； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式27-3】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型28 全等证明两角相等】 【例28】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴. ∵E是的中点， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明即可； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，即可说明是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 【变式28-1】（24-25八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（）由得，进而由可证； （）由得，，得，即得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式28-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知，，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）知， ∵， 又∵，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应关系是解答的关键． （1）可以先证，再利用全等三角形的性质，可得； （2）由（1）的结论结合已知条件，根据三角形内角和定理，可得． 【详解】（1）略 （2）略 【变式28-3】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）求证：△EPF是等腰直角三角形； （3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°； （4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC． 【答案】 （1）如图，连接，P是BC中点， AB＝AC，∠BAC＝90°, ，, ，, , , , , , , 在和中： （ASA）, , , , 即． （2）由（1）可知 ： ， ， 是直角， △EPF是等腰直角三角形． （3）如图，连接, 是等腰直角三角形， 即∠FEA＋∠PFC＝45°； （4） ， S△PFC－S△PBE＝S△PFC－ P是BC中点， S△ABC． 【分析】（1）先证明 ，得，再由已知条件即可求证； （2）根据（1）的结论结合题意即可得证； （3）根据（1）的结论，进行角的等量代换，即可求证； （4）根据（1）的结论，利用全等的性质，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－ ，进而可求证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型29 全等证明两线段位置关系】 【例29】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴； (2) 证明：由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式29-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. (2) 证明：∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）略 （2）略 【变式29-2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ； (2) 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ，           ． 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得出，再根据 “”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得，根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式29-3】（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知，在中，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：； 【答案】(1) 证明：， ，          又，， ； (2) 证明：， ， ，         ， 平分， ， ， ， ，           ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得， 根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论； 本题考查全等三角形判定与性质、垂直定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质、等角的余角相等，熟练掌握三角形的判定与性质是解答的关键. 【详解】（1）略 （2）略 【题型30 全等求线段长度】 【例30】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式30-1】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 【变式30-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) ． 【分析】（1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明， （2）根据全等三角形对应边相等可得然后计算即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知， ∴ ∴． 【变式30-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【题型31 全等求角度大小】 【例31】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，利用证明，得出，再利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式31-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式31-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接交对角线于点，连接．设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质证明，则结合外角的性质得到，再由平角的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式31-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 【题型32 全等求周长】 【例32】（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为________． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 【变式32-1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为，若的周长为，的周长为，则的长为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质．根据题意，判定≌，然后得到，，进行求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 又， ≌， ， ， 的周长为， ， 又的周长为， ， 又， ， 故选A． 【变式32-2】（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，由折叠可知，，，易证，所以，所以的周长为由此可得出结论． 【详解】解：∵等边的周长为6， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴的周长为： ， ∴的周长为2． 故答案为：2． 【变式32-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． 【题型33 全等求面积】 【例33】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【答案】4 【分析】延长交于E，证明，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式33-1】（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积．过点作交于点，过点作的延长线，交于点，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，结合题意可得这两个三角形是等底等高的三角形，故面积相等，即可求解． 【详解】解：如图：过点作交于点，过点作的延长线，交于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 故， 即． 故选：B． 【变式33-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，平分的延长线交于点，连接，若，请解决下列问题：    ①设，则___________（填“”“”“”“”或“”）； ②的面积是面积的___________倍． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，三角形的面积，通过证明是解题的关键． 先证明得到，则，根据三角形三边的关系可得，即； 由全等三角形的性质得到，再根据同高三角形的面积之比等于底边之比推出，据此可得答案． 【详解】解：①∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是面积的5倍， 故答案为：5． 【变式33-3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】(1) 证明：， ， ． 在和中， ， ， ． (2)7.5． 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 【题型34 全等证明线段和差关系】 【例34】（24-25八年级下·江西抚州·期中）（1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． （2）如图2，在中，平分，，，求证：． 【答案】 （1）证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长与交于点，     由（1）可知：， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质； （1）证明，即可得到； （2）延长与交于点，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根据即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式34-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ， 平分； (2) 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到平分． （2）先证明，得到，得到，即，则，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式34-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【答案】(1)8 (2) 证明：在上取一点M，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）在上取一点M，使得，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式34-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)是 (2)①； ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”即可判断． （2）①由是等边三角形，得出，，再利用全等三角形判定推出，即可得出结论； ②在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是； （2）解：由（1）知是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ②略 （3）解：若点A在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 【题型35 多次全等证同一结论】 【例35】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， 由（1）得， 又 ， ， ，， ，是边上的中线， 是的角平分线， ， ，即； 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）由等边对等角得，由三线合一得，再由三角形外角的性质求解； （2）先证，由平行线的性质得，，由三线合一得是的角平分线，等量代换得出；证明，推出，再证 ，即可证明． 【详解】（1）解： 中，，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． （2）略 【变式35-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【答案】证明：取中点，连接并延长至点，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【分析】取中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得出，，导角求出，证明，得出，则，根据等边对等角求出，则，根据等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 【变式35-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知在中，是的平分线，，是的中点，，交的延长线于，交的延长线于，求证：． 【答案】证明：延长至G，使，连结、，延长交于H． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】延长至G，使，连结、，延长交于H． 由三角形中位线的判定定理和性质得出，进而可得出，证明，得出，再证明，得出，由三角形外角的定义和性质结合已知条件得出，由等角对等边得出，进而可得出． 【详解】略． 【变式35-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知和的顶点A公共，点B、A、E在一条直线上．． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，则______； (3)在图2的基础上将等腰绕点A旋转一个角度，得到图3，则______，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： 如图：连接，交于Z，交于O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴∠， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴． 【分析】（1）如图：先证明得到，由得到和为等边三角形，则，根据三角形的内角和定理得到，，即可得到； （2）同（1）一样，只是，得到，则，，即可得到； （3）如图：连接，交于Z，交于O，先证明，得到，求出求出，证明，得到，求出，同理，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图1，∵，B、A、E在同一条直线上，C、A、D在同一条直线上， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴， ∵，， ∴． （2）解：如图2，由（1）可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）解：，证明略． 【题型36 尺规作垂直平分线并证明】 【例36】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 【答案】见解析 【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可； （2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案； （3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE =60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴AE=BE ∵∠A=30，∠ACB=90 ∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60 ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30 ∴∠EBC=∠ABE ∴EB平分∠ABC． （3）证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴DE⊥AB ∴∠DEB=90-∠ABE =60 ∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30 ∴∠EFB=∠EBC ∴BE=EF 又∵AE= BE ∴AE=EF 【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形． 【变式36-1】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 证明：由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法和题意作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 【变式36-2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)作图如图所示； (2)证明：如图，过点，作交于点， 平分， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ， 在和中， ， . 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意线段垂直平分线的应用． （1）利用尺规作线段的垂直平分线即可． （2）根据垂直平分线的性质得，运用平行线的性质可得，运用证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式36-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知． (1)在图1中作出边的垂直平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，已知，垂直平分线段，连接，，．求证：． 【答案】(1) 如图1，直线即为所求； (2) 证明：如图2，连接、， 垂直平分线段，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，正确掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线即可； （2）连接、，根据垂直平分线的性质得出，，根据推出，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【题型37 角平分线的实际应用】 【例37】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 【变式37-1】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【变式37-2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式37-3】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【创新思辨】 【题型38 利用三边关系化简含绝对值表达式】 【例38】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 【变式38-1】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）已知的三边长分别为，，，化简________． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式38-2】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，． ∴． 【变式38-3】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）（1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【答案】 【分析】（1）根据三角形三边长的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列不等式求解即可； （2）同（1）求出a的取值范围，再化简绝对值计算； （3）根据等腰三角形及三角形三边长的关系，分情况讨论得到周长即可． 【详解】解：（1）根据题意，， 解得：； （2），解得， ， ； （3）①，解得， ②如果是等腰三角形， 当时，，不符合题意； 当时，此时的周长是． 【题型39 多次中线嵌套求面积】 【例39】如图，，若，则________． 【答案】 【分析】先求出，根据三角形中线的性质可得出，进而求出，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式39-1】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】4 【分析】连接，过作 交的延长线于，证出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可． 【详解】解：连接，过作 交的延长线于，如图所示：   四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 边上的高和的边上的高相同， 的面积和的面积相等， 同理：的面积和的面积相等， 阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半， 设上的高为， 平行四边形的面积 ， ∵， ∴， 的面积是12， ， ， 阴影部分的面积是． 【变式39-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式39-3】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【题型40 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 【例40】（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 【变式40-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【变式40-2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 【变式40-3】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 【答案】105° 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数． 【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°， ∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°， ∴∠PCD＋∠PDC＝（180°×2−210°）＝75°， 在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键． 【题型41 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 【例41】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线的定义，可判断A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断D；即可得出结论． 【详解】解：A 、是的中线， ， ， ，故A选项正确； B、条件不足，无法得到，故B选项错误； C 、，分别是的高和角平分线， ，， ， ， ， ，故C选项正确； D、，， ，， ， ， ， ，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，同（等）角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式41-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是__．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】①② 【分析】本题考查中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算，角之间的换算是关键． 根据中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算逐一分析即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，①正确； 在中，，②正确； 与的高相等，底， ∴，③错误； 由题意可知，， ， 又， ， ， ， ，④错误； 故答案为：①②． 【变式41-2】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①三角形的中线将三角形分成等底等高、面积相等的两部分，故； ②根据直角三角形的面积公式，用面积法可算出斜边上的高； ③通过“同角的余角相等”和“对顶角相等”，可推出； ④利用“同角的余角相等”和角平分线，可推出等于，即． 【详解】解：① 是中线， ， 等底等高的两个三角形面积相等， ，正确； ② ，，，，是边上的高， ， ， 解得，正确； ③ ，， ，， 平分， ， ， ， ，正确； ④ ，， ，， ， ， ，正确． 综上，正确的说法有个． 【变式41-3】（25-26七年级下·河北石家庄·期末） 如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC=2BF；②∠CAE=∠CAB；③BE=CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB=S△ADC．其中错误的是______(只填序号)； （2）若∠C=70°，∠ABC=28°，求∠DAE的度数．    【答案】（1）③⑤；（2）21°。 【分析】（1）根据三角形的高、角平分线和中线的定义即可得到AD⊥BC，∠CAE=∠CAB，BC=2BF，S△AFB=S△AFC，无法确定AE=BE，S△AFB=S△ADC． （2）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠ABC-∠C=82°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=∠CAB=41°，∠ADC=90°，则∠DAC=90°-∠C=20°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠DAC计算即可． 【详解】（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线， ∴AD⊥BC，∠CAE=∠BAE=∠CAB，BF=CF，BC=2BF， ∵S△AFB=BF•AD，S△AFC=CF•AD， ∴S△AFB=S△AFC，故①②④正确， ∵BF=CF， ∴BE＞CE， ∵BF＞CD， ∴S△AFB＞S△ADC．故③⑤错误， 故答案为③⑤． （2）∵∠C=70°，∠ABC=28°， ∴∠CAB=180°-∠ABC-∠C=82°， ∴∠CAE=∠CAB=41°， ∵∠ADC=90°，∠C=70°， ∴∠DAC=20° ∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=41°-20°=21°． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为180°．也考查了三角形的面积． 【题型42 外角性质与平行线综合角度证明】 【例42】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为_____________. 【答案】105° 【分析】解法一：利用平行线的性质定理∠CFG=180°-∠C =90°，利用等角的余角相等得出∠CFD=∠CAD=15°，它们之和即为∠DFG； 解法二：利用平行线的性质定理可求出∠FGE=∠CAB=60°，再利用三角形的外角和可求出∠FGE=∠FGE+∠DEA=105°. 【详解】解法一：∵GF∥AC，∠C=90°， ∴∠CFG=180°-90°=90°， 又∵AD，CF交于一点，∠C=∠D， ∴∠CAD=∠CFD=60°-45°=15°， ∴∠DFG=∠CFD+∠CFG=15°+90°=105°． 解法二：∵GF∥AC，∠CAB=60°， ∴∠FGE=60°， 又∵∠DFG是△EFG的外角，∠FEG=45°， ∴∠DFG=∠FGE+∠FEG=60°+45°=105°， 故答案为105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【变式42-1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，利用平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式42-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点． (1)_______°； (2)求证：平分； (3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形性质，得到，结合条件，得到，求解即可． （2）根据，得到，结合条件，得到，求解即可． （3）设，，，根据题意，得 ，，确定x，y之间的关系计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3）设，，，根据题意，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵的角平分线交于G点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， 故． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的意义，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【变式42-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：， 又，， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； （3）解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，列代数式，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． 【题型43 含参数的三角形分类讨论】 【例43】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，， 设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 【变式43-1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 【答案】或或或 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质求出各角的度数，再根据旋转的性质和平行线的判定分情况进行判断． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当绕着点顺时针旋转时，， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当旋转角或或或时，的一边与的一边平行． 【变式43-2】（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 【变式43-3】（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】先根据平行线和角平分线的性质求出的度数，分点P在点E与之间、点P在下方、点P在点E上方三种情况讨论，利用三角形外角的定义建立、和的关系，据此判断即可． 【详解】解：， ， 平分， ， 分情况讨论： （1）当点P在点E与之间时： 设与交于点， 是和的外角， ， ， ； （2）当点P在下方时： 如图，延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ； （3）当点P在点E上方时： ， 在四边形中，， ， ， 综上所述，点在运动过程中，与的关系可能是：①②③． 【题型44 连接两点构造全等】 【例44】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【变式44-1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【变式44-2】（25-26七年级·全国·单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分. 【答案】 （1）    已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB, PF⊥AC, PE⊥BC, 求证：PD+PE+PF为定值. 证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP. ∵， ∴ 又∵BC=AB=AC ∴AG=PE+PF+PD,即定长. ∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长. （2） 过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F. ∵， ∴， 又∵AD=AD ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，即AD平分. 【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明； （2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分. 【详解】略． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键． 【变式44-3】（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【答案】 （1）证明：在线段上截取，连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）图2：，图3： 【分析】（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解． （2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得． 【详解】解：（1）略． （2）当点在线段延长线上时， 如图2：在的延长线上截取，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 当点在线段延长线上时， 如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，，且 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键． 【题型45 倍长中线构造全等】 【例45】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，是的中线，交于点，交于点，且，若，，则线段的长是________． 【答案】26 【分析】延长到点G；使，连接，证明，再利用等腰三角形的判定和性质，求解即可； 【详解】解：延长到点G；使，连接， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【变式45-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式45-2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式45-3】（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【题型46 动点构造全等求解】 【例46】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 【变式46-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【答案】 2a 或3 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间求解； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米，根据全等三角形的判定方法，由于，则当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程组得到a的值． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：（1）运动2秒时，厘米； 故答案为：2a； （2）设运动的时间为t秒， 根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米， ， 当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 【变式46-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 【变式46-3】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中， ， ，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：   (1)当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） 当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） (2)用含的代数式表示的面积； (3)当点在上运动时： ①计算说明：当为何值时，？ ②当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，直接写出当与全等时，的数值． 【答案】(1) (2) (3)① ②2， 【分析】本题主要考查了矩形的性质、分段函数、全等三角形的判定与性质． 当点在上运动时，根据即可得出结果；当点在上运动时，根据即可得出结果； 分点在上运动、在上运动、在上运动，求出与的函数关系式； ①根据，可知，得到关于的方程，解方程求出的值； ②分当时和当时，两种情况列方程求出的值． 【详解】（1）解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时，即时， 可得：； 当点在上运动时，即时， 可得：； 当点在上运动时，即时， 可得：； 综上所述，； （3）①解：， ， ， 秒； ②解：当时，，， 可得：， 解得：， 当点运动的速度是时，； 当时，，， 可得：， 解得：， 当点运动的速度是时，； 综上所述，当与全等时，的数值是或． 【题型47 旋转构造全等】 【例47】（25-26八年级下·山东淄博·期中）点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【答案】45°/45度 【分析】由题意得，将绕点顺时针旋转得到,证即可求解． 【详解】解： 即 将绕点顺时针旋转得到，如图所示：       在的延长线上 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转等．根据几何条件进行严密的几何推理是解题关键． 【变式47-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 【变式47-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式47-3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（　　　） A．5.5 B．6 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解． 【详解】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF， ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6， ∴∠ABC=60°，BC=3， ∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∵△BCF是等边三角形， ∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°， ∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE， ∴△BCE≌△FCD(SAS)， ∴ BE= DF， ∴DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小， 如图，此时作， ∵=180°-60°-60°=60°，， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 【题型48 截长补短构造全等】 【例48】 中，AD是 的平分线，且.若，则 的大小为 （     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，进而得到∠B、∠C的数量关系，再根据三角形内角和定理即可解得∠B的度数. 【详解】解：在AB边上截取AE＝AC，连接DE， AD是 的平分线， 在与中， ， 即 故选A 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，是常见的典型考点，难度一般，作出正确的辅助线是解题关键． 【变式48-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度． 【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 【变式48-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式48-3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型49 利用全等三角形解决实际问题】 【例49】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【答案】 【详解】解：由题意知：， ， 米． 【变式49-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 小颖和小娜一起玩秋千，开始时小颖坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 小颖坐在秋千的起始位置A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，小娜在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小颖距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 若规定户外秋千设置高度在以内为合理，则小颖所在小区的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】 任务1：，理由如下： 由题意得， ∵于点D，于点E ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2：小颖所在小区的秋千高度设置是合理的，理由如下： ∵点B距的水平距离为，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小颖所在小区的秋千高度设置是合理的． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键． 任务1：根据秋千的长度不变可得，再导角证明，则可利用证明； 任务2：根据全等三角形的性质可得，据此求出的长即可得到结论． 【详解】任务1：略 任务2：略 【变式49-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施   ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用等式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式49-3】（25-26八年级上·广西北海·期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 【答案】（1）； （2），理由如下， ∵，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）为直角三角形，理由如下： 过点作，交的延长线于点， ∴， 又∵，， 同（1）可得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴符合要求，是直角三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，，进而可得． （2）由，可得．根据可得，则可得，由，可得，进而可得； （3）过点作，交的延长线于点，由（1）结论可得，，进而可得，，又由，，可得，进而可得，符合要求． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）略 【题型50 半角模型】 【例50】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式50-1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确 无法判断BE＝CD，故①错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式50-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC； （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； （4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）略 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 【变式50-3】（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3) 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型51 手拉手模型】 【例51】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 【变式51-1】（2025·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 【变式51-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 【变式51-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得AE＝CD，∠AHD＝∠ABG＝60°；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案． 【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD，故①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确； 在△AGB和△DFB中， ∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴∠FGB＝∠ABD＝60°， ∴FG∥AC，故⑤正确； ∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误； 根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 2 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 3 【题型3 利用中线性质求线段长】 3 【题型4 利用角平分线求角度】 4 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 5 【题型6 利用外角性质求未知角】 6 【题型7 按角或按边判断三角形类型】 7 【题型8 判断图形是否全等】 7 【题型9 已知全等求解】 8 【题型10 SSS判定全等】 9 【题型11 SAS判定全等】 10 【题型12 ASA判定全等】 11 【题型13 AAS判定全等】 12 【题型14 线段垂直平分线的性质求解】 13 【题型15 尺规作线段的垂直平分线】 14 【题型16 尺规作已知角的角平分线】 15 【题型17 结合尺规作角平分线的求值或证明】 16 【题型18 角平分线性质求值】 18 【进阶拔高】 19 【题型19 三边关系与等腰三角形综合求周长】 19 【题型20 利用中线平分面积求三角形面积】 19 【题型21 高与角平分线夹角的角度计算】 20 【题型22 外角与角平分线综合求角度】 21 【题型23 折叠问题中利用内角和求角度】 22 【题型24 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 23 【题型25 利用外角性质求多个角的和】 24 【题型26 中线与角平分线综合】 25 【题型27 全等证明两线段相等】 26 【题型28 全等证明两角相等】 27 【题型29 全等证明两线段位置关系】 28 【题型30 全等求线段长度】 29 【题型31 全等求角度大小】 30 【题型32 全等求周长】 31 【题型33 全等求面积】 32 【题型34 全等证明线段和差关系】 33 【题型35 多次全等证同一结论】 34 【题型36 尺规作垂直平分线并证明】 36 【题型37 角平分线的实际应用】 37 【创新思辨】 38 【题型38 利用三边关系化简含绝对值表达式】 38 【题型39 多次中线嵌套求面积】 39 【题型40 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 40 【题型41 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 41 【题型42 外角性质与平行线综合角度证明】 43 【题型43 含参数的三角形分类讨论】 44 【题型44 连接两点构造全等】 45 【题型45 倍长中线构造全等】 47 【题型46 动点构造全等求解】 48 【题型47 旋转构造全等】 49 【题型48 截长补短构造全等】 50 【题型49 利用全等三角形解决实际问题】 52 【题型50 半角模型】 54 【题型51 手拉手模型】 56 【夯实基础】 【题型1 判断三条线段能否组成三角形】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·阶段检测）下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）三角形中，已知两边长为和，还有一边与前面两边中的一边长相等，这个三角形的周长是_____． 【变式1-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）现有4根木条、长度分别为（单位：）：，从中取出三根连成一个三角形__________________ ．（任写一种即可） 【题型2 已知两边求第三边取值范围】 【例2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东德州·期中）三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）小明有两根长度分别为的木棒，他想钉一个三角形木框架，则第三根木棒的长度可以是___________cm．（只写一个即可） 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·期末）若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 【题型3 利用中线性质求线段长】 【例3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是的中线，的周长比的周长多，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，若和的周长之差为，且与的和为，则__________，__________． 【题型4 利用角平分线求角度】 【例4】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则_____．    【变式4-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，是的平分线，若，，则的度数是__________． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【变式4-3】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）已知如图，在中，点D，E分别在和上，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； (3)在第（2）问的基础上，若平分，交于点F，则__________． 【题型5 三角形内角和的计算与证明】 【例5】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【变式5-1】（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为______． 【变式5-3】（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，，边上的高为，则的度数为________． 【题型6 利用外角性质求未知角】 【例6】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点在的延长线上，，则_____． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东揭阳·期末）体育课上的侧压腿动作（如图）可以抽象为几何图形（如图），如果，则的度数是（     ）          A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在和中，与相交于点．若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，把沿折叠，点A与上的点D重合，则______ ． 【题型7 按角或按边判断三角形类型】 【例7】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【变式7-1】（25-26六年级下·黑龙江大庆·阶段检测）一个三角形三个内角度数之比是，它是一个_____．（填锐角三角形，直角三角形或钝角三角形） 【变式7-2】（25-26六年级下·上海·开学考试）在三角形中，，最大角( )度．如果按角分类，这是( )三角形．如果按边分类，这是( )三角形． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是______（只填序号）． 【题型8 判断图形是否全等】 【例8】（25-26七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可） 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【变式8-3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是_____． 【题型9 已知全等求解】 【例9】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图， ，若,，则________． 【变式9-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【变式9-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 【变式9-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【题型10 SSS判定全等】 【例10】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【变式10-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【变式10-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【题型11 SAS判定全等】 【例11】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【变式11-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，连接，F为边上一点，连接交于点E，连接，若，则的度数为_____°； 【变式11-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型12 ASA判定全等】 【例12】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 【变式12-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，丙工程队先过点，作直线，然后在直线上方确定一点，连接，在段确定一点，连接；再以为边在下方作，并在上截取，最后以为边作，交于点．若，，则，间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，，其中的顶点与的中点重合，，分别与，交于点，．若的面积为18，则阴影部分的面积为________． 【变式12-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，猜想线段与的关系，并说明理由． 【题型13 AAS判定全等】 【例13】（25-26七年级下·全国·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【变式13-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【变式13-3】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【题型14 线段垂直平分线的性质求解】 【例14】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【变式14-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式14-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【题型15 尺规作线段的垂直平分线】 【例15】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，请在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式15-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式15-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【变式15-3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型16 尺规作已知角的角平分线】 【例16】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式16-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式16-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式16-3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【题型17 结合尺规作角平分线的求值或证明】 【例17】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【变式17-2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【变式17-3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，． (1)利用尺规作的平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的平分线． 【题型18 角平分线性质求值】 【例18】（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ． 【变式18-1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【变式18-2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式18-3】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，平分 于E，点F在边上，连接． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长度； (3)若 ，直接写出BE的长度（用含 m，n的代数式表示）． 【进阶拔高】 【题型19 三边关系与等腰三角形综合求周长】 【例19】（25-26八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是__________． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是__________． 【变式19-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）等腰三角形的两边长a、b满足，则该等腰三角形的周长是________． 【变式19-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为____________． 【变式19-3】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______． 【题型20 利用中线平分面积求三角形面积】 【例20】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）在中，D为边的中点，，交于点E，若，______________． 【变式20-1】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【变式20-2】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【变式20-3】（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，点为的边上的中点，、是边上的三等分点．已知，求的面积． 【题型21 高与角平分线夹角的角度计算】 【例21】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式21-1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，，．求： (1)的度数； (2)的度数； (3)的度数． 【变式21-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【变式21-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点A、C重合），连接交于点． (1)若是的中线，，求与的周长之差； (2)若是的高，，求的度数． 【题型22 外角与角平分线综合求角度】 【例12】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的边上一点，连接，，． (1)求的大小； (2)若，试说明：平分． 【变式22-1】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式22-2】（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，在中，，的角平分线与的外角的平分线所在的直线交于点D，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【变式22-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大______． 【题型23 折叠问题中利用内角和求角度】 【例23】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 【变式23-1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的为（    ）    A． B． C． D． 【变式23-2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式23-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将边沿着过点B的一条直线翻折，使点C落在边上的点D，展开后再将边沿着直线翻折，点C刚好落在边上的点E处，连接，则__________． 【题型24 从多根木棒中选三根组成三角形求个数】 【例24】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式24-1】（25-26七年级下·山东·期末）以，，，四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是（      ） A． B． C． D． 【变式24-2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是___个。 【变式24-3】（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【题型25 利用外角性质求多个角的和】 【例25】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的度数相同，，，则的度数为______； 【变式25-1】（25-26九年级·全国·单元测试）如图，，求的度数. 【变式25-2】（25-26八年级上·湖北黄冈·期中）求如图星形中, ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数． 【变式25-3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）七下数学页有：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出如图五角星中的度数和． 发现：直接写出七角星中，的度数和为______． 【题型26 中线与角平分线综合】 【例26】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，是边上的高，是中线，的平分线交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号） 【变式26-1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【变式26-2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【变式26-3】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为_____； (2)若，，求的度数． 【题型27 全等证明两线段相等】 【例27】（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【变式27-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【变式27-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，M，N分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式27-3】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【题型28 全等证明两角相等】 【例28】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式28-1】（24-25八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)求证：平分． 【变式28-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知，，， (1)求证：； (2)求证：． 【变式28-3】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）求证：△EPF是等腰直角三角形； （3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°； （4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC． 【题型29 全等证明两线段位置关系】 【例29】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【变式29-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式29-2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【变式29-3】（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知，在中，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：； 【题型30 全等求线段长度】 【例30】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【变式30-1】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【变式30-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【变式30-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【题型31 全等求角度大小】 【例31】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． 【变式31-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 【变式31-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接交对角线于点，连接．设，则________（用含的代数式表示）． 【变式31-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【题型32 全等求周长】 【例32】（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为________． 【变式32-1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为，若的周长为，的周长为，则的长为 （     ） A． B． C． D． 【变式32-2】（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为________． 【变式32-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【题型33 全等求面积】 【例33】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【变式33-1】（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式33-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，平分的延长线交于点，连接，若，请解决下列问题：    ①设，则___________（填“”“”“”“”或“”）； ②的面积是面积的___________倍． 【变式33-3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【题型34 全等证明线段和差关系】 【例34】（24-25八年级下·江西抚州·期中）（1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． （2）如图2，在中，平分，，，求证：． 【变式34-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式34-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【变式34-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【题型35 多次全等证同一结论】 【例35】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【变式35-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【变式35-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知在中，是的平分线，，是的中点，，交的延长线于，交的延长线于，求证：． 【变式35-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知和的顶点A公共，点B、A、E在一条直线上．． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，则______； (3)在图2的基础上将等腰绕点A旋转一个角度，得到图3，则______，并证明你的结论． 【题型36 尺规作垂直平分线并证明】 【例36】（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°． （1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：EB平分∠ABC． （3）求证：AE=EF． 【变式36-1】（25-26八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，． (1)请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点、，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【变式36-2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【变式36-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知． (1)在图1中作出边的垂直平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，已知，垂直平分线段，连接，，．求证：． 【题型37 角平分线的实际应用】 【例37】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【变式37-1】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【变式37-2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式37-3】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【创新思辨】 【题型38 利用三边关系化简含绝对值表达式】 【例38】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【变式38-1】（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）已知的三边长分别为，，，化简________． 【变式38-2】（25-26七年级下·江西萍乡·期末）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式38-3】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）（1）三角形三边长分别为3，，4，则a的取值范围是________． （2）三角形三边长分别为2，，4，则化简的结果是________． （3）已知． ①a的取值范围是________； ②如果是等腰三角形，那么的周长是__________ 【题型39 多次中线嵌套求面积】 【例39】如图，，若，则________． 【变式39-1】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为_______． 【变式39-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【变式39-3】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【题型40 经典模型（A字、8字、飞镖）求角度】 【例40】（25-26八年级上·湖南湘西·阶段检测）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式40-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【变式40-2】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【变式40-3】（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________． 【题型41 中线、高、角平分线综合角度与线段计算】 【例41】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式41-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中正确的是__．（填序号） ①；②；③；④． 【变式41-2】（25-26七年级下·陕西·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，是中线，平分，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式41-3】（25-26七年级下·河北石家庄·期末） 如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC=2BF；②∠CAE=∠CAB；③BE=CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB=S△ADC．其中错误的是______(只填序号)； （2）若∠C=70°，∠ABC=28°，求∠DAE的度数．    【题型42 外角性质与平行线综合角度证明】 【例42】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为_____________. 【变式42-1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，将一副三角尺的两边靠在一起，两个直角顶点放在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式42-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点． (1)_______°； (2)求证：平分； (3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数． 【变式42-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：； (2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【题型43 含参数的三角形分类讨论】 【例43】（25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【变式43-1】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）两个直角三角形如图摆放，，，，点在上，点与点重合，平分，现将绕着点F顺时针旋转（），当的一边与的一边平行时（不考虑重合），则旋转角________． 【变式43-2】（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【变式43-3】（25-26七年级下·山东日照·期末）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系可能是：________． ①；②；③；④． 【题型44 连接两点构造全等】 【例44】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【变式44-1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式44-2】（25-26七年级·全国·单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分. 【变式44-3】（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【题型45 倍长中线构造全等】 【例45】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，是的中线，交于点，交于点，且，若，，则线段的长是________． 【变式45-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【变式45-2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式45-3】（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【题型46 动点构造全等求解】 【例46】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【变式46-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【变式46-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【变式46-3】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中， ， ，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：   (1)当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） 当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） (2)用含的代数式表示的面积； (3)当点在上运动时： ①计算说明：当为何值时，？ ②当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，直接写出当与全等时，的数值． 【题型47 旋转构造全等】 【例47】（25-26八年级下·山东淄博·期中）点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【变式47-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【变式47-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式47-3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（　　　） A．5.5 B．6 C．7.5 D．8 【题型48 截长补短构造全等】 【例48】 中，AD是 的平分线，且.若，则 的大小为 （     ）． A． B． C． D． 【变式48-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式48-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【变式48-3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【题型49 利用全等三角形解决实际问题】 【例49】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【变式49-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 小颖和小娜一起玩秋千，开始时小颖坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 小颖坐在秋千的起始位置A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，小娜在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小颖距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 若规定户外秋千设置高度在以内为合理，则小颖所在小区的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【变式49-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施   ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【变式49-3】（25-26八年级上·广西北海·期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 【题型50 半角模型】 【例50】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式50-1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【变式50-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【变式50-3】（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【题型51 手拉手模型】 【例51】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式51-1】（2025·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____． 【变式51-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【变式51-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $