精品解析：河南省九师联盟2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 下列命题错误的是（ ） A. 零向量不能作为直线的一个方向向量 B. 若向量是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量 C. 在长方体中，是底面的一个法向量 D. 单位向量都相等向量 4. 若平面，的法向量分别为，，则平面与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 5. 已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是四边形内部的一点，且平面与平面的夹角为，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则点为的一个三等分点 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于轴对称的点的坐标为______. 13. 在空间直角坐标系中，轴上一点到点和的距离相等，则点的坐标为______. 14. 如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的法向量. （1）若，求的最小值； （2）若，求，的值. 16. 已知是空间一个基底，向量. （1）证明：是空间另一个基底； （2）用基底表示向量． 17. 如图，在平行六面体中，，且，. （1）分别求，的长； （2）证明：. 18. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，，为的中点，. （1）证明：平面； （2）当时，求的中点到平面的距离； （3）当直线与平面所成的角为时，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：A 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在面上的射影及空间向量的模求解. 【详解】因为是点在坐标平面内的射影， 所以，， 所以， 故选：B 3. 下列命题错误的是（ ） A. 零向量不能作为直线的一个方向向量 B. 若向量是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量 C. 在长方体中，是底面的一个法向量 D. 单位向量都是相等向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量方向判断A，根据共线向量判断B，根据长方体的性质判断C，根据单位向量概念判断D. 【详解】由直线的方向向量规定为一个非零向量，所以不能作为直线的一个方向向量，故A正确； 向量是平面的一个法向量,则共线向量也是平面的一个法向量，故B正确； 在长方体中，因为侧棱与底面垂直，所以是底面的一个法向量，故C正确； 单位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D错误. 故选：D 4. 若平面，的法向量分别为，，则平面与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算判断向量是否平行或垂直，从而可判断平面与的位置关系. 【详解】平面，的法向量分别为，， 则不平行，则平面，不平行， 又，则平面，不垂直， 故平面与相交但不垂直. 故选：C. 5. 已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据法向量性质利用数量积求解. 【详解】因为是平面的一个法向量， 所以， 故， 即， 故选：B 6. 如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解. 【详解】连接，如图， 由题意可知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 由，，知为的中点，则，, ,， 设平面的一个法向量， 则，令，则，即， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：C 7. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由共面可知，存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A 8. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是四边形内部一点，且平面与平面的夹角为，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面与平面的夹角为，知点在以为端点的一条线段上，再利用向量法求解。 【详解】如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则. 由平面与平面的夹角为，知点在以为端点的一条线段上， 设直线与轴的交点为，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， 则取，故平面的一个法向量为. 又由平面与平面的夹角为，得， 解得，所以点的轨迹的长度为. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用向量夹角公式可得；对于B：先得到的坐标，再平方即得答案；对于C：利用平行四边形的面积公式可得；对于D：利用投影向量公式可得. 【详解】选项A：计算数量积：， 模长：，， 夹角余弦：， 因此 ，故选项A正确； 选项B：计算：，， 模长：，故选项B错误； 选项C：以，为邻边的平行四边形的面积，故选项C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为：， ，， 代入得：，故选项D错误. 故选：AC 10. 如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算逐项计算即可判断. 【详解】由，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则（ ） A. 的长度的最大值为 B. 若平面，则点为的一个三等分点 C. 平面截正方体所得截面的周长为 D. 直线与平面所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点间距离公式、线面垂直的性质、正方体截面的性质，结合空间向量夹角公式、基本不等式逐一判断即可. 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，当时，的长度的最大值为， 此时点与点重合，故本选项正确； B：，设平面的法向量为， ，， 所以有，可取， 当平面时，则有，则有， 即，，， 显然，所以点为的一个三等分点，因此本选项正确； C：如上图所示：截面是五边形， 显然， 由平面几何知识可知， 因为，所以， 得，同理，可得， 于是，， ，， 所以平面截正方体所得截面的周长为，因此本选项说法不正确； D：由上可知平面的法向量为，， 直线与平面所成角的正弦值为， 因为， 所以有，当且仅当时取等号， 于是有，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此本选项说法正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于轴对称的点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的定义，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴对称的点的坐标为. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，轴上一点到点和的距离相等，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据空间向量的坐标求两点距离列方程即可得所求. 【详解】设，因为， 所以，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的法向量. （1）若，求的最小值； （2）若，求，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解； （2）由，得到，结合共线向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量， 若，则，可得，所以， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 解：若，可得，所以， 可得，由，代入可得. 16. 已知是空间的一个基底，向量. （1）证明：是空间的另一个基底； （2）用基底表示向量． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基底的定义，借助反证法推理得证. （2）利用空间向量基本定理列式求解. 小问1详解】 由是空间的一个基底，得不共面， 假设向量共面，则必存在唯一的实数对，使得， 即，则共面，与不共面矛盾，因此不共面， 所以是空间的另一个基底. 【小问2详解】 用基底表示向量，则， 又，因此，解得， 所以. 17. 如图，在平行六面体中，，且，. （1）分别求，的长； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【小问1详解】 因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， 【小问2详解】 ， 所以． 18. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，，为的中点，. （1）证明：平面； （2）当时，求的中点到平面的距离； （3）当直线与平面所成的角为时，求的值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，在平面找一个向量与共线，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）利用点到平面的距离公式求解即可； （3）利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 是边长为的正方形，，又平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 为中点，，取的中点，则， 所以， ，，平面，平面 //平面 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为 则令，则，得 当时，为的中点， 设的中点为，则， 点到平面的距离． 故的中点到平面的距离. 【小问3详解】 ， ， ，由（2）知平面的一个法向量 设直线与平面所成的角为，则 即，解得或（舍去）， 故当时，直线与平面所成的角为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. （1）证明：平面； （2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）（ii）不存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直证明线线垂直，再综合证明线面垂直即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用空间向量求二面角的最值即可；（ii）先求四棱锥的外接球球心，再证明点不在该球上即可. 【小问1详解】 证明：因为，所以，所以，故． 又平面，所以平面． 又平面，所以． 因为，所以， 所以，即． 又平面，所以平面． 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，由，得． 又在长方形外，和均为锐角， 所以．可化为， 两边平方后，整理得， 故，整理可得． （i）设平面的法向量为，由， 得取，得， 故平面的一个法向量为． 设平面的法向量为． 得取，得， 故平面的一个法向量为． 则． 令，则，所以． 由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为． （ii）设和交于点，则． 若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心，必有． ，解得，， 则． 又，所以，解得或， 由题知，且，即，但都不在这个范围内， 故不存在点，使得五棱锥存在外接球． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $