精品解析：河北省廊坊市文安县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

河北省高二年级10月份联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 3. 设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 10 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，边长为4的等边三角形是圆锥的轴截面，是半圆的中点，是母线的中点，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l过点，则（ ） A. 直线l倾斜角的最大值为 B. 直线l倾斜角的最小值为 C. 直线l倾斜角的最大值为 D. 直线l倾斜角的最小值为 8. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（ ） A. B. C. D. 10. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 11. 如图，在正方体中，E，F在线段上，且是线段的中点，H在侧面内，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为定值 C. 当时，点H的轨迹长度为2 D. 异面直线与所成角的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线，若，则____________． 13. 在四棱柱中，底面是平行四边形，E是线段上的一点，若，则____________． 14. 已知点，直线与线段有公共点，则a的取值范围是____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 16. 已知O为坐标原点，过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）若，求直线l的一般式方程； （2）若的面积为16，求直线l的斜截式方程； （3）求面积的最小值． 17. 如图，在四棱柱中，四边形是菱形，是棱的中点．设． （1）用表示； （2）证明：平面． 18. 如图，在三棱柱中，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，． （1）证明：//平面． （2）求点到平面的距离． （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在平面四边形中，，将沿翻折至，使得． （1）证明：． （2）已知，三棱锥外接球的球心为O，球O的半径为，E为棱的中点，F为棱上的动点． ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省高二年级10月份联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法运算即可求解. 【详解】由题意可得． 故选：C. 2. 直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的一般方程可直接求得其斜率. 【详解】由题意可得直线的斜率是． 故选：D 3. 设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，则，解得． 故选：B. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的运算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为，其坐标为． 故选：D. 5. 如图，边长为4的等边三角形是圆锥的轴截面，是半圆的中点，是母线的中点，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】连接，依题意得平面，进而，再根据向量的数量积公式计算即可. 【详解】如图，连接，依题意可得， 因为底面，底面，所以， 又平面，所以平面， 底面，则， 因为是母线的中点，所以，, 所以． 故选：A. 6. 如图，在正四棱台中，分别是棱的中点．若正四棱台的体积是28，则点E到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点到直线的距离即可. 【详解】设正方形的中心分别为，棱的中点为H，连接，易证两两垂直， 则以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为正四棱台的体积是28，所以， 即，解得，则， 所以，故点E到直线的距离． 故选：C 7. 已知直线l过点，则（ ） A. 直线l倾斜角的最大值为 B. 直线l倾斜角的最小值为 C. 直线l倾斜角的最大值为 D. 直线l倾斜角的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间的斜率公式求解即可. 【详解】因为,则直线斜率存在，由直线斜率的计算公式可得直线l的斜率． 设该直线l的倾斜角为，则，且，则， 即直线l倾斜角的最小值为． 故选：D 8. 在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用空间向量法求出点P到平面的距离即可. 【详解】如图，取棱的中点F，连接， 则点P在平面的投影H在线段上，且， 连接，作，交线段于点G，易证两两垂直， 则以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，所以． 因为，所以， 所以，所以． 设平面的法向量为，则令，得， 故点P到平面的距离是． 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理以及基底的定义依次判断选项即可. 【详解】因为，所以向量共面，则不是空间的一个基底． 因为构成空间的一个基底，所以向量不共面，设，则无解，所以不共面，则是空间的一个基底． 因为构成空间的一个基底，所以向量不共面，设，则,无解， 所以不共面，所以是空间的一个基底． 因为，所以共面，则不是空间的一个基底． 故选：BC 10. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量法依次判断线面平行，线线平行，线面垂直，线线垂直即可. 【详解】． 设平面的法向量为，则 令，得．因为， 所以，又不在平面内，所以平面，A正确． 因为，所以直线与不平行，B错误． 因为，所以，所以平面，C正确． 因为，所以，即，D正确． 故选：ACD 11. 如图，在正方体中，E，F在线段上，且是线段的中点，H在侧面内，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为定值 C. 当时，点H的轨迹长度为2 D. 异面直线与所成角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证明线线垂直即可判断A选项；几何法求出二面角的余弦值即可判断B选项；利用线面垂直，找到面与面的交线为点H的轨迹，判断C选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角的范围即可判断D选项. 【详解】如图，连接，易证平面．因为平面，所以，A正确． 连接，，记的中点分别为M，N，则M为线段的中点，连接， 易证平面，则为二面角的平面角． 因为，所以，所以，B错误． 分别取棱的中点Q，P，连接，易证平面． 因为，所以平面． 因为，所以点H的轨迹为线段，则点H的轨迹长度为2，C正确． 以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以． 设，则，所以， 所以． 设，则． 因为，所以，所以，所以， 所以，则， 即异面直线与所成角的取值范围是，D正确． 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 13. 在四棱柱中，底面是平行四边形，E是线段上的一点，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线可得，再由向量加、减运算法则可得，得出结果. 【详解】连接，如下图所示： 因为B，E，D三点共线，所以， 则． 因为，所以， 则． 故答案为： 14. 已知点，直线与线段有公共点，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】易知直线l过定点，结合的斜率得出不等式，求得的范围即可. 【详解】由，得． 令得则直线l过定点， 故． 显然直线的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，如下图所示： 则，即， 解得． 因此a的取值范围是. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解； （2）由向量数量积的坐标运算列方程即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． 【小问2详解】 由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以， 解得或． 16. 已知O为坐标原点，过点的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点． （1）若，求直线l的一般式方程； （2）若的面积为16，求直线l的斜截式方程； （3）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）12 【解析】 【分析】（1）首先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可求解； （2）设直线的点斜式方程，求出的坐标进而表示出的面积，解出即可； （3）写出的面积，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为直线l经过点，所以直线l的斜率， 则直线l的方程为，则直线l的一般式方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线l的斜率存在且为负数，则可设直线. 令，得，则点B的坐标为， 令，得，则点A的坐标为， 则的面积为． 因为的面积为16，所以，即， 即，解得或， 当时，直线方程为，整理得； 当时，直线方程为，整理得， 故所求直线的斜截式方程为或； 【小问3详解】 由（2）可知的面积为． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 故，即面积的最小值为12． 17. 如图，在四棱柱中，四边形是菱形，是棱的中点．设． （1）用表示； （2）证明：平面． 【答案】（1）， （2）证明:因为， 所以． 由（1）可证， 则， 故，即． 因为， 所以， 所以，即． 因为平面平面，且，所以平面． 【解析】 【分析】（1）结合空间向量的加减运算法则，根据空间向量基本定理用基底表示向量即可. （2）利用空间向量的数量积运算律求得，，则有，．然后利用线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为E是棱的中点，所以， 则． 连接，因为四边形是菱形，所以四边形是菱形，所以， 则． 【小问2详解】 略. 18. 如图，在三棱柱中，四边形是正方形，四边形是菱形，且分别是棱的中点，． （1）证明：//平面． （2）求点到平面的距离． （3）在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意，， 所以， 由得，故 则以为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向， 垂直平面向上的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 所以． 设平面的法向量为， 则令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． （2） （3）存在，或，理由如下： 设， 又，则． 因为直线与平面所成角的正弦值为，所以， 所以，即， 所以，即，解得或， 则或． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理及勾股定理得，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法得，从而证明线面平行； （2）利用向量法求解点到平面的距离； （3）设，则，利用线面角的向量公式列式求得或，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，则，由（1）． 则点到平面的距离． 【小问3详解】 略 19. 在平面四边形中，，将沿翻折至，使得． （1）证明：． （2）已知，三棱锥外接球的球心为O，球O的半径为，E为棱的中点，F为棱上的动点． ①求三棱锥的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为平面平面，且， 所以平面． 因为平面，所以． 在平面四边形中，，所以，所以． 因为平面平面，且，所以平面． 因为平面，所以． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，结合线面垂直的性质即可证明结论. （2）①由题可得三棱锥外接球的球心O为线段的中点，从而得到，利用边长关系求出，结合锥体的体积公式即可求解； ②由（1）可知两两垂直，则以A为坐标原点，的方向分别为x，y的正方向，过点且垂直平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面与平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可知，则三棱锥外接球的球心O为线段的中点． 因为球O的半径为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由（1）可知平面，则三棱锥的体积为． ②由（1）可知两两垂直，则以A为坐标原点，的方向分别为x，y的正方向，过点且垂直平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面的夹角为， 则 ． 令，则， 则． 因为，所以，所以，所以， 所以，所以． 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $