精品解析：湖南省郴州市桂阳县2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季八年级数学第一次学情检测试题卷 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列从左边到右边变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 一种“绿色”光刻胶的精度可达0.000 000 014 米．数字0.000 000 014用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算：①；②；③；④ ，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将多项式进行因式分解，其中正确的是（ ） A. B. C D. 6. 如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 7. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 对任意整数n，都能（ ） A 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 9. 若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 10. 乘积应等于（ ） A B. C. D. 二、填空题（共8个小题，没小题3分，共24分） 11. 若代数式的值等于，则______． 12. 因式分解：______． 13. 若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________． 14. 当_______时，分式与的值互为相反数． 15. 长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 16. 甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，高速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多45km，从甲地到乙地的行驶时间是原来的．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则可得方程___________． 17. 若分式方程有增根，则m的值是________． 18. 若实数满足，则代数式值为______． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 因式分解： （1）． （2） 20. 解方程：． 21. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 22. 阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： （1） （2） 23. 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值． 24. 春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．在购买树苗时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元； （2）现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，至少购买多少棵乙种树苗？ 25. 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 分解因式： （1） 若，求的最小值 （2） ∵，，∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长． 26. 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当时，求代数式的最小值 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级数学第一次学情检测试题卷 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键． 利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A.等式的右边不是积的形式，故选项错误； B. 等式右边是积的形式且因式分解正确，故选项正确； C.等式的右边不是积的形式，故选项错误； D.等式的右边不是积的形式，故选项错误． 故选：B． 2. 一种“绿色”光刻胶的精度可达0.000 000 014 米．数字0.000 000 014用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算：①；②；③；④ ，其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的意义，零指数幂的意义． 根据负整数指数幂的意义，，以及零指数幂的意义即可判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算正确； ③，故原计算错误； ④，故原计算正确． 故正确的是：②④． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，考核学生的计算能力，牢记这些法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘法则、幂的乘方、同底数幂乘除法计算依次判断即可． 【详解】解：，该选项不正确，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项正确，符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 将多项式进行因式分解，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 6. 如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，把分式中的x和y都扩大为原来的倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中x和y都扩大为原来的倍，形成的新分式为： ， 即分式的值不变． 故选：D． 7. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查解分式方程，将方程两边同时乘以最简公分母即可去分母，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键 【详解】解： 去分母得 故选：D 8. 对任意整数n，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解，根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴故一定能被3整除， 故选：A． 9. 若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的除法运算，直接利用幂的乘方运算法则将已知变形，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 10. 乘积应等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是利用平方差公式对每个括号内的式子进行因式分解，然后通过约分计算出结果． 利用平方差公式将每个分解为，然后展开式子，通过约分计算出最终的乘积． 【详解】解：根据平方差公式，对进行因式分解可得：．那么原式可转化为： ． 二、填空题（共8个小题，没小题3分，共24分） 11. 若代数式的值等于，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分式值为可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， 若代数式的值等于，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；由完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________． 【答案】﹣7 【解析】 【详解】∵x+y=1，xy=﹣7， ∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7. 14. 当_______时，分式与的值互为相反数． 【答案】18 【解析】 【分析】根据相反数的定义列方程，解此方程即可得出答案. 【详解】根据题意得： 解方程x=18， 经检验：x=18是原方程的解， 故答案为18 【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法并进行检验是解题关键·. 15. 长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：． 16. 甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，高速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多45km，从甲地到乙地的行驶时间是原来的．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则可得方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据时间关系列出分式方程． 先求出原来国道的长度以及长途汽车在高速公路上的速度，再根据“从甲地到乙地的行驶时间是原来的”这一关系列出方程． 【详解】解：已知高速公路全长，比原来国道的长度少了，所以原来国道的长度为， 设长途汽车在原来国道上行驶的速度为，因为高速公路通车后，长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多，所以在高速公路上的速度为， 根据时间路程速度，原来在国道上行驶的时间为小时，在高速公路上行驶的时间为小时， 又因为从甲地到乙地在高速公路上的行驶时间是原来在国道上的， 所以可列方程． 故答案：． 17. 若分式方程有增根，则m的值是________． 【答案】或； 【解析】 【分析】由分式方程有增根，得到，代入整式方程计算即可求出m的值； 【详解】解：∵， 去分母得：； ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则； 故答案为：或； 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 18. 若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据，可得，从而得到，再把原式变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2024 三、解答题（共8题，共66分） 19. 因式分解： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）等因式分解的方法，并能根据式子的特点选择合适的方法进行因式分解． （1）先观察式子各项，发现都有公因式3，提取公因式后，括号内的式子符合完全平方公式的形式，再用完全平方公式进行因式分解． （2）把25写成，式子就符合平方差公式的形式，然后用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：： ． ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程：． 【答案】是增根，原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是通过去分母将分式方程化为整式方程求解，最后要进行检验． 先将方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程，求解整式方程后，检验所得的解是否使原分式方程的分母为零，若使分母为零，则为增根，原方程无解． 【详解】解：， ， 即， 合并同类项得：， 解得， 检验：当时，，所以是增根，原分式方程无解． 21. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）正方形空地面积减去四个小正方形面积求出草坪的面积， （2）因式分解后将a与b的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，草坪的面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 草坪的面积为平方米 22. 阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【小问1详解】 解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； 【小问2详解】 解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 23. 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，注意根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴ 取，则 24. 春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动．在购买树苗时发现，甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了，用1800元购买甲种树苗的棵数比用1800元购买乙种树苗的棵数少10棵． （1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元； （2）现需要购买甲、乙两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，至少购买多少棵乙种树苗？ 【答案】（1）甲种树苗的单价是90元，乙种树苗的单价是60元 （2）至少购买70棵乙种树苗 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元，由题意得，求解即可得出答案； （2）设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗，由题意得，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙种树苗的单价是元，则甲种树苗的单价是元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲种树苗的单价是90元，乙种树苗的单价是60元； 【小问2详解】 设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗， 由题意得， 解得． 答：至少购买70棵乙种树苗． 25. 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 分解因式： （1） 若，求的最小值 （2） ∵，，∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； （3）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长． 【答案】（1） （2）当，时，多项式有最小值为3 （3）12 【解析】 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b、c，可求出答案. 【小问1详解】 解： = ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴当 ， 时，多项式有最小值为3； 【小问3详解】 解：， 变形为 ， 整理得， ， 所以周长． 26. 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当时，求代数式的最小值 ． 【答案】（1） （2）或0 （3）3 【解析】 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【小问1详解】 解：设，则， ∴原式， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； 【小问3详解】 解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $