精品解析：河北省唐山市玉田县林东中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2025年秋九年级数学月考测试 ・九上第23～24章・ 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写．12． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 一组数据：5，6，6，7，8，这组数据的众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列每组数的平均数为负数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 若是方程 的两个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 6. 如图是嘉淇记录的个整点时刻的气温统计图，则这个整点时刻的气温的中位数是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 若关于的一元二次方程，用下列选项中的数字替换，能使方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 11. 某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（ ） A. 28 B. 36 C. 44 D. 48 12. 如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 方程的解为 _______. 14. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”是蛇的形象表达，如图所示．在对某校九年级学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有50名．若该校共有九年级学生1000名，据此样本估计，该校知道上述传统文化知识的九年级学生大约有______名． 15. 某电视台招募主持人，甲候选人的综合专业素质、普通话、才艺展示成绩如表所示，根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为______分． 测试项目 综合专业素质 普通话 才艺展示 测试成绩 86 90 90 16. 如图，将一边长为的正方形纸片沿裁剪线（图中虚线）剪成四块，恰能拼成一个矩形，则其中的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 18. 一组数据：，，，，，，已知这组数据的平均数是． （1）求，，三个数的和； （2）求，，的平均数． 19. 嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：整理，得，…………① ，，，…………② ，…………③ ，…………④ ，．…………⑤ （1）嘉嘉解该方程的方法是　　　　　　（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”），她的求解过程是从第　　　　　　（填序号）步开始出现错误； （2）请用和嘉嘉相同的方法，写出正确的解题步骤． 20. 某校九年级一班随机调查了本学期本班部分学生每周户外活动时间的情况，收集并整理数据后得到如下统计表和统计图． 时间/小时 4 5 6 7 人数 6 9 7 （1）求出本次调查学生的总人数及统计表中的值； （2）已知该校九年级共有900名学生，请估计九年级本学期每周户外活动时间是4小时的学生人数； （3）九年级一班班长随后又补查了本班另外几人每周户外活动时间的情况，发现这几人每周户外活动时间恰好相同．若将其与之前的数据合并，班长发现活动时间的众数变成了另外一个数，则班长补查的人数最少为　　　　　　人． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根，其中为正整数． （1）求出的最大值； （2）若原一元二次方程的两个根均为有理数，请求出符合要求的的值，并求出此时方程的根． 22. 为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为，宽为的矩形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值； （3）方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 23. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是______分； （2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分； （3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 24. 如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； （2）在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； （3）如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； （4）设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋九年级数学月考测试 ・九上第23～24章・ 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写．12． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 2. 一组数据：5，6，6，7，8，这组数据的众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，掌握众数的定义是解题关键．根据众数指一组数据中出现次数最多的数据，即可得到答案． 【详解】解：一组数据：5，6，6，7，8，其中出现了两次，次数最多， 即这组数据的众数是6， 故选：B． 3. 关于的一元二次方程的常数项被墨迹覆盖，已知是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，设常数项为，然后把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：设常数项为，将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 4. 下列每组数的平均数为负数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和负数，利用平均数的计算公式求出每一组数据的平均数，再根据负数的定义判断即可求解，掌握平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：、平均数为，是正数，该选项不合题意； 、平均数为，是负数，该选项符合题意； 、平均数为，是正数，该选项不合题意； 、平均数为，是正数，该选项不合题意； 故选：． 5. 若是方程 的两个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 6. 如图是嘉淇记录的个整点时刻的气温统计图，则这个整点时刻的气温的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，根据中位数的概念求解，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列：、、、、、、、， ∴中位数为 ， ∴气温的中位数是， 故选：． 7. 用配方法解关于的一元二次方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ，   故选：B． 8. 甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程，用下列选项中的数字替换，能使方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由于方程有实数根，则，解不等式即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 符合题意的只有 故选：A． 10. 我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　） A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这批椽的数量为，则每株椽的价格为，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：设这批椽的数量为，则每株椽的价格为， 依题意得：． 故x表示这批橡的数量， 故选：B． 11. 某校八年级5名学生参与爱心捐款．若这5名学生捐款的中位数是8元，唯一的众数是10元，他们捐款的总额可能是（ ） A. 28 B. 36 C. 44 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，确定捐款总额的范围，即可求解， 本题考查了中位数和众数，解题的关键是：正确理解中位数和众数． 【详解】解：由题意得：捐款数从小到大排列，第三个数是8，第四个和第五个都是10， ∵10是唯一的众数， ∴设第一个数为，第二个数为，则， ∴捐款总额， ∴捐款的总额可能是36元， 故选：B． 12. 如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形性质可得，，，由旋转的性质可得，， 证明，从而得到，，继而得到，再由勾股定理可得，然后设设，则，，，然后根据勾股定理，再解方程即可求解． 【详解】解：连接， 正方形的面积为8，设正方形的边长为， ， 解得， 则正方形的边长为， 对角线， 绕点顺时针旋转90°得到， ， 又， 所以， 又， 所以， 且，设，则， 在中，，，， 由，得， 解得，（负值舍去）， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 方程的解为 _______. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵x（x-1）=0， ∴x=0或x-1=0． ∴， 故答案为： 14. 2025年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”是蛇的形象表达，如图所示．在对某校九年级学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了200名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有50名．若该校共有九年级学生1000名，据此样本估计，该校知道上述传统文化知识的九年级学生大约有______名． 【答案】250 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用1000乘以样本中知道上述传统文化知识的学生人数占比即可得到答案． 【详解】解：名， ∴该校知道上述传统文化知识的九年级学生大约有250名， 故答案为：250． 15. 某电视台招募主持人，甲候选人的综合专业素质、普通话、才艺展示成绩如表所示，根据实际需求，该电视台规定综合专业素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为______分． 测试项目 综合专业素质 普通话 才艺展示 测试成绩 86 90 90 【答案】88 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数公式计算甲的最终成绩即可得出答案． 【详解】解：（分）． 甲候选人的最终成绩为88， 故答案为：88． 16. 如图，将一边长为的正方形纸片沿裁剪线（图中虚线）剪成四块，恰能拼成一个矩形，则其中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由图形观察可知，拼成的矩形的长为，宽为，从而得，然后解方程并检验即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图形观察可知，拼成的矩形的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由题可知， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，并能灵活选择合适的解法进行求解是解题的关键． （）根据配方法解方程即可； （）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 18. 一组数据：，，，，，，已知这组数据的平均数是． （1）求，，三个数的和； （2）求，，的平均数． 【答案】（1），，三个数的和为； （2），，的平均数为． 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，正确掌握算术平均数的计算公式是解题的关键． （）由题意得，然后求出即可； （）由（）得，然后通过算术平均数即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， ∴， ∴，，三个数的和为18； 【小问2详解】 解：由（）得， ， ∴，，的平均数为． 19. 嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：整理，得，…………① ，，，…………② ，…………③ ，…………④ ，．…………⑤ （1）嘉嘉解该方程的方法是　　　　　　（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”），她的求解过程是从第　　　　　　（填序号）步开始出现错误； （2）请用和嘉嘉相同的方法，写出正确的解题步骤． 【答案】（1）公式法，； （2） 解：整理，得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程 解题的关键． （）根据公式法解方程步骤分析即可； （）根据公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：嘉嘉解该方程的方法是“公式法”，她的求解过程是从第步开始出现错误， 故答案为：公式法，； 【小问2详解】 略 20. 某校九年级一班随机调查了本学期本班部分学生每周户外活动时间的情况，收集并整理数据后得到如下统计表和统计图． 时间/小时 4 5 6 7 人数 6 9 7 （1）求出本次调查学生的总人数及统计表中的值； （2）已知该校九年级共有900名学生，请估计九年级本学期每周户外活动时间是4小时的学生人数； （3）九年级一班班长随后又补查了本班另外几人每周户外活动时间的情况，发现这几人每周户外活动时间恰好相同．若将其与之前的数据合并，班长发现活动时间的众数变成了另外一个数，则班长补查的人数最少为　　　　　　人． 【答案】（1）总人数为36人，的值为14 （2）九年级本学期每周户外活动时间是4小时的学生人数为150人 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，扇形统计图，众数的定义； （1）根据活动6小时的为9人，占调查学生的，求出调查学生的总数；再用减法求出的值； （2）先求出4小时占调查学生的百分之几，再用乘法求出结果； （3）根据活动5小时为14人和活动6小时为9人，即可进行解答． 【小问1详解】 解：参与调查的学生人数：（人）， （人）． 故答案为：36，14． 【小问2详解】 九年级本学期每周户外活动时间是4小时的学生人数为：人 【小问3详解】 补查的人数最少为（人）． 故答案为：． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根，其中为正整数． （1）求出的最大值； （2）若原一元二次方程的两个根均为有理数，请求出符合要求的的值，并求出此时方程的根． 【答案】（1） （2）的值为或；时，，；时，， 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）根据（）中的取值范围求出的值，进而逐个代入方程，求出方程的解，再根据解的情况确定出符合要求的值即可； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵原一元二次方程有实数根， ， 解得， 为正整数， 的最大值为； 【小问2详解】 解：由（）知， ∵为正整数， 的值为或或或， 当时，方程为， 解得，，是无理数，不合题意； 当时，方程为， 解得，，是有理数，符合题意； 当时，方程为， 解得，，是无理数，不合题意； 当时，方程为， 解得，，是有理数，符合题意； 综上，的值为或，时，，；时，，． 22. 为实现“全民健身”，某区政府准备开发城北一块长为，宽为的矩形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，则这块草坪的面积为________； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽度为的小路，使这块草地的面积为，求的值； （3）方案三：修建一个面积为的矩形篮球场，使相邻两边的差为6m，若比赛用的篮球场要求长为，宽为，且满足．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3） 这个篮球场能用做比赛， 理由如下：设矩形较短的边为，则较长的边为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以较长的边为， ∴满足比赛场地的要求． 这个篮球场能用做比赛． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）用矩形空地的面积减去小路的面积即可； （2）根据草地的面积为列方程求解即可； （3）设矩形较短的边为，则较长的边为，根据面积为列方程求解即可． 【小问1详解】 由平移的性质可知，小路的面积等于长为21米，宽为1米的矩形， ∴草坪的面积为． 故答案为：651； 【小问2详解】 由题意可得， 解得（舍去）． 的值为1； 【小问3详解】 略 23. 心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是______分； （2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分； （3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 【答案】（1）10 （2）9，9.5 （3）1班得分为分，2班得分为分，2班获胜 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、众数、中位数、平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据平均数相等即可得出答案； （2）由众数和中位数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的定义列式计算，从而得出答案． 【小问1详解】 解：∵1班平均分为（分）， ∴2班平均分也为9分， ∴评委丙给2班的打分为（分）． 故答案为：10； 【小问2详解】 解：1班成绩的众数为9分． 2班成绩从小到大排列为7，9，10，10， ∴2班成绩的中位数为（分）． 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据扇形统计图中圆心角的度数，得甲所对的圆心角为， ∴四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：． 1班得分为（分）． 2班得分为（分）． ∵， ∴2班获胜． 24. 如图1～图3，在矩形中，，，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿的路线移动，到达点时停止；点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向到达点时停止．已知，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）当点在边上运动时，用含的代数式分别表示和的长； （2）在（1）的条件下，当五边形的面积为25时，求的值； （3）如图2和图3，点沿的路线运动到点的过程中，当的面积为1时，求的值； （4）设矩形对角线的交点为，在，运动过程中，直接写出点落在内部（包括边界）的时长． 【答案】（1）， （2） （3）的值为7 （4）2秒 【解析】 【分析】本题主要考查动点线段长，面积问题，熟悉一次及二次函数是解题的关键． （1）根据题意写出线段长即可； （2）先求矩形的面积，再利用得出面积表达式，再代入求解，注意取舍； （3）分点在线段上和点在线段上，结合图形得到面积求解； （4）分，，，，，结合图形判断即可； 【小问1详解】 当点在边上运动时， ， 则， ； 【小问2详解】 矩形的面积为， ， 则， 又五边形的面积为25， 所以，即，解得或， 又时，点不在边上， 所以的值为1； 【小问3详解】 点沿的路线运动到点的过程中， ①当点在线段上时，，， 此时是的高， ，解得， 当时，， 故点不在线段上，不符合题意； ②当点在线段上时， ，，， ， 解得或， 时，，符合题意； 时，，不符合题意， ， 综上，当的面积为1时，求的值为7． 【小问4详解】 当时，在线段上，如图，易得点在外部， 当时，在线段上，如图， 此时， 当时，过点， 所以此时点在外部， 当时，在中点，在中点，如图， 此时在上， 当时， ，如图， 当时，过点， 所以此时点在内部， 当时，此时在线段上， 此时点在外部， 综上，时，此时点在内部，共2秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $