精品解析：吉林省长春市吉林省第二实验高新学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

第一阶段学习达标检测数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 0.008的立方根是（ ） A. B. C. 0.2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立方根的概念，熟练掌握此概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根为0.2， 故选：C． 2. 实数，，，，，，中，无理数的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是有理数与无理数之和，有理数与无理数之和仍为无理数，故属于无理数； 综上，无理数有，，，共个． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法与除法，幂的乘方及积的乘方，掌握这些运算法则是解题的关键；依据上述幂的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算不正确，不符合题意； C、，计算不正确，不符合题意； D、，计算不正确，不符合题意； 故选：A． 4. 在实数、、0、中，最大的实数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较；根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵在实数、、0、中， ∴最大的实数是， 故选：C． 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 6. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一个数的算术平方根的估值，解题关键是掌握估值方法，即确定它的整数部分． 7. 计算结果等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了积的乘方，逆用积的乘方即可解答． 【详解】解： ， 故选：B． 8. 已知是一个完全平方式，则k的值是（　　） A. 8 B. ±8 C. 16 D. ±16 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式：，逆用此公式即可确定k的值而得解． 【详解】解：根据题意，原式是一个完全平方式， ∵， ∴原式可化成＝， 展开可得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查了完全平方公式，准确理解完全平方式的概念，熟练运用分类思想与公式的正用、逆用是解题的关键． 二、填空题 9. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 10. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用．先变形得出，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 12. 已知，，，比较的大小关系是_______（用“>”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的大小比较，根据幂的乘方，化成同指数的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．易证是的垂直平分线，已知是的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质可得， ，根据等边对等角得出， ，根据外角的性质可得 ， 最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：为的中点， ， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 _____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质和判定可判断①，通过证明和可得，，即可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，通过全等三角形的面积相等可判断④． 【详解】解：过点作于点， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，、 ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵由②可知：， ∴，， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 三、计算题 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方、立方根、算术平方根、绝对值的性质计算，再合并即可得出答案． 【详解】解： ． 16. 计算： （1）· （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟记整式运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算单项式乘法即可； （2）先根据乘法公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：· · ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公进行计算．解题的关键是构造平方差公式． （1）将3变为，构造平方差公式进行计算即可． （2）将变为，构造平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当，时，原式=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 一个数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，试求这个数． 【答案】49. 【解析】 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是3a+2和a+14， ∴（a+3）+（2a﹣15）=0， a=4， a+3=4+3=7． 7的平方是49． ∴这个数是49． 20. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方法则将变形为，再利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则得到，从而得解； （2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，再把（1）中的结论代入求值即可. 【小问1详解】 解：，，， ， ， ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题 21. 方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”． （1）在图1中画一个格点三角形，使得该三角形是轴对称图形并且它的面积为； （2）在图2中画出格点D，使四边形ABCD为轴对称图形； （3）在图3中画出格点G，使得点E、F、G为顶点的三角形是等腰直角三角形．（画出一个即可） 【答案】（1）见解析（答案不唯一） （2）见解析 （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查轴对称，勾股定理及逆定理，方格纸作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）如图画，过中点作高，则为轴对称图形，且面积为（答案不唯一）； （2）以为对称轴，作点B的对称点D点，则D点为所求． （3）如图 ，则由勾股定理的逆定理可得，为直角三角形，又因为，则即为所求（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：如图，画，过中点作高，则，且为轴对称图形，则即为所求； 答案不唯一，如下也为符合条件的三角形； 【小问2详解】 解：如图，以为对称轴，作点B的对称点D点，则D点为所求． 【小问3详解】 解：由勾股定理可求 ， ， 为等腰直角三角形． 答案不唯一，同理，下图也为等腰直角三角形． 22. 利用完全平方公式，可以解决很多数学问题 例如∶若，求的值． 解∶因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题∶ （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）40 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活运用，掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形计算求解； （2）利用完全平方公式的变形计算求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 23. 拓展探索： 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ _________________ （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：______________________ 方法2：______________________ （3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，，_______． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______． （5）拓展提高：若拼一个长为宽为的长方形，需要边长为a，b的正方形和长为a宽为b的长方形各_______个，并画出拼图． 【答案】（1） （2）； （3） （4）69 （5）1，2，3；图见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的面积，以及多项式乘以多项式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式和多项式乘以多项式的法则，是解题的关键： （1）观察图形，列出代数式即可； （2）用正方形的面积公式以及大正方形的面积减去四个长方形的面积两种方法，列出代数式即可； （3）根据（2）即可得出结果； （4）利用（3）的结论，进行计算即可； （5）求出大长方形的面积，进而确定正方形和小长方形的个数，画图即可． 【小问1详解】 解：由图可知阴影部分的正方形的边长； 故答案为：； 【小问2详解】 方法1：阴影部分的面积为； 方法2：阴影部分的面积为； 【小问3详解】 由（2）可知：； 【小问4详解】 由（3）可知： ∵，， ∴， ∴； 【小问5详解】 ， 故需要边长为a的正方形1个，边长为b的正方形2个，长为a宽为b的长方形3个； 画图如下： 24. 知识背景：已知，如图1是课本中角平分线的作法．某校八年级数学兴趣小组在此基础上，继续深入探究“角平分线的作法”． 探究1：只用三角尺画的平分线． 数学兴趣小组讨论的方法如下：在上分别取点，使，方法①：如图2，分别过点画的垂线，垂足分别为点，这两条垂线相交于点C，作射线即为的平分线．方法②：如图3，分别过点画的垂线，相交于点C，作射线即为的平分线． 解决问题 （1）在方法①和方法②这两种画法中，选择其中一种，证明：是的平分线． 探究2：数学兴趣小组发现以上角平分线的画法，本质都是利用轴对称图形的性质，如果对称线段所在直线相交，那么交点一定在对称轴上． 解决问题 （2）如图4，使用无刻度的直尺和圆规作的平分线，最多作两次圆弧，连线次数不限（保留作图痕迹，不写作法）． 探究3：在探究仅使用刻度尺作角平分线的过程中，小亮的方法如下：如图5，将直尺一边与重合，利用对边画的平行线，交于点P；在平行线上取一点H，使；射线即为的平分线． 解决问题 （3）如图6，已知，点分别在上，与相交于点G，连接，若平分于点于点M． ①证明：； ②直接写出的度数． 【答案】 证明：（1）方法①： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 方法②： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）如图，在上取，，以为圆心，，为半径分别画弧，交于，，连接，，交于点，则射线为的平分线； 由作图可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （3）①∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）方法①：先证明，再证明即可，方法②：证明即可； （2）如图，在上取，，以为圆心，，为半径分别画弧，交于，，连接，，交于点，则射线为的平分线； （3）①先证明，，，可得，再证明，可得平分，可得； ②证明，，结合外角求解，如图，过作于，证明，可得平分，从而可得答案． 【详解】证明：（1） 略 （2） 略 （3）① 略 ②∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，判定定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的作图与作辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一阶段学习达标检测数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 0.008的立方根是（ ） A. B. C. 0.2 D. 2. 实数，，，，，，中，无理数的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在实数、、0、中，最大的实数是（ ） A. B. 0 C. D. 5. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 6. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 计算结果等于（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2020 8. 已知是一个完全平方式，则k的值是（　　） A. 8 B. ±8 C. 16 D. ±16 二、填空题 9. 9的平方根是_________． 10. 计算：______． 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 12. 已知，，，比较的大小关系是_______（用“>”连接）． 13. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，作于点，且为的中点．若，则_______． 14. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 _____． 三、计算题 15. 计算：． 16. 计算： （1）· （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 一个数的两个平方根分别是a＋3和2a－15，试求这个数． 20. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 四、解答题 21. 方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”． （1）在图1中画一个格点三角形，使得该三角形是轴对称图形并且它的面积为； （2）在图2中画出格点D，使四边形ABCD为轴对称图形； （3）在图3中画出格点G，使得点E、F、G为顶点的三角形是等腰直角三角形．（画出一个即可） 22. 利用完全平方公式，可以解决很多数学问题 例如∶若，求的值． 解∶因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题∶ （1）若，求的值； （2）若，求的值． 23. 拓展探索： 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ _________________ （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：______________________ 方法2：______________________ （3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，，_______． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______． （5）拓展提高：若拼一个长为宽为的长方形，需要边长为a，b的正方形和长为a宽为b的长方形各_______个，并画出拼图． 24. 知识背景：已知，如图1是课本中角平分线的作法．某校八年级数学兴趣小组在此基础上，继续深入探究“角平分线的作法”． 探究1：只用三角尺画的平分线． 数学兴趣小组讨论的方法如下：在上分别取点，使，方法①：如图2，分别过点画的垂线，垂足分别为点，这两条垂线相交于点C，作射线即为的平分线．方法②：如图3，分别过点画的垂线，相交于点C，作射线即为的平分线． 解决问题 （1）在方法①和方法②这两种画法中，选择其中一种，证明：是的平分线． 探究2：数学兴趣小组发现以上角平分线的画法，本质都是利用轴对称图形的性质，如果对称线段所在直线相交，那么交点一定在对称轴上． 解决问题 （2）如图4，使用无刻度的直尺和圆规作的平分线，最多作两次圆弧，连线次数不限（保留作图痕迹，不写作法）． 探究3：在探究仅使用刻度尺作角平分线的过程中，小亮的方法如下：如图5，将直尺一边与重合，利用对边画的平行线，交于点P；在平行线上取一点H，使；射线即为的平分线． 解决问题 （3）如图6，已知，点分别在上，与相交于点G，连接，若平分于点于点M． ①证明：； ②直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $