第21讲 相遇问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第21讲 相遇问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 相遇问题是行程问题的重要类型，研究两个物体从两地出发，相向而行（沿同一直线朝对方方向运动）直到相遇的过程。 关键量：总路程（两地之间的距离）、速度和（两个物体的速度之和）、相遇时间（从出发到相遇所用的时间）。 2.核心公式 ① 总路程 = 速度和 × 相遇时间 ② 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 ③ 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间 二、核心题型与技巧 题型1：基础相遇问题（同时出发，相向而行） 技巧：直接套用核心公式，明确总路程、两个物体的速度，利用"相遇时间=总路程÷速度和"求解。 关键步骤：画出线段图表示两地距离和运动方向，标注已知条件。 题型2：不同时出发的相遇问题 技巧：先计算其中一个物体单独行驶的路程，剩余路程为两物体共同行驶的路程，再用"共同行驶路程=速度和×共同行驶时间"求解。 公式：总路程 = 先行物体速度×先行时间 + 速度和×共同行驶时间 题型3：中点相遇问题（距中点一定距离相遇） 技巧：快的物体比慢的物体多行驶的路程 = 距离中点路程 × 2，利用"路程差=速度差×相遇时间"推导未知量。 关键关系：速度差 = （快车速度 - 慢车速度），相遇时间 = 路程差 ÷ 速度差 题型4：相遇后继续行驶问题 技巧：先根据相遇时间求出相遇时各自行驶的路程，再计算相遇后到达目的地还需行驶的路程及时间。 公式：剩余路程 = 总路程 - 已行驶路程，剩余时间 = 剩余路程 ÷ 自身速度 题型5：环形跑道相遇问题 技巧：首次相遇时，两物体行驶的路程和 = 跑道一圈的长度；第n次相遇时，路程和 = n×跑道长度。 关键：确定每次相遇时的总路程是几圈跑道长度。 三、常见错误提醒 1.速度和计算错误：误将单个物体速度当作速度和，如"甲速度50km/h，乙速度40km/h"，错误使用50km/h或40km/h计算，正确应为50+40=90km/h。 2.时间处理错误：不同时出发时，忽略先行时间，如"甲先行2小时，再与乙共同行驶"，错误将总时间直接代入公式，未减去先行时间。 3.单位不统一：速度单位是"千米/小时"，时间单位却用"分钟"，如速度60km/h，时间30分钟，未换算成0.5小时直接计算。 4.环形跑道路程错误：认为第2次相遇时路程和仍是1圈，正确应为2圈（如400米跑道，第2次相遇总路程为800米）。 例题讲解 一、基础相遇问题 例题1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶40千米，A、B两地相距500千米。两车出发后几小时相遇？ 跟踪练习1：小明和小红从学校和图书馆同时出发相向而行，小明每分钟走70米，小红每分钟走50米，经过12分钟相遇。学校和图书馆相距多少米？ 二、不同时出发的相遇问题 例题2：A、B两地相距360千米，甲车从A地出发，每小时行60千米，1小时后乙车从B地出发，每小时行40千米。乙车出发后几小时两车相遇？ 跟踪练习2：小刚和小强从相距2000米的两地相向而行，小刚先出发2分钟，每分钟走80米，小强每分钟走120米。小强出发后几分钟两人相遇？ 三、中点相遇问题 例题3：甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。相遇时甲车距离中点多少千米？ 跟踪练习3：两列火车从相距900千米的两地相向而行，快车每小时行100千米，慢车每小时行80千米。两车相遇时距慢车出发地多少千米？ 四、相遇后继续行驶问题 例题4：甲、乙两车从相距300千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米。两车相遇后继续按原方向行驶，甲车到达乙地还需多少小时？ 跟踪练习4：A、B两地相距240千米，客车和货车同时从两地相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米。相遇后货车到达A地还需行驶多少千米？ 五、环形跑道相遇问题 例题5：在400米的环形跑道上，小明和小亮同时从同一地点出发相向而行，小明每秒跑5米，小亮每秒跑3米。经过多少秒两人第一次相遇？ 跟踪练习5：在300米环形跑道上，甲、乙两人同时同地相向而行，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑100米。第2次相遇时，甲跑了多少米？ 提升练习 1．甲、乙两地相距468km，一辆客车和一辆货车同时从两地开出。相向而行，经过4小时相遇。货车每小时行驶48.6km，客车每小时行多少千米？ 2．甲、乙两车同时从相距520km的A、B两地出发，相向而行，4小时后相遇。甲车每小时比乙车每小时快10km，甲车、乙车每小时各行多少千米？ 3．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，出发2小时后两车相遇。请问两地相距多少千米？ 4．阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行。阿呆每分钟走150米，阿瓜每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？ 5．小张从甲地到乙地。步行速度是5千米/时，小黄从乙地到甲地，步行速度是4千米/时。现在两人同时出发，在离甲、乙两地的中点1千米处相遇。甲地和乙地相距多少千米。 6．客车从地行驶到地要4小时，货车从地行驶到地要5小时。它们同时分别从、两地相对开出，经过2小时后还相距40千米。、两地相距多少千米？ 7．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米。两车在距离中点10千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 8．甲、乙两艘军舰从两个港口出发，相向航行，乙舰开出1小时后，甲舰才开出，已知甲舰每小时航行42km，乙舰每小时航行38km，甲舰航行4小时后，两舰相遇，两个港口相距多少千米？ 9．在一幅比例尺为1∶8000000的地图上，量得A、B两地的距离是10cm。有两辆汽车同时从A、B两地开出，相向而行，速度分别是60千米/时、65千米/时，几时后两车相遇？ 10．甲、乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，狗遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇甲后回头跑向乙，这样来回不断，直到两人相遇为止。两人相遇时，狗共跑了多少米？ 11．两城相距564千米,两列火车同时从两城相对开出,6小时相遇｡已知第一列火车的速度比第二列火车的速度每小时快2千米,两列火车的速度各是多少千米? 12．甲、乙两人从东、西两个村庄同时出发，相向而行。甲每分钟走65米，乙每分钟走72米，经过4.8分钟相遇。东、西两个村庄相距多少米？ 13．两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，乙车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？ 14．两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？ 15．货车和客车分别从甲乙两个城市出发，货车每小时行60km，客车每小时行75km，货车行驶了80km后，客车才开出，5小时后两车相遇，甲乙两个城市相距多少千米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第21讲 相遇问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 相遇问题是行程问题的重要类型，研究两个物体从两地出发，相向而行（沿同一直线朝对方方向运动）直到相遇的过程。 关键量：总路程（两地之间的距离）、速度和（两个物体的速度之和）、相遇时间（从出发到相遇所用的时间）。 2.核心公式 ① 总路程 = 速度和 × 相遇时间 ② 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 ③ 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间 二、核心题型与技巧 题型1：基础相遇问题（同时出发，相向而行） 技巧：直接套用核心公式，明确总路程、两个物体的速度，利用"相遇时间=总路程÷速度和"求解。 关键步骤：画出线段图表示两地距离和运动方向，标注已知条件。 题型2：不同时出发的相遇问题 技巧：先计算其中一个物体单独行驶的路程，剩余路程为两物体共同行驶的路程，再用"共同行驶路程=速度和×共同行驶时间"求解。 公式：总路程 = 先行物体速度×先行时间 + 速度和×共同行驶时间 题型3：中点相遇问题（距中点一定距离相遇） 技巧：快的物体比慢的物体多行驶的路程 = 距离中点路程 × 2，利用"路程差=速度差×相遇时间"推导未知量。 关键关系：速度差 = （快车速度 - 慢车速度），相遇时间 = 路程差 ÷ 速度差 题型4：相遇后继续行驶问题 技巧：先根据相遇时间求出相遇时各自行驶的路程，再计算相遇后到达目的地还需行驶的路程及时间。 公式：剩余路程 = 总路程 - 已行驶路程，剩余时间 = 剩余路程 ÷ 自身速度 题型5：环形跑道相遇问题 技巧：首次相遇时，两物体行驶的路程和 = 跑道一圈的长度；第n次相遇时，路程和 = n×跑道长度。 关键：确定每次相遇时的总路程是几圈跑道长度。 三、常见错误提醒 1.速度和计算错误：误将单个物体速度当作速度和，如"甲速度50km/h，乙速度40km/h"，错误使用50km/h或40km/h计算，正确应为50+40=90km/h。 2.时间处理错误：不同时出发时，忽略先行时间，如"甲先行2小时，再与乙共同行驶"，错误将总时间直接代入公式，未减去先行时间。 3.单位不统一：速度单位是"千米/小时"，时间单位却用"分钟"，如速度60km/h，时间30分钟，未换算成0.5小时直接计算。 4.环形跑道路程错误：认为第2次相遇时路程和仍是1圈，正确应为2圈（如400米跑道，第2次相遇总路程为800米）。 例题讲解 一、基础相遇问题 例题1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶40千米，A、B两地相距500千米。两车出发后几小时相遇？ 答案：5小时 解析：速度和 = 60 + 40 = 100（千米/小时），相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 = 500 ÷ 100 = 5（小时）。 跟踪练习1：小明和小红从学校和图书馆同时出发相向而行，小明每分钟走70米，小红每分钟走50米，经过12分钟相遇。学校和图书馆相距多少米？ 答案：1440米 解析：速度和 = 70 + 50 = 120（米/分钟），总路程 = 速度和 × 相遇时间 = 120 × 12 = 1440（米）。 二、不同时出发的相遇问题 例题2：A、B两地相距360千米，甲车从A地出发，每小时行60千米，1小时后乙车从B地出发，每小时行40千米。乙车出发后几小时两车相遇？ 答案：3小时 解析：甲车先行路程 = 60 × 1 = 60（千米），剩余路程 = 360 - 60 = 300（千米），速度和 = 60 + 40 = 100（千米/小时），共同行驶时间 = 300 ÷ 100 = 3（小时）。 跟踪练习2：小刚和小强从相距2000米的两地相向而行，小刚先出发2分钟，每分钟走80米，小强每分钟走120米。小强出发后几分钟两人相遇？ 答案：8.8分钟 解析：小刚先行路程 = 80 × 2 = 160（米），剩余路程 = 2000 - 160 = 1840（米），速度和 = 80 + 120 = 200（米/分钟），相遇时间 = 1840 ÷ 200 = 8.8（分钟）。 三、中点相遇问题 例题3：甲、乙两车从相距480千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。相遇时甲车距离中点多少千米？ 答案：40千米 解析：相遇时间 = 480 ÷（70+50）= 4（小时），甲车行驶路程 = 70×4 = 280（千米），中点位置 = 480÷2 = 240（千米），距离中点距离 = 280 - 240 = 40（千米）。 跟踪练习3：两列火车从相距900千米的两地相向而行，快车每小时行100千米，慢车每小时行80千米。两车相遇时距慢车出发地多少千米？ 答案：400千米 解析：相遇时间 = 900 ÷（100+80）= 5（小时），慢车行驶路程 = 80×5 = 400（千米），即距慢车出发地400千米。 四、相遇后继续行驶问题 例题4：甲、乙两车从相距300千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米。两车相遇后继续按原方向行驶，甲车到达乙地还需多少小时？ 答案：2小时 解析：相遇时间 = 300 ÷（60+40）= 3（小时），相遇时甲车行驶路程 = 60×3 = 180（千米），剩余路程 = 300 - 180 = 120（千米），剩余时间 = 120 ÷ 60 = 2（小时）。 跟踪练习4：A、B两地相距240千米，客车和货车同时从两地相向而行，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米。相遇后货车到达A地还需行驶多少千米？ 答案：140千米 解析：相遇时间 = 240 ÷（70+50）= 2（小时），相遇时货车行驶路程 = 50×2 = 100（千米），剩余路程 = 240 - 100 = 140（千米）。 五、环形跑道相遇问题 例题5：在400米的环形跑道上，小明和小亮同时从同一地点出发相向而行，小明每秒跑5米，小亮每秒跑3米。经过多少秒两人第一次相遇？ 答案：50秒 解析：首次相遇时路程和 = 跑道长度400米，速度和 = 5+3=8（米/秒），相遇时间 = 400 ÷ 8 = 50（秒）。 跟踪练习5：在300米环形跑道上，甲、乙两人同时同地相向而行，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑100米。第2次相遇时，甲跑了多少米？ 答案：400米 解析：第2次相遇路程和 = 2×300=600（米），速度和=200+100=300（米/分钟），相遇时间=600÷300=2（分钟），甲跑的路程=200×2=400（米）。 提升练习 1．甲、乙两地相距468km，一辆客车和一辆货车同时从两地开出。相向而行，经过4小时相遇。货车每小时行驶48.6km，客车每小时行多少千米？ 【答案】68.4千米 【分析】根据：路程÷时间＝速度和，先求出客车、货车的速度和，再减去货车的速度就是客车的速度。 【详解】468÷4－48.6 ＝117－48.6 ＝68.4（千米） 答：客车每小时行68.4千米。 【点睛】灵活运用公式：速度和×相遇时间＝路程。 2．甲、乙两车同时从相距520km的A、B两地出发，相向而行，4小时后相遇。甲车每小时比乙车每小时快10km，甲车、乙车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车每小时70千米；乙每小时行60千米。 【分析】甲车每小时比乙车每小时快10km，可设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米，再根据（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间＝总路程，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米。 甲：60＋10＝70（千米/时） 答：甲车每小时行70千米，乙车每小时行60千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，相遇问题，解答本题的关键是掌握列方程解决问题的方法。 3．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，出发2小时后两车相遇。请问两地相距多少千米？ 【答案】270千米 【分析】两车相遇的时间是2小时，速度之和是60＋75＝135千米/小时，所以两地相距135×2＝270千米。 【详解】（60＋75）×2 ＝135×2 ＝270（千米） 答：两地相距270千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题的实际应用。解答相遇问题的关键是要弄清速度和、路程和与相遇时间的对应关系。 4．阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行。阿呆每分钟走150米，阿瓜每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？ 【答案】10分钟 【分析】从出发到相遇，路程和为5000米，速度和为150＋350＝500米/分，所以时间为5000÷500＝10分钟。 【详解】5000÷（150＋350） ＝5000÷500 ＝10（分钟） 答：两人从出发到相遇需要10分钟。 【点睛】本题主要考查了相遇问题。熟练掌握在相遇问题中，路程和÷速度和＝相遇时间。 5．小张从甲地到乙地。步行速度是5千米/时，小黄从乙地到甲地，步行速度是4千米/时。现在两人同时出发，在离甲、乙两地的中点1千米处相遇。甲地和乙地相距多少千米。 【答案】18千米 【分析】小张比小黄走的快，所以根据相遇地点在离甲、乙两地的中点1千米处，可以知道到相遇时，小张走的路程比全长的一半多1千米，小黄走的路程比全长的一半少1千米，那么从出发到相遇这段时间里，小张和小黄的路程差就是1＋1＝2（千米），根据路程差÷速度差＝共同行驶的时间，可以得到，从出发到相遇他们走的时间为：2÷（5－4）＝2（小时），这个时间也就是相遇时间，再根据路程和＝速度和×相遇时间，可以得到，全长为：（5＋4）×2＝18（千米）。 【详解】（1＋1）÷（5－4） ＝2÷1 ＝2（小时） （5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（千米） 答：甲地和乙地相距18千米。 【点睛】这道题的关键是根据分析或画图理解从出发到相遇时，小张和小黄的路程差是1＋1＝2（千米），然后灵活运用行程问题的公式即可求出全长。 6．客车从地行驶到地要4小时，货车从地行驶到地要5小时。它们同时分别从、两地相对开出，经过2小时后还相距40千米。、两地相距多少千米？ 【答案】400千米 【分析】把AB两地的距离看做单位“1”，客车每小时行全程的，货车每小时行全程的。2小时共行了全程的，还剩全程的，此时两车相距40千米，用即可求出全程是多少千米。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝400（千米） 答：、两地相距400千米。 【点睛】首先把AB两地的距离看做单位“1”，关键是找出40千米所对应的分率是多少，再用其数量÷其所对应的分率＝单位“1”的量。 7．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米。两车在距离中点10千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】420千米 【分析】两车在距离中点10千米处相遇，说明相遇时甲车比乙车多行2个10千米，即20千米，而根据已知可求出一小时甲比乙多行5千米，那么可得4个小时多行20千米，时间求出，再用时间乘速度和即可求出总路程。 【详解】10×2＝20（千米），55－50＝5（千米），20÷5＝4（小时） 4×（55＋50） ＝4×105 ＝420（千米） 答：A、B两地相距420千米。 【点睛】解答此题的关键是正确理解“两车在距离中点10千米处相遇”，再根据各自的速度，来求出相遇时间。 8．甲、乙两艘军舰从两个港口出发，相向航行，乙舰开出1小时后，甲舰才开出，已知甲舰每小时航行42km，乙舰每小时航行38km，甲舰航行4小时后，两舰相遇，两个港口相距多少千米？ 【答案】358千米 【分析】总路程是乙在一个小时内行驶的，以及1个小时后两车共同行驶的路程相加，据此求解。 【详解】38×1＋（38＋42）×4 ＝38＋320 ＝358（千米） 答：两个港口相距358千米。 【点睛】该题考查了对相遇问题的理解，要注意乙先行了1小时，需先求乙行的路程。 9．在一幅比例尺为1∶8000000的地图上，量得A、B两地的距离是10cm。有两辆汽车同时从A、B两地开出，相向而行，速度分别是60千米/时、65千米/时，几时后两车相遇？ 【答案】6.4时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出实际距离，再根据路程和÷速度和＝相遇时间，列式解答即可。 【详解】10÷＝80000000（厘米）＝800（千米） 800÷（60＋65） ＝800÷125 ＝6.4（时） 答：6.4时后两车相遇。 【点睛】本题考查了图上距离与实际距离的换算及简单的行程问题，注意长度单位的换算。 10．甲、乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲同时同向而行，每分钟行500米，狗遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇甲后回头跑向乙，这样来回不断，直到两人相遇为止。两人相遇时，狗共跑了多少米？ 【答案】10000米 【分析】由题意可知，狗跑的时间与甲、乙两人相遇所用的时间相同，所以甲、乙两人相遇所用的时间＝两地的距离÷（甲每分钟行的距离＋乙每分钟行的距离），狗跑的距离＝狗每分钟行的距离×甲、乙两人相遇所用的时间，据此代入数据作答即可。 【详解】3000÷（70＋80）＝20（分） 500×20＝10000（米） 答：狗共跑了10000米。 11．两城相距564千米,两列火车同时从两城相对开出,6小时相遇｡已知第一列火车的速度比第二列火车的速度每小时快2千米,两列火车的速度各是多少千米? 【答案】第一列火车：48千米    第二列火车：46千米 【详解】(564÷6-2)÷2=46(千米)    46+2=48(千米) 答:第一列火车每小时行48千米,第二列火车每小时行46千米｡ 12．甲、乙两人从东、西两个村庄同时出发，相向而行。甲每分钟走65米，乙每分钟走72米，经过4.8分钟相遇。东、西两个村庄相距多少米？ 【答案】657.6米 【详解】略 13．两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，乙车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？ 【答案】716千米 【详解】甲车行驶的路程：（2+5）×58=406（千米） 乙车行驶的路程：62×5=310（千米） 两车相距：406+310=716（千米） 14．两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？ 【答案】7小时 【分析】如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328＋22×1＝350（千米），两车的速度和：28＋22＝50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和÷速度和＝相遇时间”得 350÷50＝7（小时） 【详解】解法1：（328＋22×1）÷（28＋22） ＝350÷50 ＝7（小时） 解法2： （328－28×1）÷（28＋22） ＝300÷50 ＝6（小时） 6＋1＝7（小时） 答：从出发到相遇经过了7小时。 15．货车和客车分别从甲乙两个城市出发，货车每小时行60km，客车每小时行75km，货车行驶了80km后，客车才开出，5小时后两车相遇，甲乙两个城市相距多少千米？ 【答案】755千米 【详解】（60＋75）×5＋80＝755（千米） 答：甲乙两个城市相距755千米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $