第23讲 还原问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第23讲 还原问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 还原问题是指已知某一数量经过若干次变化后的结果，要求原来数量的问题。解决这类问题的基本思路是"从结果出发，反向操作"，即采用倒推法（逆向思维）。 关键要素：初始量（未知）、中间变化过程（已知）、最终结果（已知）。 2.解题方法 ① 倒推法：从最后结果出发，按相反方向逐步推算，直到求出初始量。 ② 流程图法：用箭头图表示变化过程，从后往前倒推。 ③ 线段图法：用线段表示数量关系，通过倒推求解。 ④ 列表法：对于复杂多步变化，用表格记录每步变化，逆向填写。 3.核心公式 ① 单一变量还原：原数 = 结果 ± 变化量（逆向操作） ② 倍数关系还原：原数 = 结果 ÷ 倍数（乘除互逆） ③ "一半多/少几"类型： 若"取一半多a"，则原数 = (结果 + a) × 2 若"取一半少a"，则原数 = (结果 - a) × 2 二、核心题型与技巧 题型1：单一变量的还原问题（一步或两步运算） 技巧：从结果出发，进行与原来运算相反的运算（加变减、减变加、乘变除、除变乘）。 示例：一个数加上5，再减去8，结果是12，求原数。 倒推：12 + 8 - 5 = 15，原数是15。 题型2：多步运算的还原问题（三步及以上运算） 技巧：用流程图记录每步变化，从后往前逐步倒推，注意运算顺序和符号变化。 示例：一个数乘3，加上6，再除以2，最后减去5，结果是7。 流程图：□→×3→+6→÷2→-5→7 倒推：(7 + 5)×2 - 6 ÷ 3 = 12×2 - 6 ÷ 3 = 24 - 6 ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6 题型3："一半多/少几"的还原问题 技巧： "取一半多a"：剩余量 = 原数÷2 - a → 原数 = (剩余量 + a)×2 "取一半少a"：剩余量 = 原数÷2 + a → 原数 = (剩余量 - a)×2 注意区分"多几"和"少几"的不同处理方法。 题型4：多个变量的还原问题（如甲乙丙三个量的互相关系） 技巧：用表格法记录每个量的变化，或画出多个流程图并行倒推，注意变量间的影响关系。 题型5：还原问题中的错中求解（错误运算还原正确结果） 技巧：先根据错误运算和结果求出中间变量，再用正确运算求出正确结果。 三、常见错误提醒 1.方向错误：顺向思维而不是逆向思维，从开始想而不是从结果想。 2.运算符号错误：未正确进行逆运算（如应该减的加了，应该除的乘了）。 3."一半多/少几"问题混淆： "一半多a"误作"一半少a"处理 计算时忘记加/减a就直接乘2 4.步骤遗漏：多步还原中漏掉某一步骤或顺序颠倒。 5.数量关系理解错误：未正确理解"增加到"与"增加了"、"减少到"与"减少了"的区别。 例题讲解 一、单一变量的还原问题 例题1：一个数加上25，再减去38，结果是46，这个数是多少？ 跟踪练习1：某数减去10，再乘以2，结果是36，求这个数。 二、多步运算的还原问题 例题2：一个数先乘以4，再加上12，然后除以5，最后减去7，结果是5。这个数是多少？ 跟踪练习2：一个数除以3，减去15，乘以2，再加上40，结果是100。这个数是多少？ 三、"一半多/少几"的还原问题 例题3：一根绳子，第一次剪去全长的一半多2米，第二次剪去剩下的一半少1米，最后剩下5米。这根绳子原来长多少米？ 跟踪练习3：一筐苹果，第一次卖出总数的一半多3个，第二次卖出剩下的一半少2个，这时还剩15个。这筐苹果原来有多少个？ 四、多个变量的还原问题 例题4：甲、乙、丙三个小朋友共有画片90张。如果甲给乙5张，乙给丙8张，丙又给甲10张，这时三人画片张数相等。原来三人各有画片多少张？ 跟踪练习4：A、B、C三个桶各有油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶的油分别增加到原来的2倍；第二次把B桶的油倒入A、C两桶，使A、C两桶的油分别增加到第二次倒油前的2倍；第三次把C桶的油倒入A、B两桶，使A、B两桶的油分别增加到第三次倒油前的2倍。这时各桶油都是16千克。原来三个桶各有油多少千克？ 五、还原问题中的错中求解 例题5：小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的6错写成9，十位上的3错写成5，结果得到的和是174。正确的和应该是多少？ 答：正确的和应该是151。 跟踪练习5：小红在做一道减法题时，把减数十位上的2错写成5，个位上的7错写成1，结果得到的差是100。正确的差应该是多少？ 提升练习 1．有一根电线，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余下的一半，还剩下12米。这根电线原来有多少米长？ 2．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 3．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 4．程才到书店买书，他先用所带的钱的一半少8元买了本《数学大世界》，接着用剩下的钱的一半多1元买了本《数学探秘》，最后用剩下的钱的一半多2元买了本《趣味数学》，买完后还剩下13元。程才一共带了多少钱？ 5．办公室有一桶水，第一天喝掉一半多1升，第二天喝掉剩下的一半多2升，第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水。问：原来桶里有多少升水？ 6．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？ 7．小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等。小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？ 8．甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 9．某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？ 10．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 11．牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗？ 12．学学做了这样一道题：某数加上10，乘10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数。小朋友，你知道答案吗？ 13．少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子？ 14．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？ 15．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第23讲 还原问题 知识点梳理 一、核心概念与方法 1.基本概念 还原问题是指已知某一数量经过若干次变化后的结果，要求原来数量的问题。解决这类问题的基本思路是"从结果出发，反向操作"，即采用倒推法（逆向思维）。 关键要素：初始量（未知）、中间变化过程（已知）、最终结果（已知）。 2.解题方法 ① 倒推法：从最后结果出发，按相反方向逐步推算，直到求出初始量。 ② 流程图法：用箭头图表示变化过程，从后往前倒推。 ③ 线段图法：用线段表示数量关系，通过倒推求解。 ④ 列表法：对于复杂多步变化，用表格记录每步变化，逆向填写。 3.核心公式 ① 单一变量还原：原数 = 结果 ± 变化量（逆向操作） ② 倍数关系还原：原数 = 结果 ÷ 倍数（乘除互逆） ③ "一半多/少几"类型： 若"取一半多a"，则原数 = (结果 + a) × 2 若"取一半少a"，则原数 = (结果 - a) × 2 二、核心题型与技巧 题型1：单一变量的还原问题（一步或两步运算） 技巧：从结果出发，进行与原来运算相反的运算（加变减、减变加、乘变除、除变乘）。 示例：一个数加上5，再减去8，结果是12，求原数。 倒推：12 + 8 - 5 = 15，原数是15。 题型2：多步运算的还原问题（三步及以上运算） 技巧：用流程图记录每步变化，从后往前逐步倒推，注意运算顺序和符号变化。 示例：一个数乘3，加上6，再除以2，最后减去5，结果是7。 流程图：□→×3→+6→÷2→-5→7 倒推：(7 + 5)×2 - 6 ÷ 3 = 12×2 - 6 ÷ 3 = 24 - 6 ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6 题型3："一半多/少几"的还原问题 技巧： "取一半多a"：剩余量 = 原数÷2 - a → 原数 = (剩余量 + a)×2 "取一半少a"：剩余量 = 原数÷2 + a → 原数 = (剩余量 - a)×2 注意区分"多几"和"少几"的不同处理方法。 题型4：多个变量的还原问题（如甲乙丙三个量的互相关系） 技巧：用表格法记录每个量的变化，或画出多个流程图并行倒推，注意变量间的影响关系。 题型5：还原问题中的错中求解（错误运算还原正确结果） 技巧：先根据错误运算和结果求出中间变量，再用正确运算求出正确结果。 三、常见错误提醒 1.方向错误：顺向思维而不是逆向思维，从开始想而不是从结果想。 2.运算符号错误：未正确进行逆运算（如应该减的加了，应该除的乘了）。 3."一半多/少几"问题混淆： "一半多a"误作"一半少a"处理 计算时忘记加/减a就直接乘2 4.步骤遗漏：多步还原中漏掉某一步骤或顺序颠倒。 5.数量关系理解错误：未正确理解"增加到"与"增加了"、"减少到"与"减少了"的区别。 例题讲解 一、单一变量的还原问题 例题1：一个数加上25，再减去38，结果是46，这个数是多少？ 答案：59 解析：采用倒推法，从结果46出发，逆向操作： 原数 = 46 + 38 - 25 = 84 - 25 = 59 验证：59 + 25 = 84，84 - 38 = 46，符合题意。 跟踪练习1：某数减去10，再乘以2，结果是36，求这个数。 答案：28 解析：倒推法：36 ÷ 2 + 10 = 18 + 10 = 28 验证：(28 - 10) × 2 = 18 × 2 = 36，正确。 二、多步运算的还原问题 例题2：一个数先乘以4，再加上12，然后除以5，最后减去7，结果是5。这个数是多少？ 答案：9 解析：流程图表示：□→×4→+12→÷5→-7→5 倒推过程： (5 + 7) × 5 - 12 ÷ 4 = 12 × 5 - 12 ÷ 4 = 60 - 12 ÷ 4 = 48 ÷ 4 = 12 验证：12 × 4 = 48，48 + 12 = 60，60 ÷ 5 = 12，12 - 7 = 5，正确。 跟踪练习2：一个数除以3，减去15，乘以2，再加上40，结果是100。这个数是多少？ 答案：105 解析：倒推法：[(100 - 40) ÷ 2 + 15] × 3 = [60 ÷ 2 + 15] × 3 = [30 + 15] × 3 = 45 × 3 = 105 验证：105 ÷ 3 = 35，35 - 15 = 20，20 × 2 = 40，40 + 40 = 80，正确。 三、"一半多/少几"的还原问题 例题3：一根绳子，第一次剪去全长的一半多2米，第二次剪去剩下的一半少1米，最后剩下5米。这根绳子原来长多少米？ 答案：20米 解析：从最后剩下的5米入手，第二次剪去剩下的一半少1米后剩5米。 第二次剪之前的长度：(5 - 1) × 2 = 8米（因为是"一半少1米"，所以用剩余量减1再乘2） 第一次剪之前的长度：(8 + 2) × 2 = 20米（因为是"一半多2米"，所以用剩余量加2再乘2） 答：这根绳子原来长20米。 跟踪练习3：一筐苹果，第一次卖出总数的一半多3个，第二次卖出剩下的一半少2个，这时还剩15个。这筐苹果原来有多少个？ 答案：58个 解析：第二次卖之前：(15 - 2) × 2 = 26个（"一半少2个"） 第一次卖之前：(26 + 3) × 2 = 58个（"一半多3个"） 验证：58 ÷ 2 - 3 = 26个（第一次卖后剩下） 26 ÷ 2 + 2 = 15个（第二次卖后剩下），正确。 四、多个变量的还原问题 例题4：甲、乙、丙三个小朋友共有画片90张。如果甲给乙5张，乙给丙8张，丙又给甲10张，这时三人画片张数相等。原来三人各有画片多少张？ 答案：甲25张，乙33张，丙32张 解析：最终三人各有：90 ÷ 3 = 30张 采用倒推法，从最终状态逆向操作： 甲：30 - 10 + 5 = 25张（丙给甲10张，所以甲要减去10；甲给乙5张，所以甲要加上5） 乙：30 + 8 - 5 = 33张（乙给丙8张，所以乙要加上8；甲给乙5张，所以乙要减去5） 丙：30 + 10 - 8 = 32张（丙给甲10张，所以丙要加上10；乙给丙8张，所以丙要减去8） 答：原来甲有25张，乙有33张，丙有32张。 跟踪练习4：A、B、C三个桶各有油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶的油分别增加到原来的2倍；第二次把B桶的油倒入A、C两桶，使A、C两桶的油分别增加到第二次倒油前的2倍；第三次把C桶的油倒入A、B两桶，使A、B两桶的油分别增加到第三次倒油前的2倍。这时各桶油都是16千克。原来三个桶各有油多少千克？ 答案：A桶26千克，B桶14千克，C桶8千克 解析：采用列表倒推法： 第三次倒油后：A=16，B=16，C=16 第三次倒油前（C桶倒油前）： A=16÷2=8，B=16÷2=8，C=16+8+8=32 第二次倒油前（B桶倒油前）： A=8÷2=4，C=32÷2=16，B=8+4+16=28 第一次倒油前（A桶倒油前）： B=28÷2=14，C=16÷2=8，A=4+14+8=26 答：原来A桶有26千克，B桶有14千克，C桶有8千克。 五、还原问题中的错中求解 例题5：小明在做一道加法题时，把一个加数个位上的6错写成9，十位上的3错写成5，结果得到的和是174。正确的和应该是多少？ 答案：151 解析：个位上6→9，多加了3；十位上3→5，多加了20，一共多加了23。 正确的和：174 - 23 = 151 答：正确的和应该是151。 跟踪练习5：小红在做一道减法题时，把减数十位上的2错写成5，个位上的7错写成1，结果得到的差是100。正确的差应该是多少？ 答案：124 解析：减数十位2→5，多减了30；个位7→1，少减了6，整体多减了30-6=24。 正确的差：100 + 24 = 124 答：正确的差应该是124。 提升练习 1．有一根电线，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余下的一半，还剩下12米。这根电线原来有多少米长？ 【答案】54米 【分析】本题可以用逆推还原的方法来解决。根据第二次用去2米，又用去余下的一半还剩下12米可知，这里的余下的一半即等于剩下的12米，因此可以知道第二次用之前的长度为：12×2＋2＝26（米）。再继续根据第一次用去2米又用去余下的一半，此时这里的余下的一半等于26米，因此同理即可得到这根电线原来的长度。 【详解】第二次用之前：12×2＋2 ＝24＋2 ＝26（米） 原来的长度：26×2＋2 ＝52＋2 ＝54（米） 答：这根电线原来有54米。 2．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 【答案】180个 【分析】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 利用逆推还原法，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班，二班分得余下苹果数的一半是48个，那么余下的苹果就是96个。一班分得总个数的一半少6个是96个，则一班分得总个数的一半是90个，则这批苹果的总个数就是180个。 【详解】40＋8＝48（个） 48×2＝96（个） 96－6＝90（个） 90×2＝180（个） 答：这批苹果共有180个。 3．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 【答案】820个 【分析】根据线段图可知，上午卖出后的一半是200个与10个的差即190个；那么全部的一半就是190个的2倍与30个的和，据此求原来购进多少个。 【详解】 （个） 答：原来购进820个。 【点睛】本题考查逆推问题，关键是利用逆推的方法，找出两个“一半”所对应的具体的数量，由此列式解答即可。 4．程才到书店买书，他先用所带的钱的一半少8元买了本《数学大世界》，接着用剩下的钱的一半多1元买了本《数学探秘》，最后用剩下的钱的一半多2元买了本《趣味数学》，买完后还剩下13元。程才一共带了多少钱？ 【答案】108元 【分析】可以用逆推还原的方法。程才到书店买了三本书，第一本是《数学大世界》，第二本《数学探秘》，第三本是《趣味数学》。按照题目的意思画出线段图。 从线段图中可以得出买完《数学探秘》剩的钱是30元。 从线段图中可以得出买完《数学大世界》剩的钱是62元。 程才带了108元。 【详解】（13＋2）×2 ＝15×2 ＝30（元） （30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（元） （62－8）×2 ＝54×2 ＝108（元） 答：程才一共带了108元。 【点睛】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 5．办公室有一桶水，第一天喝掉一半多1升，第二天喝掉剩下的一半多2升，第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水。问：原来桶里有多少升水？ 【答案】50升 【分析】已知第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水，说明剩下的一半是（2＋3）升水，说明第三天原来一共有[（2＋3）×2]升水，也就是10升水；第二天喝掉剩下的一半多2升，剩下10升水，说明剩下的一半是（10＋2）升水，第二天原来一共有[（10＋2）×2]升水，也就是24升；第一天喝掉一半多1升，剩下24升水，说明一半是（24＋1）升水，第一天原来一共有[（24＋1）×2]升水，据此解答。 【详解】（2＋3）×2 ＝5×2 ＝10（升） （10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（升） （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（升） 答：原来桶里有50升水。 【点睛】用倒推法求解还原问题是，每一步都要变成原来的逆运算，也可以画图帮助理解问题。 6．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？ 【答案】61本；55本；48本；36本 【分析】用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数。 【详解】（1）张原有读物的本数：50＋13－2＝61（本） （2）王原有读物的本数：50＋18－13＝55（本） （3）李原有读物的本数：50＋16－18＝48（本） （4）赵原有读物的本数：50＋2－16＝36（本） 答：张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。 【点睛】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总数没有变化，仍然是200本。后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是50本。 7．小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等。小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？ 【答案】28个；29个；33个 【分析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（90÷3）个，即30个；所以小巧原来有（30＋6－8）个，小亚原来有（30＋5－6）个，小红原来有（30＋8－5）个。 【详解】90÷3＝30（个） 30＋6－8＝28（个） 30＋5－6＝29（个） 30＋8－5＝33（个） 答：小巧、小亚、小红原来分别有28、29、33个玻璃球。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 8．甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 【答案】35棵；21棵 【分析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（28÷2）棵，即14棵；乙班有（28＋14）棵，即42棵；如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（42÷2）棵，甲班原有树（14＋21）棵。 【详解】列表倒推如下： 甲班 乙班 35 21 14 42 28 28 （28＋28÷2）÷2 ＝（28＋14）÷2 ＝42÷2 ＝21（棵） 28÷2＋21 ＝14＋21 ＝35（棵） 答：甲班原有树棵；乙班原有树棵。 【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。 9．某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？ 【答案】2400千克 【分析】由原有水果880千克出发逐步倒推：运进水果：800÷2＝400（千克），现有水果：800＋400＝1200（千克），原有蔬菜：1200×2＝2400（千克）。 【详解】（800÷2＋800）×2 ＝1200×2 ＝2400（千克） 答：原有的蔬菜是2400千克。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 10．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 【答案】米 【分析】根据题意，画图倒推分析如下：                         即：（米）；             即：（米）；    即：（米）； 【详解】[（15＋9－10）×2＋2]×2 ＝[14×2＋2]×2 ＝30×2 ＝60（米） 答：这根绳子全长60米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 11．牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦？”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗？ 【答案】38岁 【分析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推。这个数没加上8时应是多少？没除以2时应是多少？没减去16时应是多少？没乘2时应是多少？这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数。没加上8时应是：38−8＝30；没除以2时应是：30×2＝60；没减去16时应是：60＋16＝76；没乘2时应是：76÷2＝38。 【详解】[（38−8）×2＋16]÷2 ＝[30×2＋16]÷2 ＝76÷2 ＝38（岁） 答：牛老师今年38岁。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 12．学学做了这样一道题：某数加上10，乘10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数。小朋友，你知道答案吗？ 【答案】 【分析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算。 倒推如下：；即：10×10＝100，100＋10＝110，110÷10＝11，11−10＝1；综合算式为：（10×10＋10）÷10−10＝1。 【详解】（10×10＋10）÷10−10 ＝（100＋10）÷10−10 ＝110÷10−10 ＝11−10 ＝1 答：这个数为1。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 13．少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一算，共采集了多少个树种子？ 【答案】250个 【分析】根据题意，减去25，还剩25，那么没减去25之前是：25＋25＝50；把这个数除以5等于50，在没除以5之前是：50×5＝250；解决问题。 【详解】（25＋25）×5 ＝50×5 ＝250 答：共采集了250个树种子 【点睛】从最后结果出发，运用加减、乘除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，进而得出初始结果，解决问题。 14．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？ 【答案】8个、19个、30个 【分析】第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙数为60×=30（个）．所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个． 【详解】57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个） 原来第一袋：15－7=8（个） 原来第二袋：15+4=19（个） 原来第三袋：15×2=30（个） 答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个． 15．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 【答案】15 【详解】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个） 第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×1=3（个） 第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×3 =7（个） 原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×7=15（个） 答：篮中原有鸡蛋15个． 故答案为15． 1 学科网（北京）股份有限公司 $