第15讲 平均数问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第15讲 平均数问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数。 关键量：总数量（所有数据的总和）、总份数（数据的个数或对应的份数）、平均数。 2.核心公式 ① 平均数 = 总数量 ÷ 总份数 ② 总数量 = 平均数 × 总份数 ③ 总份数 = 总数量 ÷ 平均数 二、核心题型与技巧 题型1：基础计算型（已知总数量和总份数求平均数） 技巧：直接套用公式“平均数 = 总数量 ÷ 总份数”，确保总数量包含所有数据，总份数对应数据个数。 公式：平均数 = （数据1 + 数据2 + ... + 数据n）÷ n 题型2：反向计算型（已知平均数求总数量或总份数） 技巧：利用“总数量 = 平均数 × 总份数”或“总份数 = 总数量 ÷ 平均数”，根据已知条件推导未知量。 题型3：移多补少问题（通过调整使各部分数量相等） 技巧：多的部分总和 = 少的部分总和，平均数 = 基准数 + （多出的总和 - 缺少的总和）÷ 总份数（若基准数为初始值）。 题型4：平均数变化问题（增加/减少数据后平均数的变化） 技巧：新平均数 = （原总数量 ± 新增/减少的数）÷（原总份数 ± 1）；或通过“变化量”计算：变化后的总数量 = 原总数量 ± 变化数，再求新平均数。 题型5：平均速度问题（行程中的平均速度） 技巧：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（注意：不是速度的简单平均，需分别计算总路程和总时间）。 三、常见错误提醒 1.总数量或总份数遗漏：如计算5名同学平均分，忘记加入其中1人的分数，导致总数量错误。 2.平均速度计算错误：误将“平均速度”当作“速度的平均数”（如往返路程，平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，而非（去时速度 + 返回速度）÷ 2）。 3.移多补少中数量关系混淆：认为“多的部分 = 平均数”，实际应为“多的部分总和 = 少的部分总和”。 4.平均数变化时忽略总份数变化：如增加1个数后，总份数增加1，若仅用“原总数量 + 新数”除以原份数，会导致结果错误。 例题讲解 一、基础计算型 例题1：四年级（2）班6名同学的体重分别是28千克、32千克、29千克、31千克、33千克、30千克，求这6名同学的平均体重。 跟踪练习1：小红一周内每天做数学题的数量分别是5道、7道、6道、8道、4道、6道、5道，求小红平均每天做多少道数学题。 二、反向计算型 例题2：已知4个连续自然数的平均数是12.5，求这4个自然数中最大的数是多少。 跟踪练习2：某小组同学的平均身高是145厘米，其中3名同学的身高总和是430厘米，求该小组共有多少名同学。 三、移多补少问题 例题3：书架上有三层书，第一层有12本，第二层有8本，第三层有10本，怎样调整才能使三层书的本数相同？ 跟踪练习3：4个小朋友分糖果，分别有15颗、12颗、10颗、13颗，若将糖果最多的小朋友的糖果拿出一部分分给最少的小朋友，使两人糖果数相同，此时两人各有多少颗？ 四、平均数变化问题 例题4：原有5个数的平均数是18，若将其中一个数改为25后，平均数变为20，求被改的数原来是多少。 跟踪练习4：8个数的平均数是15，若再增加一个数27，求新的平均数。 答案：17 五、平均速度问题 例题5：一辆汽车从A地到B地，每小时行60千米，用了2小时；从B地返回A地，每小时行40千米，用了3小时，求往返的平均速度。 跟踪练习5：小明跑步从家到公园，每分钟跑120米，用了5分钟；原路步行返回，每分钟走60米，用了10分钟，求往返的平均速度。 提升练习 1．五（1）班男生人数是女生人数的2倍，男生平均体重是42千克，女生平均体重是36千克。五（1）班全体同学平均体重是多少千克？ 2．小丁、小明、小刚三个人是好朋友。小丁和小明的体重和是44千克，小明和小刚的体重和是40千克，小丁和小刚的体重和是48千克。请求出三个人的平均体重。 3．小明家所在的单元里原来有6户人家安装空调（每户装1台），后来又增加了2户。当这8台空调全部打开时就会烧熔保险丝，因此最多同时使用6台空调。问：在24小时内平均每户最多可以使用空调多少小时？ 4．糖果店把一些水果糖和一些奶糖混装在一起成为什锦糖。已知什锦糖中，奶糖的质量是水果糖的4倍，奶糖每千克8元，水果糖每千克6元，那么什锦糖每千克多少元？ 5．七个数的平均数是25，把这七个数按照从大到小的顺序排成一排，前三个数的平均数是28，后5个数的平均数是23。问：第三个数是多少？ 6．玲玲在期末考试中语文、英语和科学的平均成绩是84分，数学成绩出来后，四门学科考试的平均成绩比原来提高了3分。你知道玲玲的数学得了多少分吗？ 7．一到周末，小强便进行登山练习。早上开始登山，每分钟行20米；下午沿原路返回，每分钟行30米。你知道小强登山锻炼身体的平均速度吗？ 8．原来有8个人合租了一条船，后来租船的人又增加了2名，现在平均每人所需的租金减少了1元。租一条船的租金是多少元？ 9．在一次“歌唱祖国”合唱比赛中，有7位评委给四（1）班的打分分别是：97分、96分、92分、95分、93分、87分、94分，如果去掉一个最高分和一个最低分，四（1）班的平均分是多少？ 10．期中考试过后，李玲同学语文、数学的平均成绩为91分，语文、英语的平均成绩为88分，数学、英语的成绩为93分，李玲三门功课各得多少分？ 11．小明一星期看完一本书，平均每天看75页，前3天平均每天看70页，后5天平均每天看78页，他第三天看了多少页？ 12．某班数学测试，平均分为85.13分经过复查发现把一位同学的87分误写成了78分，重新计算后，该班的平均分为85.31分，则这个班有 位学生． 13．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成续是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得 分． 14．一次象棋比赛共有10位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均得多少分？ 15．A，B，C，D，E这5人在一次满分为100分的考试中，得分互不相同，并且都是大于91的整数．如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是多少分? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第15讲 平均数问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，指在一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数。 关键量：总数量（所有数据的总和）、总份数（数据的个数或对应的份数）、平均数。 2.核心公式 ① 平均数 = 总数量 ÷ 总份数 ② 总数量 = 平均数 × 总份数 ③ 总份数 = 总数量 ÷ 平均数 二、核心题型与技巧 题型1：基础计算型（已知总数量和总份数求平均数） 技巧：直接套用公式“平均数 = 总数量 ÷ 总份数”，确保总数量包含所有数据，总份数对应数据个数。 公式：平均数 = （数据1 + 数据2 + ... + 数据n）÷ n 题型2：反向计算型（已知平均数求总数量或总份数） 技巧：利用“总数量 = 平均数 × 总份数”或“总份数 = 总数量 ÷ 平均数”，根据已知条件推导未知量。 题型3：移多补少问题（通过调整使各部分数量相等） 技巧：多的部分总和 = 少的部分总和，平均数 = 基准数 + （多出的总和 - 缺少的总和）÷ 总份数（若基准数为初始值）。 题型4：平均数变化问题（增加/减少数据后平均数的变化） 技巧：新平均数 = （原总数量 ± 新增/减少的数）÷（原总份数 ± 1）；或通过“变化量”计算：变化后的总数量 = 原总数量 ± 变化数，再求新平均数。 题型5：平均速度问题（行程中的平均速度） 技巧：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间（注意：不是速度的简单平均，需分别计算总路程和总时间）。 三、常见错误提醒 1.总数量或总份数遗漏：如计算5名同学平均分，忘记加入其中1人的分数，导致总数量错误。 2.平均速度计算错误：误将“平均速度”当作“速度的平均数”（如往返路程，平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，而非（去时速度 + 返回速度）÷ 2）。 3.移多补少中数量关系混淆：认为“多的部分 = 平均数”，实际应为“多的部分总和 = 少的部分总和”。 4.平均数变化时忽略总份数变化：如增加1个数后，总份数增加1，若仅用“原总数量 + 新数”除以原份数，会导致结果错误。 例题讲解 一、基础计算型 例题1：四年级（2）班6名同学的体重分别是28千克、32千克、29千克、31千克、33千克、30千克，求这6名同学的平均体重。 答案：30.5千克 解析：总数量 = 28 + 32 + 29 + 31 + 33 + 30 = 183（千克），总份数 = 6，平均数 = 183 ÷ 6 = 30.5（千克）。 跟踪练习1：小红一周内每天做数学题的数量分别是5道、7道、6道、8道、4道、6道、5道，求小红平均每天做多少道数学题。 答案：6道 解析：总数量 = 5 + 7 + 6 + 8 + 4 + 6 + 5 = 41（道），总份数 = 7，平均分 = 41 ÷ 7 = 6（道）。 二、反向计算型 例题2：已知4个连续自然数的平均数是12.5，求这4个自然数中最大的数是多少。 答案：14 解析：总数量 = 平均数 × 总份数 = 12.5 × 4 = 50。设最小的自然数为x，则4个数分别为x、x+1、x+2、x+3，总和 = x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 4x + 6 = 50，解得4x = 44，x = 11，最大数 = 11 + 3 = 14。 跟踪练习2：某小组同学的平均身高是145厘米，其中3名同学的身高总和是430厘米，求该小组共有多少名同学。 答案：3名（注：此处可能数据需调整，正确应为：设总人数为n，145n = 430，n=430÷145=3，所以答案3名） 解析：总数量 = 平均数 × 总份数，即总身高 = 145n，已知3名同学身高总和430厘米，即145n = 430，n = 430 ÷ 145 = 3（名）。 三、移多补少问题 例题3：书架上有三层书，第一层有12本，第二层有8本，第三层有10本，怎样调整才能使三层书的本数相同？ 答案：第一层给第二层2本，三层各10本 解析：总数量 = 12 + 8 + 10 = 30（本），平均数 = 30 ÷ 3 = 10（本）。第一层比平均数多2本（12 - 10），第二层比平均数少2本（10 - 8），因此第一层给第二层2本，三层均为10本。 跟踪练习3：4个小朋友分糖果，分别有15颗、12颗、10颗、13颗，若将糖果最多的小朋友的糖果拿出一部分分给最少的小朋友，使两人糖果数相同，此时两人各有多少颗？ 答案：12.5颗 解析：总糖果 = 15 + 12 + 10 + 13 = 50（颗），平均数 = 50 ÷ 4 = 12.5（颗）。最多15比平均多2.5颗，最少10比平均少2.5颗，因此15颗的给10颗的2.5颗，两人均为12.5颗。 四、平均数变化问题 例题4：原有5个数的平均数是18，若将其中一个数改为25后，平均数变为20，求被改的数原来是多少。 答案：15 解析：原总数量 = 18 × 5 = 90，新总数量 = 20 × 5 = 100，总数量增加10，因此被改的数原来 = 25 - 10 = 15。 跟踪练习4：8个数的平均数是15，若再增加一个数27，求新的平均数。 答案：17 解析：原总数量 = 15 × 8 = 120，新总数量 = 120 + 27 = 147，新总份数 = 8 + 1 = 9，新平均数 = 147 ÷ 9 = 17。 五、平均速度问题 例题5：一辆汽车从A地到B地，每小时行60千米，用了2小时；从B地返回A地，每小时行40千米，用了3小时，求往返的平均速度。 答案：48千米/时 解析：总路程 = 60×2 + 40×3 = 120 + 120 = 240（千米），总时间 = 2 + 3 = 5（小时），平均速度 = 240 ÷ 5 = 48（千米/时）。 跟踪练习5：小明跑步从家到公园，每分钟跑120米，用了5分钟；原路步行返回，每分钟走60米，用了10分钟，求往返的平均速度。 答案：80米/分 解析：总路程 = 120×5 + 60×10 = 600 + 600 = 1200（米），总时间 = 5 + 10 = 15（分钟），平均速度 = 1200 ÷ 15 = 80（米/分）。 提升练习 1．五（1）班男生人数是女生人数的2倍，男生平均体重是42千克，女生平均体重是36千克。五（1）班全体同学平均体重是多少千克？ 【答案】40千克 【分析】本题为了便于计算我们可采取设具体数进行解答，具体数只要符合男生人数是女生人数的2倍即可，不影响解题，因此设男生有10人，女生就有5人，求出男女生的体重和再除以男女生的总人数，就是全体同学的平均体重。 【详解】（42×10＋36×5）÷（10＋5） ＝（420＋180）÷（10＋5） ＝600÷15 ＝40（千克） 答：五（ 1）班全体同学平均体重是40千克。 【点睛】本题采用假设法进行解答，只要假设出的男生人数是女生人数的2倍，正确的按照求平均数的方法计算就不影响题目的解答。 2．小丁、小明、小刚三个人是好朋友。小丁和小明的体重和是44千克，小明和小刚的体重和是40千克，小丁和小刚的体重和是48千克。请求出三个人的平均体重。 【答案】22千克 【分析】首先把小丁和小明的体重和，小明和小刚的体重和，以及小丁和小刚的体重和相加，求出小丁、小明、小刚三个人的体重和的2倍是多少，然后用它除以2，求出小丁、小明、小刚三个人的体重和是多少，再用小丁、小明、小刚三个人的体重和除以3，求出三个人的平均体重即可。 【详解】（44＋40＋48）÷2÷3 ＝132÷2÷3 ＝66÷3 ＝22（千克） 答：三个人的平均体重是22千克。 【点睛】此题主要考查了平均数问题，要熟练掌握，解答此题的关键是求出小丁、小明、小刚三个人的体重和的2倍是多少。 3．小明家所在的单元里原来有6户人家安装空调（每户装1台），后来又增加了2户。当这8台空调全部打开时就会烧熔保险丝，因此最多同时使用6台空调。问：在24小时内平均每户最多可以使用空调多少小时？ 【答案】18小时 【分析】8台空调运行的总时间相当于6台空调24小时运行的时间，24乘6等于6台空调24小时运行的时间，再除以8，即等于24小时内平均每户最多可以使用空调的时间，据此即可解答。 【详解】24×6÷8 ＝144÷8 ＝18（小时） 答：24小时内平均每户最多可以使用空调18小时。 【点睛】8台空调运行的总时间相当于6台空调24小时运行的时间，这是解答本题的关键。 4．糖果店把一些水果糖和一些奶糖混装在一起成为什锦糖。已知什锦糖中，奶糖的质量是水果糖的4倍，奶糖每千克8元，水果糖每千克6元，那么什锦糖每千克多少元？ 【答案】7.6元 【分析】假设什锦糖中水果糖有1千克，则奶糖有4千克，总价＝单价×数量，把数据代入分别求出1千克水果糖和4千克奶糖的价钱，然后相加即等于（1＋4）千克什锦糖的价钱，再除以（1＋4）即等于每千克什锦糖的价钱，据此即可解答。 【详解】假设什锦糖中水果糖有1千克，则奶糖有4千克； （8×4＋6×1）÷（1＋4） ＝38÷5 ＝7.6（元） 答：什锦糖每千克7.6元。 【点睛】熟练掌握“单价×数量＝总价，总价÷数量＝单价”是解答本题的关键。 5．七个数的平均数是25，把这七个数按照从大到小的顺序排成一排，前三个数的平均数是28，后5个数的平均数是23。问：第三个数是多少？ 【答案】24 【分析】根据题意可知，28乘3等于前三个数的和，23乘5等于后五个数的和，25乘7等于七个数的和，前三个数的和加后五个数的和，再减去七个数的和，即等于第三个数，据此即可解答。 【详解】28×3＋23×5－25×7 ＝84＋115－175 ＝199－175 ＝24 答：第三个数是24。 【点睛】分别求出前三个数、后五个数的和是解答本题的关键。 6．玲玲在期末考试中语文、英语和科学的平均成绩是84分，数学成绩出来后，四门学科考试的平均成绩比原来提高了3分。你知道玲玲的数学得了多少分吗？ 【答案】96分 【分析】根据题意可知，四门学科考试的平均成绩等于84＋3＝87（分），四门学科的平均成绩乘4等于四门学科的成绩和，三门学科的平均成绩乘3等于三门学科的成绩和，四门学科的成绩和减三门学科的成绩和等于数学的分数，据此即可解答。 【详解】（84＋3）×4－84×3 ＝348－252 ＝96（分） 答：玲玲的数学得了96分。 【点睛】分别求出三门学科、四门学科考试的总分各是多少是解答本题的关键。 7．一到周末，小强便进行登山练习。早上开始登山，每分钟行20米；下午沿原路返回，每分钟行30米。你知道小强登山锻炼身体的平均速度吗？ 【答案】24米分 【分析】把山脚到山顶的路程看作单位“1”，往返的路程就为“1＋1”，根据路程÷速度＝时间可知，上山的时间为，下山时间为，往返的时间为（＋），往返往返的路程除以往返的时间，即等于登山的平均速度，据此即可解答。 【详解】（1＋1）÷（＋） ＝2÷ ＝2× ＝24（米分） 答：小强登山锻炼身体的平均速度是24米分。 【点睛】熟练掌握速度、时间和路程的关系是解答本题的关键。 8．原来有8个人合租了一条船，后来租船的人又增加了2名，现在平均每人所需的租金减少了1元。租一条船的租金是多少元？ 【答案】40元 【分析】根据现在平均每人所需的租金减少了1元，可以设一开始平均每人所需的租金是x元，后来每个人的租金是（x－1）元。根据这条船的租金不变，列出数量关系式：原来的人数×一开始平均每人的租金＝（原来的人数＋2）×后来平均每个人的租金，列出方程得出一开始平均每人所需的租金是5元。再根据原来的人数×一开始平均每人的租金＝租一条船的租金。 【详解】解：设一开始平均每人所需的租金是x元。 8x＝（8＋2）（x－1） 8x＝10（x－1） 8x＝10x－10 10x－8x＝10 2x＝10 x＝10÷2 x＝5 5×8＝40（元） 答：租一条船的租金是40元。 9．在一次“歌唱祖国”合唱比赛中，有7位评委给四（1）班的打分分别是：97分、96分、92分、95分、93分、87分、94分，如果去掉一个最高分和一个最低分，四（1）班的平均分是多少？ 【答案】94分 【分析】97分＞96分＞95分＞94分＞93分＞92分＞87分，因此去掉一个的最高分和最低分是97分和87分。然后求出其余的分数之和，再除以5即可求出四（1）班的平均分是多少。 【详解】97分＞96分＞95分＞94分＞93分＞92分＞87分 （96＋95＋94＋93＋92）÷（7－2） ＝470÷5 ＝94（分） 答：四（1）班的平均分是94分。 10．期中考试过后，李玲同学语文、数学的平均成绩为91分，语文、英语的平均成绩为88分，数学、英语的成绩为93分，李玲三门功课各得多少分？ 【答案】英语90分，语文86分，数学96分 【详解】91×2=182（分） 88×2=176（分） 93×2=186（分） （182+176+186）÷2 =544÷2 =272（分） 英语：272-182=90（分） 语文：176-90=86（分） 数学：186-90=96（分） 答：李玲的英语是90分，语文86分，数学96分． 11．小明一星期看完一本书，平均每天看75页，前3天平均每天看70页，后5天平均每天看78页，他第三天看了多少页？ 【答案】75页 【详解】这本书共有页数=7×75=525（页） 前3天共看页数=3×70=210（页） 后5天共看页数=5×78=390（页） 210+390=600页,600页已经重复计算了两次第三天看的页数 第三天看的页数=600-525=75（页） 答：他第三天看了75页. 12．某班数学测试，平均分为85.13分经过复查发现把一位同学的87分误写成了78分，重新计算后，该班的平均分为85.31分，则这个班有 位学生． 【答案】50 【详解】（87-78）÷（85.31-85.12） =9÷0.18 =50（位） 故答案为50. 【点睛】考查了对平均数的理解．首先用小花的实际成绩减去误写的乘积，求出原来计算过程中总分少算了多少；在除以两次平均数的差，即可求出学生人数 13．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成续是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三位的同学至少得 分． 【答案】95 【详解】92.5×6-99-76=380（分）， 由于最高分是99分，所以第二个的最好成绩最多是：98 剩余三人成绩和为：380-98=282（分） 第3个同学成绩最小，第4、5个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这3个数相差为1， 282÷3=94（分）， 则第三位同学至少是：94+1=95（分）． 故答案为95． 【点睛】此题做题的关键是先求出总成绩，用总成绩-最高分-最低分=另四名同学的总成绩，进而分析得出第二个的最好成绩，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷总人数=平均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出结论． 14．一次象棋比赛共有10位选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队．每人都与其余9人比赛一盘，每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．结果乙队平均得分为3.6分，丙队平均得分为9分，那么甲队平均得多少分？ 【答案】4.5分． 【详解】试题分析：首先根据题意，可得10名选手共赛10×9÷2=45盘，总分为45分；然后根据丙队平均得分为9分，而最多只能有一人得分为9分，可得丙队有1人，而且9盘比赛全部获胜，则甲乙两队总得分为45﹣9=36分；最后根据每个人的得分是整数或整数加上0.5分，可得乙队的总得分，即3.6乘乙队的人数是整数或整数加上0.5分，利用穷举法，可得乙队的人数只能是5，求出乙队的总得分，进而求出甲队的总得分，再除以甲队的人数，求出甲队平均得多少分即可． 解：据题意，可得10名选手共赛：10×9÷2=45盘，总分为45分； 因为丙队平均得分为9分，而最多只能有一人得分为9分， 可得丙队有1人，而且9盘比赛全部获胜， 则甲乙两队总得分为：45﹣9=36分； 根据题意，可得每个人的得分是整数或整数加上0.5分， 可得乙队的总得分，即3.6乘乙队的人数是整数或整数加上0.5分， 利用穷举法，可得乙队的人数只能是5， 则甲队的人数是：9﹣5=4（人）， 故甲队平均得分是： （36﹣3.6×5）÷4 =18÷4 =4.5（分） 答：甲队平均得4.5分． 点评：此题主要考查了平均数问题，解答此题的关键是分析出丙队有1人，而且9盘比赛全部获胜，以及乙队的人数只能是5． 15．A，B，C，D，E这5人在一次满分为100分的考试中，得分互不相同，并且都是大于91的整数．如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名得96分，那么D的得分是多少分? 【答案】97分 【详解】如果B是第二名或并且第一名．那么，A和B得分都比第三名E的96分多，至少各得97分．这样C最多得95－2×(97－95)＝91分，矛盾，所以B不可能是第二名．同理，C不可能是第二名．只有D是第二名．从A、B、C平均分是95，B、C、D得平均分是94，得知A比D多1×3＝3分．又知A、D的得分都大于96，只有A得100分，D得97分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $