数列的综合问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

数列的综合问题 课前必备知识 课标要求 1.会综合数列、函数、不等式的知识与方法分析解决相关的综合问题.2.了解数列相关的实际应用模型特征，并能运用数列的知识与方法分析解决． 知识梳理 1．数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数． (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究． (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 2．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数(非零)，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an与an＋1之间的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系． 课前训练 1．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n 解析：A　由题意可得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋2＝2＋ln n．故选A. 2．(教材母题选必修复习参考题T8)小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 解析：B　设每年应还x万元， 则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝M(1＋p)10，＝M(1＋p)10，得x＝.故选B. 3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn是数列{an}的前n项和，则(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a100－S98)＝(　　) A．0 B．1 C．98 D．100 解析：C　当n≥2时，an－1＋an＝an＋1，则an＝an＋1－an－1， 故当n≥2时， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋…＋(an＋1－an－1) ＝(a1＋a3＋a4＋…＋an＋1)－(a1＋a2＋a3＋…＋an－1) ＝an＋1＋an－1， 此时an＋2－Sn＝an＋1＋an－(an＋1＋an－1)＝1， 又因为a3－S1＝2－1＝1， 因此，(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a100－S98)＝98.故选C. 4．(多选)(教材母题选必修4.3.2练习T2)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　) A．Sn＜500 B．Sn≤500 C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400 解析：AC　第一次着地时，共经过了100 m，第二次着地时，共经过了(100＋100××2) m，第三次着地时，共经过了[100＋100××2＋100×()2×2]m，……，第n次着地时，共经过了[100＋100××2＋100×()2×2＋…＋100×()n-1×2]m. 所以Sn＝100＋＝100＋400×[1－()n-1]. 则Sn是关于n的增函数，所以当n≥2时，Sn的最小值为S2，且S2＝. 又Sn＝100＋400×[1－()n-1]＜100＋400＝500.故选AC. 5．曲线y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切线的斜率为an，则数列{}的前n项和为________. 解析：　对y＝x＋ln x(n∈N*)求导，可得y′＝＋. 由曲线在x＝处的切线的斜率为an，可得an＝＋＝n， 所以＝＝－， 所以数列{}的前n项和为 1－＋－＋…＋－＝. 课堂核心考点 考点1　等差、等比数列的综合问题 【例1】 已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3). (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和． 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 因为a1＝1，a5＝5(a4－a3)，可得d＝1， 所以an＝n. 因为b1＝1，b5＝4(b4－b3)，且q≠0， 可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，所以bn＝2n-1. (2)由题可知 cn＝ 故当n为奇数2k－1(k∈N*)时， c2k－1＝＝(－)， 故记Hn＝c1＋c3＋…＋c2n－1 ＝(－) ＝(－). 当n为偶数时，cn＝＝， 记Tn＝c2＋c4＋…＋c2n＝＋＋…＋， 则Tn＝＋＋…＋＋， 故Tn＝＋＋＋…＋－ ＝＋－ ＝－－， 因此，Tn＝(－－)＝－， 故所求c1＋c2＋…＋c2n＝Tn＋Hn ＝(－)＋－ ＝－－. 等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略 (1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 变式探究 1．(2025·天津河西一模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2＝an＋1，数列{bn}为等比数列，且满足bn＋1＋bn＝2n. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求(tan ai tan ai＋1＋aibi)的值． 解析：(1)由2＝an＋1，得4Sn＝(an＋1)2，① 则4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，② ②－①得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)， 由an>0，得an＋1－an＝2. 又n＝1时，2＝2＝a1＋1，解得a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，则an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 即数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 设等比数列{bn}的公比为q，由bn＋1＋bn＝2n，得b2＋b1＝2，b3＋b2＝22，则q＝＝2， 即b2＋b1＝2b1＋b1＝2，解得b1＝，则bn＝b1qn-1＝， 即数列{bn}的通项公式为bn＝. (2)设An＝(tan ai tan ai＋1)， tan an tan an＋1＝tan (2n－1)tan (2n＋1) ＝－1， An＝(－1)＋(－1)＋…＋[－1] ＝－n. 设Bn＝aibi＝(2i－1)·＝(2i－1)2i，Tn＝(2i－1)·2i， 则Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n-1＋(2n－1)·2n， 2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n+1， 两式相减，得 －Tn＝2＋23＋24＋25＋…＋2n+1－(2n－1)2n+1 ＝2＋－(2n－1)2n+1 ＝－(2n－3)2n+1－6， 则有Tn＝(2n－3)2n+1＋6，得Bn＝Tn＝(n－1)2n+1＋2， 所以(tan ai tan ai＋1＋aibi)＝An＋Bn ＝－n＋(n－1)2n+1＋2. 考点2　数列与不等式的综合 【例2】 (2025·浙江丽水二模)设等差数列{an}的公差为d，记Sn是数列{an}的前n项和，若S5＝a3＋20，S15＝a2a3a8. (1)求数列{an}的通项公式． (2)若d>0，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<n＋. 解析：(1)由S5＝a3＋20，S5＝＝5a3， 得5a3＝a3＋20，解得a3＝5， 由S15＝a2a3a8，得S15＝＝5a2a8， 所以15a8＝5a2a8，所以a8＝0或a2＝3. 当a8＝0时，d＝＝－1，此时an＝a3＋(n－3)d＝8－n； 当a2＝3时，d＝a3－a2＝2，此时an＝a3＋(n－3)d＝2n－1. 综上，数列{an}的通项公式为an＝8－n或an＝2n－1. (2)证明：因为d>0， 所以an＝2n－1， 则Sn＝＝n2， 则bn＝＝ ＝ ＝1＋ ＝1＋(－)， 所以Tn＝1＋(1－)＋1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－) ＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－) ＝n＋(1－)＝n＋－<n＋. 对于和形式的不等式的证明常采用放缩法，求解时，需注意以下几点． (1)若和式可以直接求和，则先对和式进行求和然后进行放缩． (2)若和式不能直接求和，则考虑将通项进行适当放缩，这时要注意两个问题：其一是放缩的方向；其二是从哪一项开始放缩． 变式探究 2．(2025·天津一模)若某类数列{an}满足“∀n≥2，>2，且an≠0(n∈N*)”，则称这个数列{an}为“G型数列”． (1)若数列{an}满足a1＝3，anan＋1＝32n+1，求a2，a3的值并证明数列{an}是“G型数列”． (2)若数列{an}的各项均为正整数，且a1＝1，{an}为“G型数列”，记bn＝an＋1，数列{bn}为等比数列，公比q为正整数，当{bn}不是“G型数列”时： (ⅰ)求数列{an}的通项公式． (ⅱ)求证：<. 解析：(1)因为anan＋1＝32n+1， 令n＝1，则a1a2＝33， 又a1＝3，所以a2＝9， 令n＝2，则a2a3＝35，所以a3＝27. 由anan＋1＝32n+1，① 所以当n≥2时，an－1an＝32n-1，② 由①÷②得，当n≥2时，＝9， 所以数列{a2n}和数列{a2n－1}是等比数列． 因为a1＝3，a2＝9， 所以a2n－1＝3·9n-1＝32n-1，a2n＝9·9n-1＝32n， 因此an＝3n， 从而＝3>2(n≥2)， 所以数列{an}是“G型数列”． (2)(ⅰ)因为数列{an}的各项均为正整数，且{an}为“G型数列”， 所以>2，所以an＋1>2an>an，因此数列{an}递增． 又bn＝an＋1， 所以bn＋1－bn＝an＋1－an>0，因此{bn}递增， 所以公比q>1. 又{bn}不是“G型数列”， 所以存在n0∈N*， 使得≤2，所以q≤2， 已知公比为正整数，所以q＝2， 又b1＝a1＋1＝2，所以bn＝2n，则an＝2n－1. (ⅱ)证明：anan＋1＝(2n－1)(2n+1－1)＝22n+1－3×2n＋1>22n+1－3×2n， 因为22n+1－3×2n＝4n＋2n(2n－3)>4n(n≥2)， 所以anan＋1>4n(n≥2)， 所以<(n≥2). 令Sn＝， 当n＝1时，S1＝， 当n≥2时， Sn＝＋＋＋…＋ <＋(＋＋…＋) ＝＋ ＝＋(1－) <＋＝. 考点3　数列的实际应用 【例3】 (2025·上海三模)某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底，工厂向集团上缴m(m>0)万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为an万元． (1)判断{an－2m}是否为等比数列，并说明理由． (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设m＝2600，则该工厂在第几年转型升级？ 解析：(1)依题意，a1＝5000，a2＝a1(1＋50%)－m＝7500－m， an＋1＝an(1＋50%)－m＝an－m， 即an＋1－2m＝(an－2m). 而当m＝2500，即a1－2m＝0时，{an－2m}不是等比数列； 当m>0且m≠2500时，数列{an－2m}是一个以为公比，5000－2m为首项的等比数列． (2)当m＝2600时，由(1)知数列{an－2m}是一个以－200为首项，为公比的等比数列， 则an－5200＝－200×()n-1， 即an＝5200－200×()n-1. 设第n年转型升级， 则an＋1＝5200－200×()n<0， 则()n>26， 数列{()n}是递增数列，()8＝<26，()9＝>26， 而n∈N*，则nmin＝9， 所以该工厂在第9年转型升级． 解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去．其思路框图为： 变式探究 3.(2025·安徽合肥三模)某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为(　　) A．12.6万元 B．12.7万元 C．12.8万元 D．12.9万元 解析：B　存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，1＋3%为公比的等比数列， 所以本利和S＝10(1＋3%)8＝10[C＋C×0.031＋C×0.032＋…＋C×0.037＋C×0.038]≈12.7.故选B. 4.(2025·江西南昌三模)正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案．如图，已知第1个正方形A1B1C1D1的边长为1，A2B1＝B2C1＝a，A1A2＝B1B2＝b，且＝，依此类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为S1，第n个正方形的面积为Sn，则mSm＝　　　　． 解析：8－(3n＋8)·()n 由于第n个正方形的边长为，而第(n＋1)个正方形的面积等于第n个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故Sn＋1＝Sn－4×××＝Sn－Sn＝Sn. 而S1＝1，故Sn＝()n-1. 所以mSm＝m·()m-1 ＝3m·()m-1－m·()m-1 ＝3m·()m-1－3m·()m ＝3m·()m-1－3m·()m－3n·()n ＝3m·()m-1－3m(m－1)·()m-1－3n·()n ＝3m()m-1－3n·()n ＝3×－3n·()n ＝8－(3n＋8)·()n. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的综合问题 课前必备知识 课标要求 1.会综合数列、函数、不等式的知识与方法分析解决相关的综合问题.2.了解数列相关的实际应用模型特征，并能运用数列的知识与方法分析解决． 知识梳理 1．数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数． (2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究． (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 2．解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数(非零)，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是an与an＋1之间的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系． 课前训练 1．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋)，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n 2．(教材母题选必修复习参考题T8)小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还(　　) A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn是数列{an}的前n项和，则(a3－S1)＋(a4－S2)＋(a5－S3)＋…＋(a100－S98)＝(　　) A．0 B．1 C．98 D．100 4．(多选)(教材母题选必修4.3.2练习T2)一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　) A．Sn＜500 B．Sn≤500 C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400 5．曲线y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切线的斜率为an，则数列{}的前n项和为________. 课堂核心考点 考点1　等差、等比数列的综合问题 【例1】 已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3). (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)对任意的正整数n，设cn＝求数列{cn}的前2n项和． 等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略 (1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序． (2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 变式探究 1．(2025·天津河西一模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2＝an＋1，数列{bn}为等比数列，且满足bn＋1＋bn＝2n. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求(tan ai tan ai＋1＋aibi)的值． 考点2　数列与不等式的综合 【例2】 (2025·浙江丽水二模)设等差数列{an}的公差为d，记Sn是数列{an}的前n项和，若S5＝a3＋20，S15＝a2a3a8. (1)求数列{an}的通项公式． (2)若d>0，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<n＋. 对于和形式的不等式的证明常采用放缩法，求解时，需注意以下几点． (1)若和式可以直接求和，则先对和式进行求和然后进行放缩． (2)若和式不能直接求和，则考虑将通项进行适当放缩，这时要注意两个问题：其一是放缩的方向；其二是从哪一项开始放缩． 变式探究 2．(2025·天津一模)若某类数列{an}满足“∀n≥2，>2，且an≠0(n∈N*)”，则称这个数列{an}为“G型数列”． (1)若数列{an}满足a1＝3，anan＋1＝32n+1，求a2，a3的值并证明数列{an}是“G型数列”． (2)若数列{an}的各项均为正整数，且a1＝1，{an}为“G型数列”，记bn＝an＋1，数列{bn}为等比数列，公比q为正整数，当{bn}不是“G型数列”时： (ⅰ)求数列{an}的通项公式． (ⅱ)求证：<. 考点3　数列的实际应用 【例3】 (2025·上海三模)某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底，工厂向集团上缴m(m>0)万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为an万元． (1)判断{an－2m}是否为等比数列，并说明理由． (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设m＝2600，则该工厂在第几年转型升级？ 解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去．其思路框图为： 变式探究 3.(2025·安徽合肥三模)某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为(　　) A．12.6万元 B．12.7万元 C．12.8万元 D．12.9万元 4.(2025·江西南昌三模)正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案．如图，已知第1个正方形A1B1C1D1的边长为1，A2B1＝B2C1＝a，A1A2＝B1B2＝b，且＝，依此类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为S1，第n个正方形的面积为Sn，则mSm＝　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $