数列的概念及其表示法 讲义-2026届高三数学一轮复习

数列的概念及其表示法 课前必备知识 课标要求 1.了解数列的概念及其表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2.了解数列的通项公式是定义在非零自然数集上的函数.3.了解数列的单调性，会研究和解决有关数列的单调性问题． 知识梳理 1．数列的定义 按照__确定的顺序__排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式为__a1，a2，…，an，…__，简记为__{an}__． 2．数列的单调性 类型 满足条件 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N* 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1__＝__an 3.数列的通项公式及前n项和 如果数列{an}的第n项an与__它的序号n__之间的对应关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，我们把这个式子叫做这个数列的通项公式． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝__a1＋a2＋…＋an__． 4．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的__递推公式__． 5．由递推公式求数列通项公式的基本方法 (1)观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． (2)公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解． (3)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造an－an－1＝f(n－1)，an－1－an－2＝f(n－2)，…，a2－a1＝f(1)，将上述各式子相加得an＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)＋a1(n≥2). ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和． (4)累乘法：形如an＋1＝an·f(n)(＝f(n))型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造＝f(n－1)，＝f(n－2)，…，＝f(1)，将上述各式子两边相乘，可得an＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(2)·f(1)·a1(n≥2). (5)构造法：形如an＋1＝pan＋q的递推式，设an＋1＋k＝p(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列求解． 形如an＋2＝pan＋1＋qan的递推式，设an＋2－kan＋1＝h(an＋1－kan)，比较系数得h＋k＝p，－hk＝q，可解得h，k，于是{an＋1－kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an＋1＝pan＋q型． 形如an＋1＝pan＋f(n)的递推式，两边同时除以pn+1可得到＝＋，令＝bn，则bn＋1＝bn＋，求出bn之后得an＝pnbn. (6)取倒数法：形如an－1－an＝pan－1an(p为常数且p≠0)的递推式，两边同除以an－1an，得－＝p，求出的表达式，再求an. 形如an＋1＝的递推式，采用取倒数方法转化成＝·＋形式，化归为an＋1＝pan＋q型求出的表达式，再求an. 课前训练 1．(教材母题选必修习题4.1T3)已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为(　　) A．10 B．－10 C．－11 D． 解析：A　由题意易知，该数列的通项公式为an＝(－1)n·，所以a100＝(－1)100×＝10，故选A. 2．已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　若an＞0，则Sn＞Sn－1，所以{Sn}是递增数列，所以“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn＞Sn－1，所以an＞0(n≥2)，但是a1的符号不确定，所以“an＞0”不是“{Sn}是递增数列”的必要条件，故选A. 3．(教材母题选必修习题4.1T2)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a6＝(　　) A．2 B．－3 C．－ D． 解析：B　因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝－3，同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，可得an＋4＝an，则a6＝a2＝－3.故选B. 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋4n-1，则{an}的通项公式为__________. 解析：an＝　由an＋1－an＝4n-1得an＝a1＋1＋4＋…＋4n-2＝. 5．(教材母题选必修4.1练习T1)如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为________，这个数列的一个通项公式an＝____________． 解析：17　4n－3 从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律an＝a1＋(n－1)×4＝1＋(n－1)×4＝4n－3，所以an＝4n－3. 课堂核心考点 考点1　由an与Sn的关系求通项 【例1】 (1)(2025·湖南长沙联考预测)若数列{an}中，a1＝，a2＝，且anan＋2＝an＋1，记数列{an}的前n项积为∏n，则的值为(　　) A．1 B． C． D． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1，则an＝__________. (3)(2025·河北沧州校考模拟预测)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝2－1. (ⅰ)求数列{an}的通项公式； (ⅱ)若bn＝an cos ，求数列{bn}的前3n＋1项和T3n＋1. 解析：(1)D　由题意，得a3＝，a4＝，a5＝4，a6＝，a7＝，a8＝， 发现数列{an}是以6为周期的数列，且前6项积为1，则∏2025＝a1·a2·a3＝，a2024＝a2＝， 所以原式的值为，故选D. (2)2n-1　由Sn＝2an－1，可得S1＝2a1－1，解得a1＝1， 又an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n-1. (3)(ⅰ)an＝2－1⇒(an＋1)2＝4Sn， 当n≥2时，(an－1＋1)2＝4Sn－1，两式作差可得 a－a＋2an－2an－1＝4an⇒a－a－2(an＋an－1)＝0⇒(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 又an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 可得数列{an}是公差为2的等差数列． 当n＝1时，a1＝2－1⇒a1－2＋1＝0⇒(－1)2＝0⇒a1＝1， 所以，数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (ⅱ)bn＝an cos ＝(2n－1)cos ， T3n＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋b3n－2＋b3n－1＋b3n＋b3n＋1 ＝1×(－)＋3×(－)＋5×1＋…＋(6n－5)×(－)＋(6n－3)×(－)＋(6n－1)×1＋(6n＋1)×(－) ＝×(－)＋×(－)＋×1＋(6n＋1)×(－) ＝－＋n－＋3n2＋2n－3n－＝－， 所以，数列{bn}的前3n＋1项和T3n＋1＝－. 由Sn求an或由含Sn与an的关系式求an. (1)依据：an＝ (2)方法：①利用an与Sn的关系，消去Sn，转化为只含an的关系式进行求解； ②利用an与Sn的关系，消去an，转化为只含Sn的关系式进行求解． (3)注意：对n＝1的情况必须进行检验，若适合n≥2的表达式，则可以合并；若不适合，则写成分段函数形式． 变式探究 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，其中n∈N*，则a1＋a2＋a3＋…＋a24＝________． 解析：48　当n＝1时，a1a2a3＝a1＋a2＋a3，可得a3＝3，同理，当n＝2时，可得a4＝1，当n＝3时，可得a5＝2，以此类推，可知数列{an}的周期为3，所以a1＋a2＋…＋a24＝8(a1＋a2＋a3)＝8×6＝48. 2．已知数列{an}的首项为－1，设Sn是数列{an}的前n项和，且an＋1＝2SnSn＋1，则Sn＝__________． 解析：　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝2SnSn＋1， 所以－＝－2. 因为a1＝－1，所以＝－1， 所以{}是以－1为首项，－2为公差的等差数列， 所以＝－1－2(n－1)＝1－2n，即Sn＝. 3．(2025·湖北模拟预测)若数列{an}满足a1＝2，－－＝1，则a2026＝(　　) A．2 B．－ C．－3 D． 解析：C　因为－－＝1，所以an＋1＝.又因为a1＝2， 所以a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，…， 所以{an}是周期为4的数列，故a2026＝a2＝－3.故选C. 考点2　由数列的递推公式求通项 【例2】 (1)已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝2n－1 C．an＝ D．an＝ (2)已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则数列{an}的通项公式为___________________． (3)(教材母题选必修习题4.1T2改编)数列{an}中，当an＋1＝，a1＝2，则a4＝________． (4)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4·3n-1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为________________． 解析：(1)A　由nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)，① 得(n－1)an＝2(a1＋a2＋…＋an－1)(n≥2)，② ①－②得nan＋1－(n－1)an＝2an， 则nan＋1＝(n＋1)an，即＝， 所以an＝a1···…·＝1···…·＝n(n≥2)， 当n＝1时，也满足an＝n， 所以an＝n.故选A. (2)an＝＋4n－6 设an＋An＋B＝[an－1＋A(n－1)＋B]， 所以an＝an－1－An－A－B， 所以解得 又a1－4＋6＝3，所以{an－4n＋6}是以3为首项，为公比的等比数列， 所以an－4n＋6＝3()n-1，所以an＝＋4n－6. (3)　由an＋1＝，a1＝2，可得an≠0， 所以＝＝＋3，即－＝3(定值)， 故数列{}以＝为首项，d＝3为公差的等差数列， 所以＝＋(n－1)×3＝3n－，所以＝，所以a4＝. (4)an＝4×3n-1－5×2n-1 (方法1)设an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n-1)，整理得an＋1＝2an－λ·3n-1，可得λ＝－4， 即an＋1－4×3n＝2(an－4×3n-1)，且a1－4×31-1＝－5≠0， 则数列{an－4×3n-1}是首项为－5，公比为2的等比数列， 所以an－4×3n-1＝－5×2n-1，即an＝4×3n-1－5×2n-1. (方法2：两边同除以qn+1)两边同时除以3n+1， 得＝×＋， 整理得－＝×(－)，且－＝－≠0， 则数列{－}是首项为－，公比为的等比数列， 所以－＝－×()n-1，即an＝4×3n-1－5×2n-1. (方法3：两边同除以pn+1)两边同时除以2n+1， 得＝＋()n-1，即－＝()n-1， 当n≥2时，则＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋ ＝()n-2＋()n-3＋…＋1－ ＝－ ＝2×()n-1－， 故an＝4×3n-1－5×2n-1(n≥2)， 显然当n＝1时，a1＝－1符合上式， 故an＝4×3n-1－5×2n-1. 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)累加法：形如an－an－1＝f(n)的递推式，可用累加法求an. (2)累乘法：形如＝f(n)的递推式，可用累乘法求an. (3)构造法：形如an＋1＝pan＋q，an＋2＝pan＋1＋qan的递推式，可用构造法求an. (4)取倒数法：形如an－1－an＝pan－1an，an＋1＝的递推式，可用取倒数法求an. 变式探究 4．已知数列{an}满足：an＋1＝－an－2，n∈N*，a1＝4，则数列{an}的通项公式为__________________． 解析：an＝－＋(－)n-1 因为an＋1＝－an－2，n∈N*，a1＝4， 所以两边同时加上得 an＋1＋＝－an－2＋＝－an－， 所以an＋1＋＝－(an＋)， 当a1＝4时，a1＋＝. 故an＋≠0，故＝－， 所以数列{an＋}是以a1＋＝为首项，－为公比的等比数列． 于是an＋＝(－)n-1， an＝－＋(－)n-1. 5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝则{a2n}的通项公式为________________． 解析：a2n＝2n+1－4 由题意知，当n≥2时，a2n＝a(2n－1)＋1＝a2n－1＋2＝a(2n－2)＋1＋2＝2a2n－2＋4. 设a2n＋t＝2(a2n－2＋t)， 则a2n＝2a2n－2＋t， 所以t＝4，即a2n＋4＝2(a2n－2＋4). 又a2＝a1＋2＝0，a2＋4＝4. 所以{a2n＋4}是首项为4，公比为2的等比数列． 所以a2n＋4＝4·2n-1＝2n+1，即a2n＝2n+1－4. 6．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式． 解析：将an＋1＝2an＋3·2n两边除以2n+1， 得＝＋，则－＝， 故数列{}是以＝＝1为首项，以为公差的等差数列， 则＝1＋(n－1)＝n－， 所以数列{an}的通项公式为an＝(n－)·2n＝(3n－1)·2n-1. 考点3　数列的函数特征 【例3】 (1)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　) A．4 B．4－1 C．8 D．9 (2)在数列{an}中，a1＝3，＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＋(n∈N*)，则an＝____________，若λan≥4n对所有n∈N*恒成立，则λ的取值范围是__________. 解析：(1)C　由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2， 以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2， 所以an＝n2－n＋20，n≥2. 当n＝1时，a1＝20符合上式， 所以＝n＋－1， 所以当n≤4时，单调递减，当n≥5时，单调递增， 因为＝，所以的最小值为＝＝8.故选C. (2)　[，＋∞) 由于＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＋(n∈N*)， 所以当n≥2时，有＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＋， 两式相减可得＝＋＝， 即当n≥2时，＝. 当n＝1时，＝1＋＝，得a2＝6，即＝2也符合该递推关系， 所以an＝··…··a1＝. 由于λan≥4n⇒λ≥()n·n(n＋1)， 令cn＝()nn(n＋1)， 由于＝＝＝＋， 当n＝4时，c4＝c5，当n<4时，cn单调递增，当n>4时，cn单调递减， 所以c1<c2<c3<c4＝c5>c6>…， 故cn的最大项为，即λ≥. (1)数列与函数知识有着密切的联系，解题时要注意函数、导数的相关知识的运用以及用研究函数的方法来研究数列，如借用判断函数的单调性的方法来判断数列的单调性，用求函数最值的方法来研究数列的最值等． (2)数列是自变量不连续的函数，要特别注意n∈N*这一条件．不能对数列直接求导判断单调性，要写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． 变式探究 7．已知an＝3×(－)n-1－1，若存在常数A，B∈R，使得对任意的正整数n都有A≤an≤B，则B－A的最小值为________. 解析：　因为an＝3×(－)n-1－1， 已知A≤an≤B，所以A≤(an)min，(an)max≤B. 设bn＝an＋1＝3×(－)n-1， 则＝，b1＝3，b2＝－， 所以b1>b3>…>b2n－1>…，b2<b4<…<b2n<…， 所以－≤bn≤3，所以－≤an＋1≤3， 故－≤an≤2，所以A≤－，B≥2，－A≥，所以B－A≥，所以B－A的最小值为. 8．(2025·江苏无锡市第一中学校考)已知数列{an}的前n项之积为bn，且＋＋…＋＝(n∈N*). (1)求数列{}和{an}的通项公式； (2)求f(n)＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值． 解析：(1)因为＋＋…＋＝，① 所以＋＋…＋＝(n≥2)，② 由①②可得＝n(n≥2)， 因为①＝1也满足上式， 所以＝n，③ 所以＝n－1(n≥2)，④ 由③④可得＝(n≥2)， 即＝(n≥2)， 所以an－1＝(n≥2)，所以an＝. (2)由(1)可知an＝， 则bn＝a1a2…an＝··…·＝， 记f(n)＝bn＋bn＋1＋…＋b2n＝＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝＋＋…＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－<0， 所以f(n＋1)<f(n)，即f(n)单调递减， 所以f(n)的最大值为f(1)＝b1＋b2＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念及其表示法 课前必备知识 课标要求 1.了解数列的概念及其表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2.了解数列的通项公式是定义在非零自然数集上的函数.3.了解数列的单调性，会研究和解决有关数列的单调性问题． 知识梳理 1．数列的定义 按照__确定的顺序__排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式为__a1，a2，…，an，…__，简记为__{an}__． 2．数列的单调性 类型 满足条件 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N* 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1__＝__an 3.数列的通项公式及前n项和 如果数列{an}的第n项an与__它的序号n__之间的对应关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，我们把这个式子叫做这个数列的通项公式． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝__a1＋a2＋…＋an__． 4．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的__递推公式__． 5．由递推公式求数列通项公式的基本方法 (1)观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． (2)公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解． (3)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造an－an－1＝f(n－1)，an－1－an－2＝f(n－2)，…，a2－a1＝f(1)，将上述各式子相加得an＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(2)＋f(1)＋a1(n≥2). ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和． (4)累乘法：形如an＋1＝an·f(n)(＝f(n))型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造＝f(n－1)，＝f(n－2)，…，＝f(1)，将上述各式子两边相乘，可得an＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(2)·f(1)·a1(n≥2). (5)构造法：形如an＋1＝pan＋q的递推式，设an＋1＋k＝p(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列求解． 形如an＋2＝pan＋1＋qan的递推式，设an＋2－kan＋1＝h(an＋1－kan)，比较系数得h＋k＝p，－hk＝q，可解得h，k，于是{an＋1－kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an＋1＝pan＋q型． 形如an＋1＝pan＋f(n)的递推式，两边同时除以pn+1可得到＝＋，令＝bn，则bn＋1＝bn＋，求出bn之后得an＝pnbn. (6)取倒数法：形如an－1－an＝pan－1an(p为常数且p≠0)的递推式，两边同除以an－1an，得－＝p，求出的表达式，再求an. 形如an＋1＝的递推式，采用取倒数方法转化成＝·＋形式，化归为an＋1＝pan＋q型求出的表达式，再求an. 课前训练 1．(教材母题选必修习题4.1T3)已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为(　　) A．10 B．－10 C．－11 D． 2．已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(教材母题选必修习题4.1T2)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a6＝(　　) A．2 B．－3 C．－ D． 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋4n-1，则{an}的通项公式为__________. 5．(教材母题选必修4.1练习T1)如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为________，这个数列的一个通项公式an＝____________． 课堂核心考点 考点1　由an与Sn的关系求通项 【例1】 (1)(2025·湖南长沙联考预测)若数列{an}中，a1＝，a2＝，且anan＋2＝an＋1，记数列{an}的前n项积为∏n，则的值为(　　) A．1 B． C． D． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1，则an＝__________. (3)(2025·河北沧州校考模拟预测)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝2－1. (ⅰ)求数列{an}的通项公式； (ⅱ)若bn＝an cos ，求数列{bn}的前3n＋1项和T3n＋1. (1)依据：an＝ (2)方法：①利用an与Sn的关系，消去Sn，转化为只含an的关系式进行求解； ②利用an与Sn的关系，消去an，转化为只含Sn的关系式进行求解． (3)注意：对n＝1的情况必须进行检验，若适合n≥2的表达式，则可以合并；若不适合，则写成分段函数形式． 变式探究 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，其中n∈N*，则a1＋a2＋a3＋…＋a24＝________． 2．已知数列{an}的首项为－1，设Sn是数列{an}的前n项和，且an＋1＝2SnSn＋1，则Sn＝__________． 3．(2025·湖北模拟预测)若数列{an}满足a1＝2，－－＝1，则a2026＝(　　) A．2 B．－ C．－3 D． 考点2　由数列的递推公式求通项 【例2】 (1)已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝n B．an＝2n－1 C．an＝ D．an＝ (2)已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则数列{an}的通项公式为___________________． (3)(教材母题选必修习题4.1T2改编)数列{an}中，当an＋1＝，a1＝2，则a4＝________． (4)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋4·3n-1，a1＝－1，则数列{an}的通项公式为________________． 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)累加法：形如an－an－1＝f(n)的递推式，可用累加法求an. (2)累乘法：形如＝f(n)的递推式，可用累乘法求an. (3)构造法：形如an＋1＝pan＋q，an＋2＝pan＋1＋qan的递推式，可用构造法求an. (4)取倒数法：形如an－1－an＝pan－1an，an＋1＝的递推式，可用取倒数法求an. 变式探究 4．已知数列{an}满足：an＋1＝－an－2，n∈N*，a1＝4，则数列{an}的通项公式为__________________． 5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝则{a2n}的通项公式为________________． 6．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·2n，a1＝2，求数列{an}的通项公式． 考点3　数列的函数特征 【例3】 (1)已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　) A．4 B．4－1 C．8 D．9 (2)在数列{an}中，a1＝3，＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＋(n∈N*)，则an＝____________，若λan≥4n对所有n∈N*恒成立，则λ的取值范围是__________. (1)数列与函数知识有着密切的联系，解题时要注意函数、导数的相关知识的运用以及用研究函数的方法来研究数列，如借用判断函数的单调性的方法来判断数列的单调性，用求函数最值的方法来研究数列的最值等． (2)数列是自变量不连续的函数，要特别注意n∈N*这一条件．不能对数列直接求导判断单调性，要写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． 变式探究 7．已知an＝3×(－)n-1－1，若存在常数A，B∈R，使得对任意的正整数n都有A≤an≤B，则B－A的最小值为________. 8．(2025·江苏无锡市第一中学校考)已知数列{an}的前n项之积为bn，且＋＋…＋＝(n∈N*). (1)求数列{}和{an}的通项公式； (2)求f(n)＝bn＋bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n－1＋b2n的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $