等差数列 讲义-2026届高三数学一轮复习

等差数列 课前必备知识 课标要求 1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中识别等差数列.2.掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质． 知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的__差__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，符号表示为__an＋1－an＝d__(n∈N*，d为常数). (2)通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是an＝__a1＋(n－1)d__． (3)等差中项：如果三个数a，A，b组成__等差__数列，则A叫做a和b的等差中项，即A＝____. 2．等差数列{an}的常用性质(其中m，n，p，q∈N*) (1)an＝am＋__(n－m)__d. (2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝__ap＋aq__． 特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝__2ap__． (3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为__递增__数列；若d<0，则数列为__递减__数列；若d＝0，则数列为__常__数列． 3．等差数列的前n项和公式 (1)前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝____＝__na1＋d__． (2)等差数列前n项和的性质： Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)设数列{an}是等差数列，且公差为d，(ⅰ)若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶－S奇＝nd；②＝.(ⅱ)若项数为奇数，设共有2n－1项，则①S奇－S偶＝an＝a中(中间项)；②＝. 常用结论 1．等差数列的常用判断方法 (1)定义：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q是常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． (2)若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn′，则＝. 3．如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 课前训练 1．若an＝an＋b(其中a，b为常数，n∈N*)，则数列{an}(　　) A．当a≠0时，才是等差数列 B．当b≠0时，才是等差数列 C．一定是等差数列 D．不一定是等差数列 解析：C　因为an＋1－an＝a(n∈N*)，由定义知，{an}一定是等差数列，故选C. 2．(2025·河北统考模拟预测)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，a3＝1，S7＝3a6，则S3＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：D　设已知设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以S3＝3a1＋3d＝－3.故选D. 3．(2025·安徽蚌埠统考模拟预测)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝π，则cos (a1＋a7)＝(　　) A．－ B． C． D． 解析：A　因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝π，即a4＝， 所以cos (a1＋a7)＝cos 2a4＝cos ＝－，故选A. 4．(教材母题选必修4.2.2练习T3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝11，S9＝17，则S15＝(　　) A．15 B．23 C．28 D．30 解析：D　由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，可得S3＝，同理可得S12＝，所以2(S12－S9)＝S9－S6＋S15－S12，可得S15＝30.故选D. 5．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则＝________. 解析：　由题意可知，＝＝＝，所以＝＝＝. 课堂核心考点 考点1　等差数列的基本运算 【例1】 (2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解析：(1)由3a2＝3a1＋a3，得a1＝d. 又S3＋T3＝a1＋a2＋a3＋b1＋b2＋b3＝6d＋＝21，即2d2－7d＋3＝0， 所以d＝3或d＝(舍去)，故an＝3n. (2)由题意设 又anbn＝n2＋n，得(pn＋q)(sn＋t)＝n2＋n， 由此可得psn2＋(tp＋sq)n＋tq＝n2＋n， 显然tq＝0，得q＝0或t＝0. 当t＝0时，bn＝sn，则psn2＋sqn＝n2＋n，即ps＝sq＝1， 所以p＝q＝d.所以an＝d(n＋1)，bn＝， 所以Sn＝，Tn＝. 因为S99－T99＝99，所以－＝99， 即51d2－d－50＝0，解得d＝1或d＝－，显然与题意不符，所以q＝0. 又因为等差数列{an}的公差为d，即p＝d，an＝dn， 所以bn＝＝＝， 则S99－T99＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋(a3－b3)＋…＋(a99－b99)＝[(d－)n－]＝99， 即(d－)×－99×＝99， 即50d2－d－51＝0，可得d＝或d＝－1(舍去). 所以d＝. 1．解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程． 2．特殊设法：三个数成等差数列，一般设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列，一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.这对已知和，求数列各项，运算更方便． 变式探究 1．已知数列{an}的前n项和Sn，a1＝1，an>0，anan＋1＝4Sn－1. (1)计算a2的值，求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)nanan＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解析：(1)当n＝1时，a1a2＝4a1－1， 又a1＝1，解得a2＝3， 由题知anan＋1＝4Sn－1，① an＋1an＋2＝4Sn＋1－1，② 由②－①得an＋1(an＋2－an)＝4an＋1， 因为an>0，所以an＋2－an＝4， 于是，数列{an}的奇数项是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以a2＝3为首项，4为公差的等差数列， 即a2n－1＝1＋4(n－1)＝4n－3＝2(2n－1)－1， a2n＝3＋4(n－1)＝4n－1， 所以{an}的通项公式an＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n(2n－1)(2n＋1)， b2n－1＋b2n＝－(4n－3)(4n－1)＋(4n－1)·(4n＋1)＝4(4n－1)， T2n＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n)＝4[3＋7＋…＋(4n－1)]＝4×＝4n(2n＋1). 考点2　等差数列的性质及应用 【例2】 (1)在等差数列{an}中，a3＋a11＝40，则a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值为(　　) A．84 B．72 C．60 D．48 (2)已知等差数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，若－＝1，且Sn≥S5，则a1的取值范围为______________． (3)(教材母题选必修4.2.2练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1<0，S6＝S20，则Sn取最小值时，n＝________． (4)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝(　　) A．3 B．6 C． D． 解析：(1)C　在等差数列{an}中，a3＋a11＝2a7＝40，可得a7＝20，所以a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝(a4＋a10)－(a5＋a9)＋(a6＋a7＋a8)＝3a7＝60.故选C. (2)[－10，－8]　设等差数列{an}的公差为d，因为Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·＝n＋(a1－)，所以数列{}是以＝a1为首项，为公差的等差数列， 所以－＝＝1，解得d＝2. 因为Sn≥S5， 所以 解得－10≤a1≤－8， 即a1的取值范围为[－10，－8]. (3)13　由题意知a1<0，S6＝S20，设等差数列{an}的公差为d，则6a1＋15d＝20a1＋190d，即175d＝－14a1，因为a1<0，故d>0，即等差数列{an}为首项是负值的递增数列． 又由S6＝S20可得a7＋a8＋…＋a20＝0，即7(a13＋a14)＝0，故a13<0，a14>0， 即等差数列{an}前13项为负，从第14项开始为正，故Sn取最小值时，n＝13. (4)B　数列{an}，{bn}均为等差数列， 由等差数列下标和的性质得 ＋＝＋＝＝2×＝2×＝2×＝2×＝6.故选B. (1)运用等差数列的性质，要关注下标的特点，重点要掌握好如下两条性质： ①若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an； ②数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． (2)应用等差数列的性质解决某些问题，突出了整体思想，因而可减少运算量．　 (3)求等差数列前n项和的最值的两种方法 ①函数法：可以将Sn化为关于n的二次函数，利用求二次函数的最值的方法求出最值，但要注意n∈N*. ②邻项变号法：利用等差数列的单调性，结合等差数列的性质，找到正、负项的分界点，也可快速解决最值问题． 变式探究 2．(2025·山东聊城一模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝49，S15＝45，则a6＝(　　) A．3 B．5 C．7 D．10 解析：B　等差数列{an}的前n项和为Sn， 则S7＝＝7a4＝49，故a4＝7， S15＝＝15a8＝45，故a8＝3， 由2a6＝a4＋a8＝7＋3＝10得a6＝5，故选B. 3．已知{Sn}为等差数列{an}的前n项和，若S4＝14，S6＝S2＋22，则S6＝(　　) A．26 B．27 C．28 D．29 解析：B　由题意得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列， 所以2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，又S4＝14，S6＝S2＋22， 所以2[14－(S6－22)]＝S6－22＋(S6－14)，解得S6＝27.故选B. 4．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 解析：B　因为数列{an}是等差数列，则数列{}也为等差数列，设其公差为d′， 则－＝2＝2d′，则d′＝1， 又因为＝a1＝1， 所以＝1＋n－1＝n，所以Sn＝n2，所以S10＝100.故选B. 5．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝bn＝a2n，则b2026＝________． 解析：8105　由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝5，又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋3(k∈N*)，所以a2k＋2＝a2k＋4(k∈N*)，所以bk＋1＝bk＋4，即bn＋1－bn＝4，所以{bn}为等差数列，公差为4，首项为5，所以b2026＝5＋(2026－1)×4＝8105. 考点3　等差数列的判断与证明 【例3】 (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列． (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解析：(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n，① 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)，② ①－②得， 2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)， 即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 即2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)， 所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以{an}是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12， 所以an＝n－13， 所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝(n－)2－， 所以，当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. (1)等差数列的四个判定方法 ①定义法：即证明an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*). ②中项公式法：即证明2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). ③通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列． ④前n项和公式：得出Sn＝An2＋Bn后，再运用定义法证明数列{an}是等差数列． 注：以上四个方法可用来判断一个数列是不是等差数列，但证明一个数列是等差数列的基本方法是定义法． (2)证明一个数列是等差数列时，要充分利用“目标引导法”，根据目标的结构特点进行变形． (3)利用an＝可将含an与Sn的关系根据变形“目标”的要求转化为只含an或只含Sn来进行研究． 变式探究 6．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：C　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝， 因此{}为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}为等差数列， 即－＝＝为常数， 设为t，即＝t， 则Sn＝nan＋1－tn(n＋1)， 有Sn－1＝(n－1)an－tn(n－1)，n≥2， 两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn， 即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确．故选C. 7．数列{an}中，a1＝a2＝1，前n项和Sn满足Sn＋Sn＋1＝n2＋2n. (1)证明：{a2n}为等差数列． (2)求S101. 解析：(1)证明：因为Sn＋Sn＋1＝n2＋2n，① 所以Sn－1＋Sn＝(n－1)2＋2(n－1)(n≥2)，② ①－②得an＋an＋1＝2n＋1(n≥2)，③ 所以an＋1＋an＋2＝2n＋3，④ ④－③得an＋2－an＝2(n≥2)， 所以a2n－a2(n－1)＝2(n≥2)， 所以{a2n}是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得{a2n}是以1为首项，2为公差的等差数列， 同理可得{a2n－1}是以a3为首项，2为公差的等差数列， 又a2＋a3＝2×2＋1＝5，故a3＝4， 所以前101项的偶数项和为 S偶＝1×50＋×2＝2500， 前101项的奇数项和为 S奇＝1＋50×4＋×2＝2651， 所以S101＝S偶＋S奇＝5151. 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列 课前必备知识 课标要求 1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中识别等差数列.2.掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质． 知识梳理 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的__差__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，符号表示为__an＋1－an＝d__(n∈N*，d为常数). (2)通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是an＝__a1＋(n－1)d__． (3)等差中项：如果三个数a，A，b组成__等差__数列，则A叫做a和b的等差中项，即A＝____. 2．等差数列{an}的常用性质(其中m，n，p，q∈N*) (1)an＝am＋__(n－m)__d. (2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝__ap＋aq__． 特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝__2ap__． (3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为__递增__数列；若d<0，则数列为__递减__数列；若d＝0，则数列为__常__数列． 3．等差数列的前n项和公式 (1)前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝____＝__na1＋d__． (2)等差数列前n项和的性质： Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)设数列{an}是等差数列，且公差为d，(ⅰ)若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶－S奇＝nd；②＝.(ⅱ)若项数为奇数，设共有2n－1项，则①S奇－S偶＝an＝a中(中间项)；②＝. 常用结论 1．等差数列的常用判断方法 (1)定义：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q是常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． (2)若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Sn′，则＝. 3．如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 课前训练 1．若an＝an＋b(其中a，b为常数，n∈N*)，则数列{an}(　　) A．当a≠0时，才是等差数列 B．当b≠0时，才是等差数列 C．一定是等差数列 D．不一定是等差数列 2．(2025·河北统考模拟预测)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，a3＝1，S7＝3a6，则S3＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 3．(2025·安徽蚌埠统考模拟预测)已知等差数列{an}满足a2＋a4＋a6＝π，则cos (a1＋a7)＝(　　) A．－ B． C． D． 4．(教材母题选必修4.2.2练习T3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝11，S9＝17，则S15＝(　　) A．15 B．23 C．28 D．30 5．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则＝________. 课堂核心考点 考点1　等差数列的基本运算 【例1】 (2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 1．解决等差数列运算问题的思想方法 (1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”． (2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解． (3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程． 2．特殊设法：三个数成等差数列，一般设为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列，一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.这对已知和，求数列各项，运算更方便． 变式探究 1．已知数列{an}的前n项和Sn，a1＝1，an>0，anan＋1＝4Sn－1. (1)计算a2的值，求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)nanan＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n. 考点2　等差数列的性质及应用 【例2】 (1)在等差数列{an}中，a3＋a11＝40，则a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值为(　　) A．84 B．72 C．60 D．48 (2)已知等差数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，若－＝1，且Sn≥S5，则a1的取值范围为______________． (3)(教材母题选必修4.2.2练习T3改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1<0，S6＝S20，则Sn取最小值时，n＝________． (4)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝(　　) A．3 B．6 C． D． (1)运用等差数列的性质，要关注下标的特点，重点要掌握好如下两条性质： ①若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an； ②数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列． (2)应用等差数列的性质解决某些问题，突出了整体思想，因而可减少运算量．　 (3)求等差数列前n项和的最值的两种方法 ①函数法：可以将Sn化为关于n的二次函数，利用求二次函数的最值的方法求出最值，但要注意n∈N*. ②邻项变号法：利用等差数列的单调性，结合等差数列的性质，找到正、负项的分界点，也可快速解决最值问题． 变式探究 2．(2025·山东聊城一模)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝49，S15＝45，则a6＝(　　) A．3 B．5 C．7 D．10 3．已知{Sn}为等差数列{an}的前n项和，若S4＝14，S6＝S2＋22，则S6＝(　　) A．26 B．27 C．28 D．29 4．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 5．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝bn＝a2n，则b2026＝________． 考点3　等差数列的判断与证明 【例3】 (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列． (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． (1)等差数列的四个判定方法 ①定义法：即证明an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*). ②中项公式法：即证明2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*). ③通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列． ④前n项和公式：得出Sn＝An2＋Bn后，再运用定义法证明数列{an}是等差数列． 注：以上四个方法可用来判断一个数列是不是等差数列，但证明一个数列是等差数列的基本方法是定义法． (2)证明一个数列是等差数列时，要充分利用“目标引导法”，根据目标的结构特点进行变形． (3)利用an＝可将含an与Sn的关系根据变形“目标”的要求转化为只含an或只含Sn来进行研究． 变式探究 6．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．数列{an}中，a1＝a2＝1，前n项和Sn满足Sn＋Sn＋1＝n2＋2n. (1)证明：{a2n}为等差数列． (2)求S101. 学科网（北京）股份有限公司 $