等比数列 讲义-2026届高三数学一轮复习

等比数列 课前必备知识 课标要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，前n项和公式及其性质．3.了解等比数列与指数函数的关系，能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题． 知识梳理 1．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，__每一项与前一项的比__都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). (2)表示形式：__＝q_(n∈N*)__． (3)等比中项：如果三个数a，G，b成__等比数列__，那么G叫做a，b的等比中项，即__G2＝ab__． (4)通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝__a1qn-1__． 2．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(m，n∈N*). (2)在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则aman＝__apaq__． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{anbn}，{}仍是等比数列． 3．等比数列的前n项和公式 (1)等比数列{an}的公比为q，其前n项和公式为Sn. 当q＝1时，Sn＝__na1__； 当q≠1时，Sn＝____＝____． (2)等比数列前n项和公式的性质：若{an}是公比为q(q≠－1)的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍为等比数列，且公比为__qn__． 常用结论 1．等比数列{an}的单调性 (1)满足或时，{an}是递增数列． (2)满足或时，{an}是递减数列． (3)满足时，{an}是常数列． (4)满足q<0时，{an}是摆动数列． 2．等比数列前n项和公式的特征 当等比数列的公比q≠1时，Sn＝Aqn＋B⇔A＋B＝0. 课前训练 1．(教材母题选必修习题4.3T1改编)已知等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a4＋ a5＝16，则{an}的公比为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．2 解析：C　设{an}的公比为q，则a4＝a1q3，a5＝a2q3，所以a4＋a5＝q3(a1＋a2)，所以q3＝＝＝8，故q＝2.故选C. 2．在等比数列{an}中，若a2024＝4，a2026＝9，则a2025＝(　　) A．6 B．－6 C．±6 D． 解析：C　根据题意及等比数列中项的性质有a＝a2024·a2026， 又a2024＝4，a2026＝9，所以a2025＝6或－6，C正确．故选C. 3．(教材母题选必修4.3.2练习T1改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2＝(　　) A． B．－3 C．－ D．－3或 解析：D　由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，a3＝，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，所以a2＝＝或－3.故选D. 4．(多选)(教材母题选必修4.3.1练习T2改编)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　) A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D．数列{}是公比为的等比数列 解析：AD　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列； 对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于D，＝＝，所以数列{}是公比为的等比数列．故选AD. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n－1，则数列{a}的前n项和为__________. 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n-1，此时，＝3且＝3，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以{a}是首项为4，公比为9的等比数列，所以其前n项和Tn＝＝. 课堂核心考点 考点1　等比数列的基本运算 【例1】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝3S3，a7＝12，则a1＝(　　) A． B． C．2 D．3 (2)记Sn为公比不为1的等比数列{an}的前n项和，a5－a4＝－8a2＋8a1，S6＝21. (ⅰ)求{an}的通项公式； (ⅱ)设bn＝log2a，若由{an}与{bn}的公共项从小到大组成数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析：(1)D　根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若S6＝3S3，即S6－S3＝2S3， 变形可得a4＋a5＋a6＝2(a1＋a2＋a3)，则有q3＝2， 又由a7＝12，则a1＝＝＝3.故选D. (2)(ⅰ)设等比数列{an}的公比为q(q≠1)， 因为a5－a4＝－8a2＋8a1， 即a2q3－a1q3＝－8(a2－a1)，即q3＝－8， 所以q＝－2. 又S6＝＝21，即＝21，解得a1＝－1， 所以an＝－1×(－2)n-1＝(－1)n×2n-1. (ⅱ)由(ⅰ)可得bn＝log2a＝log2[(－1)n×2n-1]2＝log222(n-1)＝2(n－1)， 则数列{bn}为0，2，4，6，…，偶数组成的数列， 又an＝(－1)n×2n-1，令an>0，则n为正偶数，所以c1＝2，c2＝23，c3＝25，…，cn＝22n-1， 所以{cn}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以Tn＝＝. (1)解决等比数列问题，关键是抓住首项a1和公比q，求解时，要注意方程思想的运用． (2)等比数列{an}中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)解决． (3)等比数列与等差数列之间存在着一种运算的对偶关系，等比数列的复习要注意类比等差数列． 变式探究 1．已知等比数列{an}的公比为－，前n项和为Sn.若S2m＝31，Sm＝32，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 解析：C　因为等比数列{an}的公比为－， 则S2m＝＝31，Sm＝＝32， 所以＝＝＝1＋qm＝1＋(－)m＝，解得m＝5.故选C. 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝7，且a1－a4＝－7. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n－1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：当n≥5时，Tn≥56. 解析：(1)设数列{an}的公比为q， 因为则 解得故an＝2n-1. (2)证明：由(1)知bn＝2n-1＋2n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1＋1)＋(2＋3)＋…＋(2n-1＋2n－1) ＝(1＋2＋…＋2n-1)＋(1＋3＋…＋2n－1) ＝＋＝2n－1＋n2， 因为f(x)＝2x－1＋x2在[1，＋∞)上单调递增，则数列{Tn}为递增数列，所以当n≥5时，Tn≥T5＝56， 故当n≥5时，Tn≥56. 考点2　等比数列的性质及应用 【例2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 (2)(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，下列说法正确的是(　　) A．q2＝3 B．a＝4 C．a4a6＝2 D．n＝12 (3)已知正项等比数列{an}满足a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在两项am，an使得＝32，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：(1)C　设等比数列{an}的公比为q， 因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0， 从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝， 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知S8＋21＝－64，即S8＝－85； 当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0， 与S4＝－5矛盾，舍去．故选C. (2)BD　正项等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn-1， 由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得a＝4，a＝12，B正确； 而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A错误； 而a5＝，则a4a6＝a＝2，C错误； 由an＋1an＋2an＋3＝324，得a＝324，即(a2qn)3＝324，因为a＝4， 因此q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，显然q>1，所以3n＝36，解得n＝12，D正确．故选BD. (3)A　等比数列{an}中，因为a2a8＝16a5， 所以a＝16a5，所以a5＝16. 因为a3＋a5＝20，所以a3＝4，所以q2＝＝4， 因为{an}为正项等比数列，所以q＝2， 则a1＝＝＝1，所以an＝2n-1. 因为＝32，所以aman＝210， 所以2m＋n-2＝210， 所以m＋n＝12，且m>0，n>0， 所以＋＝(＋)(m＋n) ＝(5＋＋) ≥(5＋2) ＝， 当且仅当＝，即m＝4，n＝8时等号成立．故选A. (1)在等比数列的计算时，要注意性质的运用和整体代入，以简化运算．等比数列的常用性质： ①an＝amqn－m. ②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. ③等比数列连续k项的和(Sk≠0)仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k仍成等比数列，公比为qk. (2) 等比数列的性质主要来源于通项公式、等比中项及前n项和公式的变形．具体运用时，要关注“下标”的特点，对条件与所求结构的特点进行分析，即可找到解决问题的突破口． 变式探究 3．(2025·黄冈模拟)已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an.若a2a5a8＝212，则b1＋b2＋b3＋…＋b9＝(　　) A．24 B．32 C．36 D．40 解析：C　因为{an}是正项等比数列，a2a5a8＝212， 所以a＝212＝(24)3，则a5＝24， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b9 ＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9 ＝log2(a1a2a3…a9)＝log2a ＝log2(24)9＝log2236＝36.故选C. 4．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，若a2＋a4＋a6＝4π，b2b4b6＝3，则tan ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　因为{an}是等差数列，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝4π，故a4＝，则a1＋a7＝2a4＝. 因为{bn}是等比数列，所以b2b4b6＝b＝3， 故b4＝，则b2b6＝b＝3， 所以tan ＝tan ＝－.故选A. 5．已知各项均为正数的数列{an}满足对任意的正整数m，n都有am＋n＝aman，a6＝8，则＝(　　) A． B． C．2 D．4 解析：B　(方法1)对于am＋n＝aman，取m＝1，得an＋1＝a1an， 所以数列{an}是首项为a1，公比为a1的等比数列， 所以an＝a，则a6＝a＝8，得a＝2， 所以＝＝＝＝.故选B. (方法2)对于am＋n＝aman，取m＝n＝3，得a6＝a， 又a6＝8，所以a3＝2， 则＝＝＝＝.故选B. 考点3　等比数列的判断与证明 【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列． (2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝求数列{bn}的前14项和． 解析：(1)证明：Sn＝2an－n＋1，① 则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋1－2an－1， 即an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)， 令Sn＝2an－n＋1中n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0，则a1＋1＝1， 所以{an＋1}是首项为1，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an＋1＝2n-1，则an＝2n-1－1， 所以bn＋1＝且b1＝a2＝22-1－1＝1， 所以当n为偶数时，bn＋1＝2n-1－1－bn，即bn＋bn＋1＝2n-1－1， 所以b1＋b2＋…＋b14 ＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b12＋b13)＋b14， ＝1＋21－1＋23－1＋…＋211－1＋212－1， ＝1＋－6＋212－1 ＝. (1)判定或证明一个数列是等比数列的基本方法是运用定义． 注意：在等比数列定义中，隐含了a1≠0，q≠0，在证明时，要注意适当加以说明． (2)在解决等差、等比数列的综合问题时，要注意“目标引导”(“需要什么，就求什么”)，根据目标的需要去变形，去构造，才能快速找到解题途径，达到解决问题的目的． (3)一般地，若an＋1＝pan＋q(p，q是常数)，则可变形为an＋1－λ＝p(an－λ)，利用待定系数法可确定其中的λ. 变式探究 6．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列． (2)若a1＝，a2＝，求数列{an}的通项公式及前n项和． 解析：(1)证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)， 因为{an}中各项均为正数， 所以an＋1＋an＞0，所以＝3， 所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列． (2)因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an). 因为a2＝3a1，所以a2－3a1＝0， 所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an， 所以数列{an}为等比数列， 所以an＝×3n-1. 所以数列{an}的前n项和 Sn＝＝(3n－1). 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列 课前必备知识 课标要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，前n项和公式及其性质．3.了解等比数列与指数函数的关系，能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题． 知识梳理 1．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，__每一项与前一项的比__都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). (2)表示形式：__＝q_(n∈N*)__． (3)等比中项：如果三个数a，G，b成__等比数列__，那么G叫做a，b的等比中项，即__G2＝ab__． (4)通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝__a1qn-1__． 2．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(m，n∈N*). (2)在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则aman＝__apaq__． (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{anbn}，{}仍是等比数列． 3．等比数列的前n项和公式 (1)等比数列{an}的公比为q，其前n项和公式为Sn. 当q＝1时，Sn＝__na1__； 当q≠1时，Sn＝____＝____． (2)等比数列前n项和公式的性质：若{an}是公比为q(q≠－1)的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍为等比数列，且公比为__qn__． 常用结论 1．等比数列{an}的单调性 (1)满足或时，{an}是递增数列． (2)满足或时，{an}是递减数列． (3)满足时，{an}是常数列． (4)满足q<0时，{an}是摆动数列． 2．等比数列前n项和公式的特征 当等比数列的公比q≠1时，Sn＝Aqn＋B⇔A＋B＝0. 课前训练 1．(教材母题选必修习题4.3T1改编)已知等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a4＋ a5＝16，则{an}的公比为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．2 2．在等比数列{an}中，若a2024＝4，a2026＝9，则a2025＝(　　) A．6 B．－6 C．±6 D． 3．(教材母题选必修4.3.2练习T1改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2＝(　　) A． B．－3 C．－ D．－3或 4．(多选)(教材母题选必修4.3.1练习T2改编)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　) A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D．数列{}是公比为的等比数列 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n－1，则数列{a}的前n项和为__________. 课堂核心考点 考点1　等比数列的基本运算 【例1】 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝3S3，a7＝12，则a1＝(　　) A． B． C．2 D．3 (2)记Sn为公比不为1的等比数列{an}的前n项和，a5－a4＝－8a2＋8a1，S6＝21. (ⅰ)求{an}的通项公式； (ⅱ)设bn＝log2a，若由{an}与{bn}的公共项从小到大组成数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. (1)解决等比数列问题，关键是抓住首项a1和公比q，求解时，要注意方程思想的运用． (2)等比数列{an}中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)解决． (3)等比数列与等差数列之间存在着一种运算的对偶关系，等比数列的复习要注意类比等差数列． 变式探究 1．已知等比数列{an}的公比为－，前n项和为Sn.若S2m＝31，Sm＝32，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝7，且a1－a4＝－7. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n－1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：当n≥5时，Tn≥56. 考点2　等比数列的性质及应用 【例2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 (2)(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，下列说法正确的是(　　) A．q2＝3 B．a＝4 C．a4a6＝2 D．n＝12 (3)已知正项等比数列{an}满足a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在两项am，an使得＝32，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D． (1)在等比数列的计算时，要注意性质的运用和整体代入，以简化运算．等比数列的常用性质： ①an＝amqn－m. ②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq. ③等比数列连续k项的和(Sk≠0)仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k仍成等比数列，公比为qk. (2) 等比数列的性质主要来源于通项公式、等比中项及前n项和公式的变形．具体运用时，要关注“下标”的特点，对条件与所求结构的特点进行分析，即可找到解决问题的突破口． 变式探究 3．(2025·黄冈模拟)已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝log2an.若a2a5a8＝212，则b1＋b2＋b3＋…＋b9＝(　　) A．24 B．32 C．36 D．40 4．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，若a2＋a4＋a6＝4π，b2b4b6＝3，则tan ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 5．已知各项均为正数的数列{an}满足对任意的正整数m，n都有am＋n＝aman，a6＝8，则＝(　　) A． B． C．2 D．4 考点3　等比数列的判断与证明 【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列． (2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝求数列{bn}的前14项和． (1)判定或证明一个数列是等比数列的基本方法是运用定义． 注意：在等比数列定义中，隐含了a1≠0，q≠0，在证明时，要注意适当加以说明． (2)在解决等差、等比数列的综合问题时，要注意“目标引导”(“需要什么，就求什么”)，根据目标的需要去变形，去构造，才能快速找到解题途径，达到解决问题的目的． (3)一般地，若an＋1＝pan＋q(p，q是常数)，则可变形为an＋1－λ＝p(an－λ)，利用待定系数法可确定其中的λ. 变式探究 6．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列． (2)若a1＝，a2＝，求数列{an}的通项公式及前n项和． 学科网（北京）股份有限公司 $