第22章 二次函数 单元提高训练2025-2026学年人教版九年级数学上册

《二次函数》单元提高训练 一．选择题 1．二次函数y＝（x+3）2﹣5的顶点坐标是（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，5） 2．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4 3．如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A．B． C． D． 5．下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝﹣2的是（　　） A．y＝2x2﹣2 B．y＝﹣2x2﹣2 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝（x+2）2 6．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x的部分取值和对应函数值y如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 则在实数范围内能使得y＜0成立的x取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 …… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …… 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m； ②足球飞行路线的对称轴是直线； ③足球被踢出8s时落地； ④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（，y1）（，y2）是抛物线上的两点，则y1＝y2；⑤b+c＞m（am+b）（其中m），正确的结论有（　　） A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤ 二．填空题 9．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，m），B（3，m），C（4，n），则c和n的大小关系是　 　 ． 10．如图是抛物线y＝x2+2x﹣3的图象，结合图象，可知方程有　 　 个实数根． 11．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 　 　 ． 12．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 　 　 元时，网店该商品每天盈利最多． 13．已知二次函数y＝|a﹣1|x2﹣bx﹣c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣1和2，求当y＞0时，x的取值范围为 　 　 ． 14．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac，正确的有 　 　 ． 三．解答题 15．已知y＝（k+2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 16．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）． （1）求b； （2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式． 17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 18．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标． 19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（6，7），其对称轴为直线x＝2． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）当时，求函数值y的取值范围． （3）当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是　 　 ． （4）已知A、B两点均在抛物线y＝x2+bx+c上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m+2．将抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象记为M，当图象M的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值． 20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）． （1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式； （2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值； （3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值； （4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围． 21．如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P． （1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上； （2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点； （3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，求点B横坐标的取值范围？ 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A B D C D B 二．填空题 9．c＜n． 10．3． 11．a＞b＞d＞c． 12．80． 13．x＜﹣1或x＞2． 14．①③④． 三．解答题 15．解：（1）根据题意得k+2≠0且k2+k﹣4＝2，解得k1＝﹣3，k2＝2， ∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0， ∴k＝﹣3； （2）由（1）得y＝﹣x2， ∴顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴． 16．解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5）， ∴4+2b﹣3＝5，解得b＝2， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）y＝x2+2x﹣3 ＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x+1）2﹣4． 17．解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，依题意得： y＝（40﹣x）（20+2x） ＝800+80x﹣20x﹣2x2 ＝﹣2x2+60x+800， 当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得x1＝10，x2＝20， ∵要尽快减少库存， ∴x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 18．解：（1）将（﹣3，0），（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3． （2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∵点A坐标为（﹣3，0）， ∴点B坐标为（1，0）， ∴AB＝4， ∵三角形ABP的面积为6， ∴S△ABPAB•|yP|＝2|yP|＝6， ∴yP＝±3， 把y＝3代入y＝x2+2x﹣3得3＝x2+2x﹣3， 解得x＝﹣1或x＝﹣1， 把y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得﹣3＝x2+2x﹣3， 解得x＝0或x＝﹣2， ∴点P坐标为（﹣1，3）或（﹣1，3）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）． 19．解：（1）由题意，得，解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）∵，对称轴为直线x＝2， ∴当x＝2时，， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是﹣9≤y； （3）把y＝7代入y＝x2﹣4x﹣5得，7＝x2﹣4x﹣5， 解得x1＝6，x2＝﹣2， ∴当﹣2≤x≤k时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，则k的取值范围是2＜k≤6， 故答案为2＜k≤6； （4）点A、B的坐标分别为（m，m2﹣4m﹣5）、（m+2，m2﹣9）， 当m≤0时，m2﹣4m﹣5﹣（m2﹣9）＝2， 解得（不合题意，舍去）． 当0＜m≤1时，m2﹣4m﹣5﹣（﹣9）＝2， 解得，（不合题意，舍去）． 当1＜m≤2时，m2﹣9﹣（﹣9）＝2， 解得，（不合题意，舍去）． 当m＞2时，m2﹣9﹣（m2﹣4m﹣5）＝2， 解得（不合题意，舍去）． 综上，m的值为或． 20．解：（1）把A（﹣1，6）代入y＝ax2﹣4ax+1，得a+4a+1＝6，解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+1． （2）∵y＝ax2﹣4ax+1＝a（x﹣2）2﹣4a+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵抛物线的顶点的横坐标在1≤x≤5的范围内， ∴抛物线的顶点的纵坐标就是y的最小值﹣1， ∴﹣4a+1＝﹣1， 解得a， ∴抛物线的解析式为yx2﹣2x+1， 当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y最大2+1； 当2＜x≤5时，y随x的增大而增大，当x＝5时，y最大10+1， ∵， ∴y的最大值为． （3）∵直线y＝﹣x+1及抛物线y＝ax2﹣4ax+1与y轴的交点都是（0，1）， ∴直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1的两个交点到x轴的距离都是1，且其中一个交点坐标为（0，1）， ∴另一个交点的纵坐标为﹣1， 当y＝﹣1时，由﹣1＝﹣x+1，得x＝2， ∴另一交点坐标为（2，﹣1）， 把（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1得4a﹣8a+1＝﹣1，解得． （4）由题意可知，抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形， ∴该区域内x轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，x轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于x轴对称． 如图，对于抛物线G，当x＝1时，y＝﹣3a+1；当x＝2时，y＝﹣4a+1， 由题意，得， 解得a≤1， ∴a的取值范围是a≤1． 21．解：（1）图形如图所示，由题意台阶T4左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7）， 对于抛物线y＝﹣x2+4x+12， 令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6， ∴A（﹣2，0）， ∴点A的横坐标为﹣2， 当x＝4.5时，y＝9.75＞7， 当x＝6时，y＝0＜7， 当y＝7时，7＝﹣x2+4x+12， 解得x＝﹣1或5， ∴抛物线与台阶T4有交点，设交点为R（5，7）， ∴点P会落在台阶T4上． （2）由题意抛物线C：y＝﹣x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11， ∴， 解得或（舍弃）， ∴抛物线C的解析式为y＝﹣x2+14x﹣38， 对称轴x＝7， ∵台阶T5的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6）， ∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点． （3）对于抛物线C：y＝﹣x2+14x﹣38， 令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±， ∴抛物线C交x轴的正半轴于（7，0）， 当y＝2时，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10， ∴抛物线经过（10，2）， Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2， ∴当点D与（7，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8， 当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10， ∴点B横坐标的取值范围为10≤xB≤8． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/18 22:19:11；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $