精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

红桥高级中学2025—2026学年度第一学期 高二数学月考试卷 出卷人：孟春云；审核人：魏跃军 试卷满分150分；考试时长120分钟；2025.10 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程为，则圆心坐标为直接求解即可． 【详解】因为圆， 所以圆心坐标是． 故选：B． 2. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解并判断． 【详解】∵， ∴直线l平行于x轴，其倾斜角为0， 故选：A． 3. 已知复数满足，为虚数单位，则z的虚部是 A. -2i B. 2i C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得z=a+bi(a,b∈R)的形式,根据虚部定义得到答案.注意虚部是指i的系数b,而不是bi 【详解】因为复数满足，则,因此的虚部是-2，故选C 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆圆心之间的距离与半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆圆心之间的距离为，故， 所以两圆相交. 故选：B 5. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用两直线平行列式计算并验证作答. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，即为，两直线重合，不符合题意； 当时，，，两直线平行. 综上所述，. 故选：D. 6. 已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以， 所以． 故选：A. 7. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 10. 若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上的点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，根据求得曲线的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，由，得，而， 所以， 整理得，所以A选项正确. B选项，圆的圆心为，半径为， 设直线的方程为， 到直线的距离， ，两边平方并化简得， 解得，所以直线斜率范围是，B选项正确. C选项，到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，C选项错误. D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛： 通过设定比值来求解轨迹：首先设定两点之间的距离之比，并将其代入直角坐标系中，推导出曲线的方程. 这一步奠定了解题的基础. 利用距离公式分析直线与曲线关系：通过设定直线方程并利用点到直线的距离公式，求解出符合条件的斜率范围，确保直线与曲线存在公共点. 结合几何关系确定切线条件：利用点和斜率的关系，结合几何推导，确定切线条件，从而判断选项的正确性. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求得线段中点坐标，再求直线的斜率，进而确定垂直平分线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可. 【详解】因为两点，， 所以线段中点坐标为，， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 由点斜式可知：线段AB的垂直平分线的方程为：， 整理得：. 故答案为：. 13. 若复数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得. 【详解】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 14. 设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于，经过的定点为，所以， 由，经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知复数，，. （1）当时，求的值. （2）若是纯虚数，求的值. （3）若在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）当时，根据复数的乘法运算，即可求解； （2）化简复数，根据复数为纯虚数，得到，即可求解； （3）化简复数，根据在复平面上复数对应点位于第二象限点，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，可得； （2）由复数为纯虚数，可得，解得； （3）由， 可得在复平面上复数对应点， 因为点位于第二象限点，可得，解得，所以的范围是. 16. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解. 【小问1详解】 由，得直线的斜率为， 由，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 【小问2详解】 设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即； 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 17. 已知顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求点到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式，设，则，结合在直线上，在直线上，将对应点代入直线方程可求，进而得到点的坐标； （2）由可求，由点斜式求出方程，再结合点到直线距离公式即可求解. 【小问1详解】 设，则， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 ∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）点是圆上任意一点，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据直线与圆相切的性质求出圆心坐标，进而得到圆的半径，从而确定圆的标准方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理求出直线方程； （3）将看作圆上一点与点连线的斜率，通过直线与圆的位置关系求出斜率的取值范围. 【小问1详解】 设圆心的坐标为，已知圆与直线相切于点，则直线（）与直线垂直. 直线的斜率，可得直线的斜率， 即，解得，所以圆心. 圆的半径. 则圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离. 根据垂径定理，满足题意 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理可得， 即，，，解得. 则直线的方程为，即. 综上，直线的一般式方程为或. 【小问3详解】 设，则，即. 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，即， .由图形知道， 所以的取值范围是. 19. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由得的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点，则和为等腰直角三角形，利用两平行线距离公式可求. 【小问1详解】 将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． 【小问2详解】 设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥高级中学2025—2026学年度第一学期 高二数学月考试卷 出卷人：孟春云；审核人：魏跃军 试卷满分150分；考试时长120分钟；2025.10 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 3. 已知复数满足，为虚数单位，则z的虚部是 A. -2i B. 2i C. -2 D. 2 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 5. 若直线，平行，则＝（ ） A. B. 1或0 C. 0 D. 1 6. 已知三角形三个顶点，，，则边上中线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 过点直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C. 曲线上点到直线的最小距离为 D. 过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点，，则线段AB的垂直平分线的一般式方程为______. 13. 若复数满足，则的最小值是__________. 14. 设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，. （1）当时，求的值. （2）若是纯虚数，求的值. （3）若在复平面上对应点在第二象限，求的取值范围. 16. 平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. （1）求点的坐标； （2）求点到直线的距离. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）点是圆上任意一点，求的取值范围. 19. 已知圆． （1）若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． （2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $