精品解析：陕西省渭南市临渭区前进路初级中学2025-2026学年九年级上学期第一阶段综合作业数学试卷

数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程x2﹣16＝0的根是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ±4 D. 16 2. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为（ ） A. 11 B. C. D. 7 4. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 6. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．则下列结论正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 10. 若关于x的方程有一个根为，则的值是 _____． 11. 某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行通道，如图所示，阴影部分为通道，其余部分种植花卉，同样宽度的通道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设通道的宽为x米，根据题意可列方程为______． 12. 如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°． 13. 如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于____． 14. 如图，正方形边长为2，E、F分别是边上的点，交于点P，当时，的最小值为______． 三、解答题（共78分） 15. 解方程：． 16. 下面是圆圆解方程的过程． 解方程： 解：……第一步 ……第二步 ，……第三步 （1）在圆圆解方程的过程中，是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 步开始出现错误； （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 17. 如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，是的中点，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 19. 华山山名最早出现在《山海经》和《禹贡》中，即春秋战国时期就有“华山”之名，华山素有“奇险天下第一山”之称．琳琳一家人爬完华山后，琳琳洗了四张照片（照片除所拍山峰不一样外其他均相同），分别是东（E）、西（W）、南（S）、北（N）峰（如图），将这四张照片背面朝上放在桌面上，选匀． （1）琳琳从这四张照片中随机抽取一张，则抽到东峰的概率为 ； （2）琳琳从这四张照片中随机同时抽取两张，并在这两张照片的背面写上祝福语分别送给爸爸和妈妈．请用列表法或画树状图法求琳琳抽取的两张照片中有南峰的概率． 20. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在分列式中，高擎国旗、党旗、军旗的仪仗方队作为第一个出场的徒步方队，接受检阅．已知仪仗方队共213人，其中擎旗手和护旗手共9人在前，其余人组成一个方阵，每一排的人数比每一列的人数多5人，求仪仗方队有多少排多少列． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 22. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 23. 如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． （1）是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 24. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 25. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E是延长线上一点，点H是上一点，连接垂直平分交于点G． ①求证：； ②求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一个菱形花圃，，．连接，现计划在上分别找点P、E，在区域种植甲种花卉．根据规划要求，为使美观沿线段布置灯带．当灯带的长最小时，请求此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程x2﹣16＝0的根是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. ±4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法，即可求解． 【详解】解：x2﹣16＝0 移项得： ， 解得： ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，但不符合题意； B．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，但不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，但不符合题意； D．当时，平行四边形是矩形，不一定是正方形，故该选项错误，符合题意， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为（ ） A. 11 B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，解决此题的关键是熟练掌握配方法的步骤；两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，配成完全平方即可解决问题； 【详解】解： ， ， 由题意可知：， ∴， 故答案为：D． 4. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是判断出是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到，判断出是等腰三角形，算出其底角的度数，进而利用得到答案即可． 【详解】解：∵在正方形的外侧，作等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在菱形中，与交于点，过点作于点，连接，则的长为（　　） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理求出长，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 6. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 在方程中， △=， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键． 7. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程． 设这批椽的数量为株，可得一株椽的价钱为文，根据题意列方程即可． 【详解】解：∵这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为文， 依题意得， 故选：A． 8. 正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．则下列结论正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理和全等三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点间的联系；根据正方形的性质得到线段相等和角相等，可以判断②正确；由以上的条件也可证明三角形全等，进而可以得到①正确，运用两次勾股定理可以判断③正确，通过等量代换可以判断④正确； 【详解】解：在正方形，中 ，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴ ∴， ∴， 故①正确； 在中，， 即 在中，， ∴， 故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， 故④正确； 综上可知：①②③④都正确，共4个， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：，且 解得： 故答案为： 10. 若关于x的方程有一个根为，则的值是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】把代入方程中，求解即可； 【详解】解：将代入方程得： 解得：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程；理解方程的解与方程的关系是解题的关键． 11. 某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行通道，如图所示，阴影部分为通道，其余部分种植花卉，同样宽度的通道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设通道的宽为x米，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为米，宽为米的矩形，结合花卉种植面积共为306平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米， ∴种植花卉的部分可合成长为米，宽为米的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°． 【答案】135 【解析】 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 13. 如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=4，S△ABD=6，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接AP，如图， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB=AD=4， ∴S菱形ABCD=2S△ABD， ∴S△ABD=×12=6， 而S△ABD=S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD， ∴•PE•AB+•PF•AD=6， ∴2PE+2PF=6， ∴PE+PF=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式． 14. 如图，正方形边长为2，E、F分别是边上的点，交于点P，当时，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，由正方形的性质可得 ，证明可推出，取的中点O，连接，则，利用勾股定理可求出的长，再根据，可知当O、P、B三点共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取的中点O，连接，则， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴当O、P、B三点共线时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解决此题的关键是熟练运用因式分解的方法解一元二次方程． 【详解】解： 或 ∴． 16. 下面是圆圆解方程的过程． 解方程： 解：……第一步 ……第二步 ，……第三步 （1）在圆圆解方程的过程中，是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 步开始出现错误； （2）请你用不同于（1）中的方法解该方程． 【答案】（1）配方法；二 （2），方法见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）由解题过程可知，利用配方法解的方程，第二步配方时，方程右边没有加1，从而导致后续求解过程错误； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察可知，在圆圆解方程的过程中，是用配方法求解的， 且从第二步开始出现错误，错误原因是配方法时方程右边没有加1； 【小问2详解】 解： 或， 解得． 17. 如图，在中，．请用尺规作图法，在外求作一点，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点，则，所以四边形是菱形． 【详解】解：如图所示， ∵分别以为圆心，为半径画弧，两弧相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，即点是所求作的点． 【点睛】本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定条件“四条边都相等的四边形是菱形”是解题的关键． 18. 如图，在中，，是的中点，，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，直角三角形斜边上的中线．菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．首先判定四边形是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线的性质判定该平行四边形的邻边相等，即可证得四边形是菱形． 【详解】解：四边形是菱形．理由如下： ∵， 四边形是平行四边形， 又在中，，是的中点， ， 四边形是菱形． 19. 华山山名最早出现在《山海经》和《禹贡》中，即春秋战国时期就有“华山”之名，华山素有“奇险天下第一山”之称．琳琳一家人爬完华山后，琳琳洗了四张照片（照片除所拍山峰不一样外其他均相同），分别是东（E）、西（W）、南（S）、北（N）峰（如图），将这四张照片背面朝上放在桌面上，选匀． （1）琳琳从这四张照片中随机抽取一张，则抽到东峰的概率为 ； （2）琳琳从这四张照片中随机同时抽取两张，并在这两张照片的背面写上祝福语分别送给爸爸和妈妈．请用列表法或画树状图法求琳琳抽取的两张照片中有南峰的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到东峰的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及琳琳抽取的两张照片中有南峰的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到东峰的结果有1种， 琳琳从这四张照片中随机抽取一张，抽到东峰的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中琳琳抽取的两张照片中有南峰的结果有：，，，，，，共6种， 琳琳抽取的两张照片中有南峰的概率为． 20. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．在分列式中，高擎国旗、党旗、军旗的仪仗方队作为第一个出场的徒步方队，接受检阅．已知仪仗方队共213人，其中擎旗手和护旗手共9人在前，其余人组成一个方阵，每一排的人数比每一列的人数多5人，求仪仗方队有多少排多少列． 【答案】仪仗方队有12排，17列 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设仪仗方队有x排，则有列，再根据方阵的人数建立方程求解即可． 【详解】解：设仪仗方队有x排，则有列， 由题意得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：仪仗方队有12排，17列． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 22. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． （1）是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． （2）在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【答案】（1） 是，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）不发生变化， 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形的面积不发生变化， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积， ∴不发生变化， 过点A作于点H， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴ 24. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低1元，每天可多售出50千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应降低3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据当“户太八号”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 25. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E是延长线上一点，点H是上一点，连接垂直平分交于点G． ①求证：； ②求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一个菱形花圃，，．连接，现计划在上分别找点P、E，在区域种植甲种花卉．根据规划要求，为使美观沿线段布置灯带．当灯带的长最小时，请求此时的面积． 【答案】 （1）①证明：由题意得：，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ②； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形以及菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握相关几何结论是解题关键. （1）①证即可；②由可得，进而可推出是等腰直角三角形，即可求解； （2）由题意可得当时，灯带的长最小；延长交于点，根据可推出点是线段的中点；证明得，进一步求出，再根据即可求解 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）∵点E为上的点， ∴当时，灯带的长最小， 如图所示：延长交于点， ∵， ∴ ∴ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 即：点是线段的中点， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵点是线段的中点， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $