2.4有理数的乘方 举一反三 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2.4有理数的乘方 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】对有理数幂概念的理解 7 【题型2】有理数乘方运算 8 【题型3】有理数乘方的逆运算 11 【题型4】有理数乘方的符号规律 12 【题型5】有理数乘方的应用 14 【题型6】用科学记数法表示绝对值大于1的数 17 【题型7】求用科学记数法表示的数的原数 18 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 1.（2024秋•莲池区期末）下列选项中为负数的是（　　） A．3 B．（-3）2 C．-32 D．|-3| 【答案】C． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．3＞0，是正数，不符合题意； B．（-3）2=9＞0，是正数，不符合题意； C．-32=-9＜0，是负数，符合题意； D．|-3|=3＞0，是正数，不符合题意； 故选：C． 2.（2024秋•平泉市期末）下列选项中为负数的是（　　） A．5 B．|-5| C．-5 D．（-5）2 【答案】C． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．5＞0，是正数，不符合题意； B．|-5|=5＞0，是正数，不符合题意； C．-5＜0，是负数，符合题意； D．（-5）2=25＞0，是正数，不符合题意； 故选：C． 【知识点2】非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024春•儋州校级月考）如果|a-2|+（b+3）2=0，那么a+b的值是（　　） A．-5 B．1 C．-1 D．5 【答案】C． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a-2|+（b+3）2=0， ∴a-2=0，b+3=0， ∴a=2，b=-3， ∴a+b=2-3=-1． 故选：C． 2.（2024秋•城口县校级期中）已知|3a+1|+（b-3）2=0，则（ab）2024的值为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．3 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|3a+1|+（b-3）2=0， ∴3a+1=0，b-3=0， ∴a=，b=3， ∴（ab）2024==1． 故选：A． 【知识点3】近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 1.（2024秋•桥西区期末）用四舍五入法将3.8541精确到十分位后的结果是（　　） A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．3.85 【答案】B 【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可． 【解答】解：将3.8541精确到十分位后的结果是3.9． 故选：B． 2.（2023秋•东海县期末）四舍五入得到的近似数6.49万，精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：近似数6.49万精确到百位． 故选：C． 【知识点4】科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 1.（2025•海南模拟）某市今年约有15000名学生报名参加中考，用科学记数法表示15000为（　　） A．15×104 B．1.5×104 C．0.15×105 D．1.5×105 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：15000=1.5×104． 故选：B． 【知识点5】科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律  x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数-1 |x|＜1 a×10-n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 1.（2025•浙江模拟）我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为0.0000000023m,将数0.0000000023用科学记数法表示为（　　） A．23×10-8 B．2.3×10-9 C．0.23×10-7 D．2.3×10-10 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000000023=2.3×10-9． 故选：B． 【知识点6】科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1.（2024•沈丘县一模）小数0.0…0221用科学记数法表示为2.21×10⁻15，则原数中“0”的个数为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法；当用科学记数法表示较小的数时，n为从左往右看第一个不为0 的数前面0的个数，据此即可求得答案． 【解答】解：∵0.0…0221=2.21×10-15， ∴原数中“0”的个数为15． 故选：B． 2.（2024•威远县校级模拟）据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校1.12×104所，在校生超过2.915×107人，则1.12×104表示的原数为（　　） A．112000 B．1120 C．11200 D．112 【答案】C 【分析】用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位． 【解答】解：1.12×104表示的原数为11200． 故选：C． 【知识点7】科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 【题型1】对有理数幂概念的理解 【典型例题】下列选项中，与2m为同底数幂的是(　　) A.3m B. C.﹣2m D.(﹣2)m 【答案】C 【解析】A. 3m 的底数是3，故不合题意；    B.的底数是，故不合题意；     C. ﹣2m的底数是2，故符合题意；     D. (﹣2)m的底数是-2，故不合题意； 故选C. 【举一反三1】的指数是(    ) A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 【答案】C 【解析】根据乘方的概念，的指数是3， 即答案选C. 【举一反三2】某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成    个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成    个． 【答案】64 　　22t+6 【解析】因为3分=6个30秒，所以1个细菌经过3分钟分裂成26个，即64个． t分=2t个30秒， 再继续分裂t分钟，即一个细菌分裂了(2t+6)次， 此时共分裂22t+6个． 故答案为：64，22t+6． 【举一反三3】平方是的数是            ，立方是的数是            ． 【答案】 　　-2 【解析】，，平方是的数是，立方是的数是-2； 故答案为：；-2． 【举一反三4】填表： 【答案】解　填表如下： 【举一反三5】讨论：观察下面两个式子有什么不同？ (1)(－4)2与－42； (2)与. 【答案】解　(1)(－4)2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反数， (－4)2与－42互为相反数； (2)表示的平方，表示除以5． 【题型2】有理数乘方运算 【典型例题】的运算结果是 (    ) A.-27 B.27 C.9 D.-9 【答案】B 【解析】 =-(-27)=27， 故选：B． 【举一反三1】计算：，，，，．．．，归纳各计算结果中的各位数字规律，猜测的个位数字是(　　) A.1 B.3 C.7 D.5 【答案】C 【解析】∵21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15， 25-1=31，26-1=63，27-1=127，28-1=255… 个位数字以4个为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环， ∵2019÷4=504……3，而第3个数字为7，∴22019-1的个位数字是7． 故选C． 【举一反三2】大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如， ，，…，若分裂后，其中有一个奇数是777，则m的值是(　　) A.29 B.28 C.27 D.26 【答案】B 【解析】因为底数为2的分裂为2个奇数，底数为3的分裂为3个奇数，底数为4的分裂为4个奇数， 所以可分裂为m个奇数， ， 777是从3开始的第388个奇数， ，， 第388个奇数是底数为28的数的立方分裂的奇数中的一个，即， 故选：B． 【举一反三3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是           ．    【答案】452 【解析】． 故答案为：． 【举一反三4】若，，试确定的末位数字是             ． 【答案】6 【解析】∵25的任何次幂的末位数字都是5，的偶次幂是正数，且当次数为4的倍数时，其末位数字为1， 所以的末位数字一定是5， 又∵，所以的末位数字一定是1， 所以的末位数字一定是， 故答案为：6． 【举一反三5】计算： (1)；　　　　         　 (2)(－0.2)3； (3)(－2)3×(－2)2；　        (4). 【答案】解　(1)=； (2)(－0.2)3=(－0.2)－0.008； (3)(－2)3×(－2)2=-8=-32； (4)==. 【举一反三6】计算： (1)； (2)0.1252×82； (3)(－0.1)4×103； (4)； (5)－22016＋(－2)2016； (6)． 【答案】解　(1) =； (2)0.1252×82=(0.125×8)2=12=1； (3)(－0.1)4×103=； (4) =-4×4=-16； (5)－22016＋(－2)2016=－22016+22016=0； (6) =4-4+． 【题型3】有理数乘方的逆运算 【典型例题】计算(－)2018×()2018的结果为(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2018 【答案】B 【解析】(－)2018×()2018＝(－)2018＝(−1)2018＝1． 故选：B． 【举一反三1】若，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若， a=±b，故A、B、C不一定成立； ，故D正确. 故选D． 【举一反三2】一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做(即)．根据上述定义，计算的值为            ． 【答案】 【解析】，，， 故答案为：． 【举一反三3】探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)， 23﹣22=　　　　=2(　　)， 24﹣23=　　　　=2(　　)， …… (1)请仔细观察，写出第4个等式； (2)请你找规律，写出第n个等式； (3)计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 【答案】解　探究：， ， ． (1)第4个等式为； (2)归纳类推得：第n个等式为； (3)原式 ． 【题型4】有理数乘方的符号规律 【典型例题】观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当a<0时，；②当时，．其中表示的规律正确的是(    ) A.① B.② C.①、②都正确 D.①、②都不正确 【答案】B 【解析】由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当a<0时，，式子①错误； 由三组数的运算得：，，， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【举一反三1】通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是(    ) A.123454321 B.1234564321 C.1234567654321 D.123456787654321 【答案】C 【解析】根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【举一反三2】当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有(   ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【解析】当a＜0时，a2021是负数，故①正确； (-a)2021＝-a2021， a2021=-(-a)2021，故②正确，④错误； a2020=(-a)2020，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【举一反三3】若(a+2)+|b-1|=0，则(b+a)=          ． 【答案】-1 【解析】 【举一反三4】若，试问，当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 【答案】解　∵恒成立，∴当它为零的时候，才会有最大值， ∴当时，y有最大值，最大值是12． 【举一反三5】判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】解　(1)的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，故为正； (2)的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，故为负； (3)表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正， 所以的结果为负； (4)的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知为负. 【题型5】有理数乘方的应用 【典型例题】l米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】l米长的小棒，第1次截去一半，剩； 第2次截去剩下的一半，剩=×=()2； 第3次截去剩下的一半，剩=××=()3； …… 如此下去，第6次后剩下的小棒长为()6 = ； 故选C． 【举一反三1】缸内红茶菌的面积每天长大一倍，若16天长满整个缸面，那么经过(    )天长满一半. A.8 B.9 C.14 D.15 【答案】D 【解析】∵红茶菌的面积每天长大一倍， ∴前一天缸内红茶菌的面积是后一天的二分之一， ∵16天长满整个缸面， ∴经过15天长满一半. 故选D. 【举一反三2】探索规律，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，那么72 018＋1的个位数字是(　　) A.8 B.4 C.2 D.0 【答案】D 【解析】∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…， 从到，它们值的个位数字是按照“7、9、3、1”依次循环出现的， ，的个位数字是9，的个位数字是0. 故选D. 【举一反三3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是(     ) A.81 B.508 C.928 D.1324 【答案】B 【解析】孩子自出生后的天数是：1×73＋3×72＋2×7＋4＝508， 故选：B． 【举一反三4】式子可表示为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据乘方的意义以及乘法的意义可知式子可表示为， 故选B. 【举一反三5】一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为             . 【答案】 【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为， ∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为. 故答案为． 【举一反三6】如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到一条折痕(图中虚线)，对折二次得到的三条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2017次后可以得到         条折痕． 【答案】22017﹣1 【解析】第1次对折，有1条折痕，第2次对折，有3条折痕，第3次对折， 有7条折痕，……，第次对折，有条折痕， 那么当时，可以得到条折痕. 所以本题的答案为. 【举一反三7】如图(单位：个)，甲、乙、丙三只袋中装有球29个、74个、38个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于        ． 【答案】5 【解析】， 则①， ，即②， 由②得：， 将②代入①整理得：，则，， 故答案为：5． 【题型6】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典型例题】厦门地铁2018年客流量达到4130万人次，数据4130万用科学记数法表示为(　　) A. 4.13×107  B. 41.30×106  C. 0.413×108  D. 4.13×108 【答案】A 【解析】4130万＝41300000用科学记数法表示为：4.13×107， 故选：A． 【举一反三1】南京长江四桥线路全长约29000米，将29000用科学记数法表示为(      ) A.0.29×105 B.2.9×103 C.2.9×104 D.29×103 【答案】C 【解析】29000=2.9×104. 故选C. 【举一反三2】将数字用科学记数法表示为          ． 【答案】 【解析】∵， 故答案为：． 【举一反三3】全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是                ． 【答案】 【解析】16000000 =. 故答案为. 【举一反三4】在一次水灾中大约有个人无家可归，假设一顶帐篷占地，可以放置40个床位(一人一床位)，请用科学记数法表示下列结果： (1)为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？ (2)某广场面积为，要安置这些人，大约需要多少个这样的广场． 【答案】解　12.5×105÷40=6.25×103顶， 答：需要6.25×103顶帐篷； (2)这些帐篷的占地面积：6.25×103×100=6.25×105m2； 需要广场的个数：6.25×105÷5000=1.25×102个． 答：大约需要1.25×102个这样的广场． 【举一反三5】世界上最大的沙漠——非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一个长方体，撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900 m，沙层的深度大约是366 cm，已知撒哈拉沙漠的沙的体积约为33 345 km3. (1)使用科学记数法，将沙漠中的沙的体积表示成立方米的形式； (2)撒哈拉沙漠的宽度是多少千米(用科学记数法表示，精确到个位)? 【答案】解　(1)33 345 km3＝3.334 5×1013 m3； (2)5 149 900 m＝5 149.9 km， 336 cm＝0.003 66 km， 撒哈拉沙漠的宽度是33 345÷(5 149.9×0.003 66)≈1.769×103 (km)． 【题型7】求用科学记数法表示的数的原数 【典型例题】据报道，中国2021年国内生产总值(CDP)增长，经济总量114.4万亿元，按年平均汇率折算达17.7万亿美元，稳居世界第二，占全球经济比重预计超过，其中数据“114.4万亿”用科学记数法可表示为，则原数中“0”的个数是(    ) A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】A 【解析】因为这个数用科学记数法表示为1.144×1014， 所以这个数是15位数， 原数中“0”的个数为11， 故选：A． 【举一反三1】我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及总人口约达人，则原数中“0”的个数为(    ) A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】B 【解析】∵，∴原数中“0”的个数为8. 故选：B. 【举一反三2】一个数用科学记数法表示为，这个数是一个(   　 ) A.6位数 B.7位数 C.8位数 D.9位数 【答案】C 【解析】3.14×107=31400000，∴这个数是一个8位数． 故选：C． 【举一反三3】某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿 元”为单位的原数是        亿元． 【答案】 【解析】将元还原成以“亿元”为单位的原数是亿元， 故答案为：． 【举一反三4】一个数用科学记数法可写成，则这个数是      ． 【答案】 【解析】， 故答案为： . 【举一反三5】下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数． (1)．        (2)． (3)．        (4)． 【答案】解　(1)； (2)； (3)； (4) 【举一反三6】写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】解　(1)； (2)； (3)； (4). 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4有理数的乘方 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】对有理数幂概念的理解 4 【题型2】有理数乘方运算 5 【题型3】有理数乘方的逆运算 6 【题型4】有理数乘方的符号规律 6 【题型5】有理数乘方的应用 7 【题型6】用科学记数法表示绝对值大于1的数 9 【题型7】求用科学记数法表示的数的原数 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 1.（2024秋•莲池区期末）下列选项中为负数的是（　　） A．3 B．（-3）2 C．-32 D．|-3| 2.（2024秋•平泉市期末）下列选项中为负数的是（　　） A．5 B．|-5| C．-5 D．（-5）2 【知识点2】非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024春•儋州校级月考）如果|a-2|+（b+3）2=0，那么a+b的值是（　　） A．-5 B．1 C．-1 D．5 2.（2024秋•城口县校级期中）已知|3a+1|+（b-3）2=0，则（ab）2024的值为（　　） A．1 B．-1 C．0 D．3 【知识点3】近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 1.（2024秋•桥西区期末）用四舍五入法将3.8541精确到十分位后的结果是（　　） A．3.8 B．3.9 C．4.0 D．3.85 2.（2023秋•东海县期末）四舍五入得到的近似数6.49万，精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 【知识点4】科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 1.（2025•海南模拟）某市今年约有15000名学生报名参加中考，用科学记数法表示15000为（　　） A．15×104 B．1.5×104 C．0.15×105 D．1.5×105 【知识点5】科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律  x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数-1 |x|＜1 a×10-n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 1.（2025•浙江模拟）我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内部的某种电解质离子的直径仅为0.0000000023m,将数0.0000000023用科学记数法表示为（　　） A．23×10-8 B．2.3×10-9 C．0.23×10-7 D．2.3×10-10 【知识点6】科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1.（2024•沈丘县一模）小数0.0…0221用科学记数法表示为2.21×10⁻15，则原数中“0”的个数为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 2.（2024•威远县校级模拟）据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校1.12×104所，在校生超过2.915×107人，则1.12×104表示的原数为（　　） A．112000 B．1120 C．11200 D．112 【知识点7】科学记数法与有效数字 （1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字； （2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位． 【题型1】对有理数幂概念的理解 【典型例题】下列选项中，与2m为同底数幂的是(　　) A.3m B. C.﹣2m D.(﹣2)m 【举一反三1】的指数是(    ) A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 【举一反三2】某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成    个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成    个． 【举一反三3】平方是的数是            ，立方是的数是            ． 【举一反三4】填表： 【举一反三5】讨论：观察下面两个式子有什么不同？ (1)(－4)2与－42； (2)与. 【题型2】有理数乘方运算 【典型例题】的运算结果是 (    ) A.-27 B.27 C.9 D.-9 【举一反三1】计算：，，，，．．．，归纳各计算结果中的各位数字规律，猜测的个位数字是(　　) A.1 B.3 C.7 D.5 【举一反三2】大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如， ，，…，若分裂后，其中有一个奇数是777，则m的值是(　　) A.29 B.28 C.27 D.26 【举一反三3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是           ．    【举一反三4】若，，试确定的末位数字是             ． 【举一反三5】计算： (1)；　　　　         　 (2)(－0.2)3； (3)(－2)3×(－2)2；　        (4). 【举一反三6】计算： (1)； (2)0.1252×82； (3)(－0.1)4×103； (4)； (5)－22016＋(－2)2016； (6)． 【题型3】有理数乘方的逆运算 【典型例题】计算(－)2018×()2018的结果为(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2018 【举一反三1】若，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做(即)．根据上述定义，计算的值为            ． 【举一反三3】探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)， 23﹣22=　　　　=2(　　)， 24﹣23=　　　　=2(　　)， …… (1)请仔细观察，写出第4个等式； (2)请你找规律，写出第n个等式； (3)计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 【题型4】有理数乘方的符号规律 【典型例题】观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当a<0时，；②当时，．其中表示的规律正确的是(    ) A.① B.② C.①、②都正确 D.①、②都不正确 【举一反三1】通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是(    ) A.123454321 B.1234564321 C.1234567654321 D.123456787654321 【举一反三2】当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有(   ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【举一反三3】若(a+2)+|b-1|=0，则(b+a)=          ． 【举一反三4】若，试问，当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 【举一反三5】判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5】有理数乘方的应用 【典型例题】l米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为(  ) A. B. C. D. 【举一反三1】缸内红茶菌的面积每天长大一倍，若16天长满整个缸面，那么经过(    )天长满一半. A.8 B.9 C.14 D.15 【举一反三2】探索规律，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，那么72 018＋1的个位数字是(　　) A.8 B.4 C.2 D.0 【举一反三3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是(     ) A.81 B.508 C.928 D.1324 【举一反三4】式子可表示为(　　) A. B. C. D. 【举一反三5】一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为             . 【举一反三6】如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到一条折痕(图中虚线)，对折二次得到的三条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2017次后可以得到         条折痕． 【举一反三7】如图(单位：个)，甲、乙、丙三只袋中装有球29个、74个、38个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于        ． 【题型6】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典型例题】厦门地铁2018年客流量达到4130万人次，数据4130万用科学记数法表示为(　　) A. 4.13×107  B. 41.30×106  C. 0.413×108  D. 4.13×108 【举一反三1】南京长江四桥线路全长约29000米，将29000用科学记数法表示为(      ) A.0.29×105 B.2.9×103 C.2.9×104 D.29×103 【举一反三2】将数字用科学记数法表示为          ． 【举一反三3】全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是                ． 【举一反三4】在一次水灾中大约有个人无家可归，假设一顶帐篷占地，可以放置40个床位(一人一床位)，请用科学记数法表示下列结果： (1)为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？ (2)某广场面积为，要安置这些人，大约需要多少个这样的广场． 【举一反三5】世界上最大的沙漠——非洲的撒哈拉沙漠可以粗略地看成是一个长方体，撒哈拉沙漠的长度大约是5 149 900 m，沙层的深度大约是366 cm，已知撒哈拉沙漠的沙的体积约为33 345 km3. (1)使用科学记数法，将沙漠中的沙的体积表示成立方米的形式； (2)撒哈拉沙漠的宽度是多少千米(用科学记数法表示，精确到个位)? 【题型7】求用科学记数法表示的数的原数 【典型例题】据报道，中国2021年国内生产总值(CDP)增长，经济总量114.4万亿元，按年平均汇率折算达17.7万亿美元，稳居世界第二，占全球经济比重预计超过，其中数据“114.4万亿”用科学记数法可表示为，则原数中“0”的个数是(    ) A.11 B.12 C.13 D.14 【举一反三1】我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及总人口约达人，则原数中“0”的个数为(    ) A.9 B.8 C.7 D.6 【举一反三2】一个数用科学记数法表示为，这个数是一个(   　 ) A.6位数 B.7位数 C.8位数 D.9位数 【举一反三3】某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿 元”为单位的原数是        亿元． 【举一反三4】一个数用科学记数法可写成，则这个数是      ． 【举一反三5】下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数． (1)．        (2)． (3)．        (4)． 【举一反三6】写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 学科网（北京）股份有限公司 $