1.2一定是直角三角形吗讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

区一定是直角三角形码 1.2一定是直角三角形吗 (30分提至70分用) 目目录 内容 模块 知识点 传送门 三角形 方程的解法 昆 复习 勾股定理的内容 课前复习 勾股定理的证明方法 勾股数的概念 显 勾股数 新课探索 常用的勾股数 勾股数 勾股定理 勾股定理的逆定理概念 磊 的逆定理 勾股定理逆定理实质 逆定理 勾股数问题 判断三边能否构成直角三角形 题型练习 在网格中判断直角三角形 题型练习 利用勾股定理的逆定理求解 易错点 高 宫一定是直角三角形吗 易错点 总结 高 总结 课前复习 1、直角三角形 (直角边) (斜边) （直角边) 2、等腰三角形与等边三角形 4cm 2cm 3cm 3cm 2cm 2cm 3cm 2cm 2cm ① 0 0 0 三条边都不相等 有两条边相等 三条边都相等 0 0 0 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 3、三角形的底和高 2 豆一定是直角三角形吗 A h B 0 4、 三角形的面积：S=1x底x高 5、方程的解法 去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母 去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号 移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号 合并同类项：将同类项合并，化为ax=b(a≠0)的形式 系数化为1：等式两边同除以未知数的系数(a),得(x=b) 6、勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边为c,那么： a2+b2=c2 7、赵爽证明 0 B 3 豆一定是直角三角形四 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2, 四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a)2. ∴.4x2ab+(b-a)2=c2 .a2+b2=c2. a2+b2=c2 新课探索 、 勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数， 说明： (1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数 (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数 (3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度如： 3、4、5; 6、8、10; 5、12、13; 【练习】 4 豆一定是直角三角形吗 1、下列各组数中，不是勾股数的是() A.7,24,25 B.8,15,17 C.9,12,15 D.10,11,12 二、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足：a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其 他已知条件来解决问题. 【练习】 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A.2,3,4 B.3,4,5 C.4,5,6 D.5,6,7 题型练习 5 豆一定是直角三角形四 勾股数问题 1.下列各组数中，不是勾股数的是（) A.3,4,6B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15 2.下列各组数中，是勾股数的是（) A.1,2,3B.6,8,10C.0.3,0.4,0.5 D.9,24,25 3.下列各组数中，是勾股数的是（) 111 A.10,15,18B.68'10C.0.3,0.4,0.5D.7,24,25 二、判断三边能否构成直角 1.将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（）· A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定 2.若4BC的三条边a,b,c满足a-+女+-c=0,则△ABC是(）三角形 3.如图，在△ABC中，已知AB=I0,BC=8,CA=6,请说明△ABC是直角三角形. 三、在网格中判断直角三角形 1.如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则∠ABC=（) 6 区一定是直角三角形吗 A.30°B.40°C.45°D.60° 2.如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,B,C均在格点上，求 ∠ACB 的度数 A B■ 3.如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上.请判断△ABC的 形状，并说明理由. 四、利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=5,BC=7,CD=1,四边形ABCD的面积 为 > 宫一定是直角三角形吗 D 2.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD=12,AC=13,CD=5,BC=14,则AB的长是多 少？ B D 3.如图，AD=4,CD=3,∠ADC=90,AB=13,BC=12,求△ABC的面积 D 易错点 1.未先确定最大边，直接验证任意两边平方和是否等于第三边平方，导致判断错 误（应先确定最大边，再验证最大边平方是否等于另两边平方和） 2.错误确定直角顶点，未明确最大边所对的角为直角，导致后续计算或证明错误！ 3.误认为只有整数边长（勾股数）才能应用逆定理，忽略非整数边长的直角三角 形判断。 4.混淆勾股定理与逆定理的适用场景，已知三边判断形状用逆定理，已知直角求 边长用勾股定理，误用导致解题错误。 区一定是直角三角形吗 总结 勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数， 说明： (1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数 (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. (3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度如： 3、4、5; 6、8、10: 5、12、13;… 9 区一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足：a+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形. 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其 他已知条件来解决问题 10 一定是直角三角形吗 1.2一定是直角三角形吗 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 三角形 2 课前复习 方程的解法 勾股定理的内容 勾股定理的证明方法 新课探索 勾股数 勾股数的概念 4 勾股数 常用的勾股数 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理概念 5 逆定理 勾股定理逆定理实质 题型练习 勾股数问题 6 题型练习 判断三边能否构成直角三角形 在网格中判断直角三角形 利用勾股定理的逆定理求解 易错点 15 易错点 总结 15 总结 课前复习 1、 直角三角形 2、 等腰三角形与等边三角形 3、 三角形的底和高 4、 三角形的面积：S = x底 x 高 5、 方程的解法 去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母 去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号 移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号 合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式 系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得 6、 勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么： 7、 赵爽证明 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c², 四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a)². ∴ 4×2ab+(b-a)²=c² ∴ a²+b²=c². ∴ 新课探索 1、 勾股数 勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数. 说明： (1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a²+b²=c²,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数. (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. (3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如： 3、4、5; 6、8、10; 5、12、13;…… 【练习】 1、下列各组数中，不是勾股数的是（） A. 7，24，25 B. 8，15，17 C. 9，12，15 D. 10，11，12 解析： 选项A：，是勾股数。 选项B：，是勾股数。 选项C：，是勾股数。 选项D：，，，不是勾股数。 故选D。 2、 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足：a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形. 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题. 【练习】 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 解析： 选项A：，，，不是直角三角形。 选项B：，，，是直角三角形。 选项C：，，，不是直角三角形。 选项D：，，，不是直角三角形。 故选B。 题型练习 1、 勾股数问题 1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进 行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，若三个整数中两个较小的数的平方和等于最大数的平方，则 称这组数为勾股数，根据勾股数的定义判断即可，掌握勾股数的定义是解题的关 键． 【详解】解：、，不是勾股数，该选项不合题意； 、，是勾股数，该选项符合题意； 、不是整数，不是勾股数，该选项不合题意； 、，不是勾股数，该选项不合题意； 故选：． 3．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．10，15，18 B． C．0.3，0.4，0.5 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股 数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等 于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、不是正整数，故B选项错误； C、，但不是正整数，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 2、 判断三边能否构成直角 1．将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（   ）． A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握两个定理的内容是关键；设原三角形的两 直角边分别为a，b，斜边为c，则新三角形的三边分别为，，利用勾 股定理及逆定理即可完成． 【详解】解：设原三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， ∵直角三角形的各边都扩大4倍， ∴则新三角形的三边分别为，， 由题意知，， ∵， ∴得到的新三角形是直角三角形． 故选：A． 2．若△ABC的三条边a，b，c满足，则是 （ ） 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那 么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义与非负数的性质． 根据非负数的性质求出，且，进而判断出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 3．如图，在中，已知，，，请说明是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三 条边，如果，那么这个三角形是直角三角形． 只需要利用勾股定理的逆定理验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 3、 在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则（    ） A．30° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，BC，AB，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是 等腰直角三角形，从而可求∠ABC． 【详解】解：连接AC，如图所示： 根据勾股定理可得：=10，＝20， ∵＋＝， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是得到△ABC是等腰直角三角形． 2．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据， 即可求解； 【详解】解：由题意可得：，， ， ∵， ∴； 3．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．请判断的形状，并说明理由．    【答案】直角三角形；理由见解析 【分析】先根据勾股定理求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： 由题意可得 =+=20 =+=25 =+=5 ， 是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是关键． 4、 利用勾股定理的逆定理求解 1.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图 形面积 的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 2.如图所示，在锐角三角形中，，，，，则的长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，可证明得到， 则，由线段的和差关系求出的长，再利用勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， =+=225 ∴AB=15 3. 如图，，求的面积． 【答案】30 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 根据三角形的面积公式即可得出结论． 本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出是直角三角形是解答 此题的关键． 【详解】解：， =+=225 ∴AC=5 在中，， ， ， 即为直角三角形，且， 的面积． 易错点 1. 未先确定最大边，直接验证任意两边平方和是否等于第三边平方，导致判断错误（应先确定最大边，再验证最大边平方是否等于另两边平方和）。 2. 错误确定直角顶点，未明确最大边所对的角为直角，导致后续计算或证明错误。 3. 误认为只有整数边长（勾股数）才能应用逆定理，忽略非整数边长的直角三角形判断。 4. 混淆勾股定理与逆定理的适用场景，已知三边判断形状用逆定理，已知直角求边长用勾股定理，误用导致解题错误。 总结 勾股数 勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数. 说明： (1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a²+b²=c²,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数. (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. (3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如： 3、4、5; 6、8、10; 5、12、13;…… 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足：a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形. 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $