精品解析：辽宁省沈阳市第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

沈阳二中2025——2026学年度上学期10月月考 高二（27届）数学试题 命题人：张诗童 审校人：郭运江 说明： 1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ） A. B. 6 C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. ，，，四点共面 C. 点到平面的距离为 D. 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 11. 已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（ ） A. 存在唯一点，使得平面 B. 存在唯一点，使得平面 C. 当时，点到平面的距离的最小值为 D. 当时，三棱锥的体积的最小值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为__________. 13. 求直线关于直线对称的直线方程为__________. 14. 已知平行六面体分别是上的点，且满足，，体对角线交截面于点.设，则实数__________. 四､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知两直线，当时，求的值； （2）求经过的交点且平行于直线的直线. 16. 如图，在三棱锥中，分别为的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求异面直线的距离. 17. （1）为何值时，点Q(3，4)到直线距离最大，最大值为多少； （2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程. 18. 如图，四边形与均为菱形，，，且. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线与都在平面内，求平面的方程； （2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2025——2026学年度上学期10月月考 高二（27届）数学试题 命题人：张诗童 审校人：郭运江 说明： 1.测试时间：120分钟总分：150分 2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第I卷（选择题共58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可. 【详解】因为空间向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 2. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 3. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 4. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点，    对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 6. 已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，可得，， 联立解得a，可得光线所经过的路程. 【详解】直线AB的方程为：， 点关于x轴的对称点， 设点关于直线AB的对称点，如图， 则，，联立解得，． ，光线所经过的路程为． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题. 8. 已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设分别在上，且，再根据线面垂直的性质与判定，结合体积公式可得，进而转求线段的最大值.再设的中点分别是，利用，再两边平方，结合向量的性质分析可得，进而求得体积最大值即可. 【详解】设分别在上，且， 因为，所以面 所以， 所以.要求四面体的体积最大，即求线段的最大值. 设的中点分别是，球心为，因为， ，所以.所以在中， 因为，所以 因为，所以 所以，当和均重合时取等 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，需要结合体积的公式与球的性质，从而得到线的垂直关系与线段长度间的关系，并结合空间向量的方法分析最值.属于难题. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程、两直线垂直的判定，结合直线的平移规律逐一分析即可 【详解】A：已知直线过点，且在轴，轴上截距相等， 当直线在坐标轴上截距为时，直线方程为，此时满足题意； 当直线在轴，轴上截距为时，直线方程为， 直线过，所以，解得，所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或，故本选项说法不正确； B：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故本选项说法正确； C：若直线与直线垂直，则，解得或， 所以由直线与直线垂直不能得到；反之则一定成立. 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故本选项说法正确； D：设直线的方程为：，直线沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，变换后的直线方程是：经过两次平移变换后回到原来的位置，必有，解得，故本选项说法正确 故选：BCD 10. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. ，，，四点共面 C. 点到平面的距离为 D. 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出“阿基米德体”对应的正方体，由图可判断AB选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量来判断CD选项. 【详解】“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. A选项：由图可知平面，A选项正确； B选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，∴，∴，，，四点共面，B选择正确； C选项：如图建立空间直角坐标系， ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即， ， ∴点到平面的距离，故C选项错误； 设且，所以， 设与的夹角为， 所以 当时，令， 因为当且仅当，即时取等号， 所以，即 当时，， 所以直线与直线所成角的余弦值范围为，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛，本题的关键是还原原来的正方体，然后利用空间向量来解决立体图像中的距离和夹角问题. 11. 已知正方体的棱长为2，点满足，其中，则（ ） A. 存在唯一点，使得平面 B. 存在唯一点，使得平面 C. 当时，点到平面的距离的最小值为 D. 当时，三棱锥的体积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，由平面，利用向量法可得，从而得唯一确定，即可判断A；由平面，可得，从而得不唯一，即可判断B；找出点的轨迹，结合由等体积法判断C，D. 【详解】解：以为原点，所在方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则 对于A，因为， 所以，， 所以， 又因为，， 设平面的法向量为， 则，所以， 取，则， 又因为平面， 所以， 所以， 所以，唯一确定，故正确； 对于B，因为， 要使平面， 则， 所以， 所以， 故点不唯一，故错误； 对于C，因为，所以三点共线， 因为, 设点到平面的距离为， 则有，所以， 设到的距离为， 则， 当与重合时，， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 设到的距离为 因为， 当点位于圆弧中点时，. 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用空间向量解决空间角度、距离及位置关系是常用方法. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，用反三角函数表示即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以. 故答案为：. 13. 求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知平行六面体分别是上的点，且满足，，体对角线交截面于点.设，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量共面，可得存在实数，，使得，即可得，代入条件计算可得关于的方程，求解即可. 【详解】因为向量共面，所以存在实数，，使得， 所以， 因为，， 所以代入上式可得： ， 故可得，解得，，. 故答案为:. 四､解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知两直线，当时，求的值； （2）求经过的交点且平行于直线的直线. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线垂直的性质，可得，解方程即可； （2）由题意，求出直线的交点坐标，设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，则可得该直线方程. 【详解】（1）. （2）由得， 所以直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 点代入可得， 所以所求的直线方程为. 16. 如图，在三棱锥中，分别为的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求异面直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【小问1详解】 连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 【小问2详解】 设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 17. （1）为何值时，点Q(3，4)到直线距离最大，最大值为多少； （2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1），；（2）4；． 【解析】 【分析】 （1）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）解：点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即为最大值． ， 的斜率为：， 可得，解得． （2）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，直线方程为，，则，，， ，当且仅当时取等号，面积的最小值为4． 此时直线的方程为． 【点睛】本题考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 18. 如图，四边形与均为菱形，，，且. （1）求证：平面； （2）求钝二面角的余弦值； （3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明：设与相交于点，连接， 四边形为菱形，， 且为中点，，， 又，平面，平面，平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设与相交于点，连接，利用菱形的性质可得出，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得钝二面角的余弦值； （3）设，求出向量的坐标，利用空间向量法结合已知条件可得出关于的方程，结合可求得的值，由此可求得结果. 【详解】（1）略 （2）连接，四边形为菱形，且，为等边三角形， 为的中点，， 又，，平面，平面，平面. 、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示： 因为，四边形为菱形，，，， 为等边三角形，， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得. 设平面的法向量为，则， 令，则，，得. 所以. 又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为； （3）设， 则， 所以， 化简，解得：或（舍）. 所以. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 19. 在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）若直线与都在平面内，求平面的方程； （2）在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标； （3）若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3）体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）求出直线、的方向向量，进而可求得平面的法向量，结合题意可得出平面的方程； （2）根据题意，设点，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标； （3）求出多面体与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体的体积，化简多面体两个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体相邻两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 解：由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. 【小问2详解】 解：根据题意，设点，则， 因为平面以为法向量，则，① 又因为点在平面内，则，② 联立①②可得，，故点的坐标为. 【小问3详解】 解：如下图所示： 易知多面体交各坐标轴于点、、、、 、， 正方形的边长为， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为，则， 所以，多面体的体积为. 易知平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以，，， 因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $