精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

惠来一中2025-2026学年度第一学期九年级练习1 九年级 数学科试题 命题人：初三数学备课组 审核人：林贤清 （满分120分，考试时间120分钟．请考生把答案填涂在答题卡上） 一．选择题（10小题，每题3分，共30分） 1. 下列食品图案中，是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断． 【详解】根据中心对称图形定义 即寻找对称中心，旋转后与原图重合 得A符合题意，B、C、D均不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】A、是分式方程，故A不符合题意； B、是二元二次方程，故B不符合题意； C、是一元二次方程，故C符合题意； D、是二元二次方程，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是(且a≠0)．特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 3. 数据1、5、7、5、7、7、8的众数是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫众数，注意众数不止一个．众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义即可求解． 【详解】解：数据1、5、7、5、7、7、8中，数据7出现了三次，最多，则众数为7． 故选：C． 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A. 平行四边形的对角线互相平分，说法正确； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确； C．菱形的对角线互相垂直，说法正确； D．对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误. 故选D. 考点:1.平行四边形的判定；2.菱形的判定. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】移项后提公因式分解因式求解即可． 【详解】解：移项得， 提公因式得， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法． 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 7. 顺次连接矩形的中点所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解． 【详解】如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 8. 若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据方程没有实数根结合根的判别式可得出k的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，且， 解得：， ∴k的最小整数值是2． 故选：D 9. 如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∵菱形的面积， ∴ ∴ 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，则的长度为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 二．填空题（5小题，每题3分，共15分） 11. 我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位．长城总长约6700000米，数据6700000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12. 写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：__________． 【答案】﹣3x2+2x﹣3=0 【解析】 【详解】由题意构造一个一元二次方程﹣3x2+2x﹣3=0. 13. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为_____，斜边上的高为________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，斜边上的中线，等积法求线段长，勾股定理求出斜边的长，根据斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边上的中线长，等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得直角三角形的斜边长为， ∴斜边上的中线长为； 设斜边上的高为，则：，解得； 故答案为：5， 14. 已知一元二次方程 的两根为、，则 ________ 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：∵一元二次方程的两根为和，∴=3．故答案为3． 考点：根与系数的关系． 15. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC， 由勾股定理得，CF=4，， 即， 解得，AD=10， ∴BF=6，CF=4， 图中阴影部分面积=． 故答案为：30 【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解． 三．解答题（一） 16. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1），；（2）；9 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，整式化简求值，利用完全平方公式计算，利用平方差公式计算，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）公式法解一元二次方程； （2）先利用完全平方公式，平方差公式化简，再作除法，化为最简，再代入求值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， ， 所以， 解得：，； （2） ； 当时， 原式 ． 17. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AC=10，BD=8，求菱形的周长和面积． 【答案】周长为4、面积为40． 【解析】 【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长，进一步即可求得面积． 【详解】解：∵四边形ABCD菱形，AC=10，BD=8， ∴AO＝AC＝5，BO＝BD＝4，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD， 在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，由勾股定理得， ∴AB＝， ∴周长L＝4AB＝4； ∵菱形是轴对称图形， ∴△ABC≌△ADC， ∴菱形面积是S＝2＝2××AC×BO＝40． 综上可得菱形的周长为4、面积为40． 【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形周长的计算、菱形面积的计算、勾股定理等知识，根据勾股定理计算AB的长是解题的关键． 18. 如图，是的对角线． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于，，于，，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，菱形的判定，平行四边形的性质等．掌握菱形的判定方法是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得，，再证，再依次证明四边形是平行四边形，菱形． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 是的垂直平分线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 四．解答题（二） 19. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数． 【答案】（1）参加调查的总人数为180人，补充条形统计图见解析 （2） （3）500人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握由样本百分比估算总体数量的方法，圆心角的计算方法是解题的关键． （1）根据C组的人数与占比计算求解调查总人数，由此得到B组人数，即可补全条形图； （2）根据圆心角的计算方法求解即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可求解． 【小问1详解】 解：调查总人数为：（人）； 选择B人数为：（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 补全条形图如下， 【小问2详解】 解：， 答：B部分扇形所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为500人． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）当的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论m取什么实数值，该方程总有两个的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于m的方程，解出m即可得出答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程， ， 无论m为何值，， ， 无论为何值，该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ∴， ∴， 整理，得， 解得，， 又时，，不符合题意舍去， ． 21. 如图，在中，，是的中线，，是的中点，连接并延长，交于点E． （1）求证：四边形矩形． （2）若，，求的长 （3）当满足条件___________时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证且，可知四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一定理可证，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证结论成立； （2）因为四边形是矩形，可知，又因为，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可知； （3）当时，根据三线合一定理可得是等腰直角三角形，可证，又因为四边形是矩形，所以可证四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，是的中线， ， ， 四边形是矩形； 小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ； 【小问3详解】 解：由可知，四边形是矩形，， 当时， 可得：， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 五．解答题（三） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． （1）点A的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； （3）点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、正方形的性质及菱形的性质是解题的关键； （1）分别令和，然后代入进行求解即可； （2）根据正方形的性质得到，设，得到，把代入解方程组即可得到结论； （3）按照以为菱形的对角线和菱形的边长分类讨论． 【小问1详解】 解：令时，则有，令时，则有，解得：， ∴； 故答案为，； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ， 设， ， 把代入得，， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 若以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，则分以下两种情况讨论： ①当为菱形的边时，则，且， 点是第一象限内的点， 点在点A右侧， 点的坐标为； ②当为菱形的对角线时，则，，且点在轴的负半轴上， 设点的坐标为，则，解得， 点的坐标为， ，即， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 23. 垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． （3）如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见详解 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）分别对运用勾股定理，再根据等式的性质即可求证； （2）先证明，得到四边形为“垂美四边形”，则，再运用勾股定理求得，，代入即可求解； （3）①当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；②当时，同上． 【小问1详解】 解：数量关系为： 记交于点O， ∵， ∴在中， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴； 小问2详解】 解：如图， ∵四边形是正方形，为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形“垂美四边形”， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 同理可求, ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：①当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（舍负）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ②当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠来一中2025-2026学年度第一学期九年级练习1 九年级 数学科试题 命题人：初三数学备课组 审核人：林贤清 （满分120分，考试时间120分钟．请考生把答案填涂在答题卡上） 一．选择题（10小题，每题3分，共30分） 1. 下列食品图案中，是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 数据1、5、7、5、7、7、8的众数是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 8 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 5. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接矩形中点所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 8. 若一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 如图，菱形边长为5，对角线，，于点H，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，则的长度为（ ） A. B. C. 5 D. 二．填空题（5小题，每题3分，共15分） 11. 我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位．长城总长约6700000米，数据6700000用科学记数法表示为________． 12. 写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：__________． 13. 直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为_____，斜边上的高为________． 14. 已知一元二次方程 的两根为、，则 ________ 15. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________． 三．解答题（一） 16. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中 17. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AC=10，BD=8，求菱形的周长和面积． 18. 如图，是的对角线． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交于，，于，，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，试判断四边形形状，并说明理由． 四．解答题（二） 19. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．为此，某校拟组建A（烹饪）、B（种植）、C（陶艺）、D（木雕）4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只能参加一个小组．为了解学生参加劳动小组的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图：请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有3600名学生，请根据调查结果，估计该校选择D小组的学生人数． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）当的斜边，且两直角边a和b恰好是该方程的两个根，求m的值． 21. 如图，在中，，是的中线，，是的中点，连接并延长，交于点E． （1）求证：四边形矩形． （2）若，，求的长 （3）当满足条件___________时，四边形是正方形． 五．解答题（三） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴和轴分别交于点A和点． （1）点A坐标为___________，点的坐标为___________； （2）若点在线段上，过点分别作于点C，于点D，若四边形是正方形，求点P的坐标； （3）点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 垂美四边形定义如下：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）如图1，四边形是“垂美四边形”，猜想与之间的数量关系：______，并说明理由． （2）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，若，求的长． （3）如图3，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为垂美四边形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $