精品解析：陕西省咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年晨光中学高二第二次月考 数学试卷 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与轴垂直 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线与直线AB平行 D. 当时，直线与直线AB垂直 10. 已知空间向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 向量在向量上的投影向量是 11. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程的三个根分别为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线与直线垂直，则_____. 13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______． 14. 在长方体中，，，，为长方体表面上一动点，则的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的直线方程： （1）过点，且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程； （2）已知两直线，求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程． 16. 如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. （1）求异面直线AE和所成角的余弦值; （2）求直线AE和平面所成角的正弦值； （3）求平面和平面所成角的余弦值. 17. 直线l过原点且与圆交于A，B两点． （1）过点作圆C的切线，求切线方程； （2）求弦AB的中点M到直线距离的最大值． 18. 在如图所示的几何体中，平面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组. （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年晨光中学高二第二次月考 数学试卷 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程及其倾斜角，结合斜率与倾斜角关系列方程求参数值. 【详解】由题意知直线存在斜率为，则，可得. 故选：D 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求点关于平面对称的点，所求点的横坐标变为原来的相反数，纵坐标，竖坐标不变，由此即可得解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 4. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 5. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 6. 如图，在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件所给的比例关系分解向量即可. 【详解】如图所示， . 故选：D. 7. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 整理：，代入平行直线距离公式， 则. 故选：D 8. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线可能与轴垂直 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线与直线AB平行 D. 当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 10. 已知空间向量，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 向量在向量上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量模的坐标运算判断A；利用空间向量的线性运算判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，， 得， B错误； 对于C，直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，得，则或，C错误； 对于D，，，则， 所以向量在向量上的投影向量是，D正确. 故选：BC 11. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程的三个根分别为 C. 不等式的解集为或 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】观察图象可得函数的零点，由此可得方程的根，由此判断B，由此可得可化为，结合图象可得当时，，由此可得，判断A，再结合图象判断CD. 【详解】由图象可得函数的零点从小到大依次为， 所以的三个根分别为，B正确， 所以， 所以可化为， 当时，，，， 由图象可得当时，，即， 所以，A错误， 观察图象可得不等式的解集为或，C正确， 不等式的解集为或，D错误， 故选：BC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知直线与直线垂直，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，，即，解得或. 故答案为：或. 13. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两直线平行确定的值，再利用平行线间的距离公式求平行线间的距离. 【详解】因为直线与平行，所以，解得. 所以：即. 所以直线与之间的距离为：. 故答案为：2 14. 在长方体中，，，，为长方体表面上一动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，将所求转换为长方体中心到长方体表面的点的距离的取值范围即可求解. 【详解】以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，则， 设长方体中心为 设，则， 所以， 代表长方体的中心到长方体表面一点的距离的平方， 所以当且仅当或1时，有最小值， 当且仅当与长方体的8个顶点重合时，有最大值， 由于是在长方体表面连续运动的，故的取值范围是， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的直线方程： （1）过点，且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程； （2）已知两直线，求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况，过原点时设直线方程为，不过原点时设直线方程为，代入点即可求解； （2）联立、，解出交点坐标，再结合与直线平行，利用点斜式即可求解． 【小问1详解】 分两种情况， 当直线过原点时，设，代入，得，方程为， 当直线不过原点时，设截距式，代入，得，方程为， 综上，直线方程为或． 【小问2详解】 联立、方程，解得交点为， 直线斜率为，所求直线与之平行，斜率也为，又因为过， 所以直线方程为， 整理得． 16. 如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. （1）求异面直线AE和所成角的余弦值; （2）求直线AE和平面所成角的正弦值； （3）求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间角的向量求法分别求出线线角、线面角、面面角. 【小问1详解】 在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，， 所以异面直线AE和所成角的余弦值. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是， 所以直线AE和平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量，显然平面为， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 17. 直线l过原点且与圆交于A，B两点． （1）过点作圆C的切线，求切线方程； （2）求弦AB的中点M到直线距离的最大值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）讨论切线斜率的存在性，设出直线方程，结合圆心与切线距离等于半径列方程求参数，即可得切线方程； （2）由题设易知，设，并利用向量垂直的坐标表示列方程求出的轨迹，再应用点线距离求点M到直线距离的最大值. 【小问1详解】 由题知，圆心，半径，且，故在圆外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即； 圆心到直线的距离，整理得，解得， 所以切线方程为或； 【小问2详解】 设，圆心， 因为是弦的中点，所以，又直线l过原点O， 所以，， ，整理得， 所以的轨迹是圆心为，半径为的圆，则到直线的距离， 所以点M到直线的最大值为. 18. 在如图所示的几何体中，平面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图所示，取中点，连接，因为是中点， 所以， 又因为，且， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为平面是边长为2的正方形，所以， 所以两两垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量可以是， 设平面的法向量为 由题意，则， 所以，令，解得，故可取， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，同组，同组. （1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】（1）获得冠军的概率为，获得冠军的概率为. （2）在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为；在“双败赛制”赛制下，获得冠军的概率为；双败赛制对强者更有利 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式进行求解即可； （2）首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下获得冠军的概率，再利用作差法比较大小即可. 【小问1详解】 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 结合题意可得获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 所以获得冠军的概率为. 【小问2详解】 在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为. 在“双败赛制”赛制下，讨论进入胜者组､败者组两种情况： 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为. 综上，获得冠军的概率为. 令， 则， 由得. 若A为强队，则，此时. 即，所以. 所以双败赛制对强者更有利. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $